381

Розділ ІV Побудова кутів нахилу площин та відрізків за допомогою перпендикулярів, а також дотичної прямої до кривих ліній і дотичних площин до кривих поверхонь

Для визначення кута α між двома площинами Ω та Σ беруть довільну точку S в просторі, з якої будують перпендикуляри r і r1 до обох площин. Обертанням цієї точки навколо лінії рівня, взяти в площині цих перпендикулярів, визначають кут β між ними. Сума кутів чотирикутника дорівнюю 360º, а

саме : 360 = 90 + 90 + α + β.

Тоді після приведення подібних членів кут α між площинами дорівнувати-

ме 180 - β = α (див. рис. 4.1.1).

Для визначення кута α між прямою АВ та площиною Ω загального по-

ложення (рис. 4.1.2 та 4.1.5) необхідно із довільної точки А заданої прямої АВ побудувати перпендикуляр r (r1, r2) до заданої площини Ω (Ω1, Ω2) і обертанням цієї точки навколо лінії рівня h11 визначити кут β між заданою прямою та перпендикуляром до площини. Тоді кут α між заданими прямою та площиною дорівнюватиме α = 90 – β, що будується шляхом графічного вирахування.

Дотичною до плоскої або просторової кривої L у точці М (рис. 4.1.6.) є

пряма t, до якої рухається січна ММ1, коли точка М1, залишаючись на лінії L, прямує до точки М. Пряма n, що проходить через точку дотику перпендикулярно дотичній, називається нормаллю до кривої в точці М. Нормаль до окружності збігається з напрямком її радіуса. Дотична – перпендикулярна до нормалі.

Дотичною до кривої L є граничне положення січної хорди t, що прямує через точку К, побудовану перетином цієї кривої з лінією q, яка має назву

крива помилок (рис. 4.1.7).

Дотичну до еліпса у точці М2 будують, виходячи з відомого положення, що кожна точка еліпса має свою родоначальницю на колі діаметром, рівним його великій осі А2В2. При поверненні кола навколо осі А2В2 всі його точки по перпендикулярах прямують на еліпс. Родоначальною точкою для точки М2 є точка М21. Пряма М2О2 є радіусом кола R. Дотичною до окружності у точці М21 є пряма М21N2, яка перпендикулярна до R. Для проведення дотичної Q(Q1, Q2) до еліпса необхідно точку М2 з'єднати з точкою N2 (рис. 4.1.8).

Площина Σ, дотична до кривої поверхні напівкулі в точці А (рис. 4.1.3),

повинна мати хоча б дві прямі L і K, що перетинаються у цій точці.

Дотичну площину до кулі у точці А(А1А2) на комплексному кресленні будують за допомогою ліній рівня, які перетинаються в цих точках, де неспотворені проекції h1 та f2 перпендикулярні нормалям, h2 та f1 паралельні до осі Ох

(рис. 4.1.4).

До конічної поверхні можливо провести дві дотичні площини Ω і Σ, які включають пряму n. В цих площинах повинні бути побудовані пряма m, перпендикулярна до R окружності основи та до утворюючої конуса АS у точці А

(рис. 4.1.9).

92

Розділ V Криві лінії та поверхні

У загальному випадку крива лінія – це траєкторія руху точки або результат перетину кривих поверхонь. Криві лінії поділяються на: плоскі, просторові,

алгебраїчні (закономірні), трансцендентні (неалгебраїчні) та ті, що задаються графічно. Найпоширеніші плоскі криві – це криві другого порядку: окружність, еліпс, парабола та гіпербола. Ці лінії утворюються при перети-

нанні поверхні правильного конуса проеціюючими площинами (рис. 5.1.1). Еліпс – геометричне місце точок Мі на площині, сума відстаней яких до

його двох фокусів F та F1 має одне і те ж значення FМ + F1 М = R1 +R = АВ – велика вісь еліпса (ВВЕ); СD – мала вісь еліпса. А, В, С, D – вершини, а О – центр еліпса (рис. 5.1.2). Виходячи з визначення, еліпс можна накреслити, якщо R і R1 уявити натягнутою ниткою, а точку М – шарніром, у якому розміщений грифель олівця, а олівець робить один оборот і залишає слід кривої лінії (рис. 5.1.3).

Крім того, існує декілька графічних способів побудови еліпса, як-от:

-“деформації” – за заданими великою АВ і малою СD осями (рис. 5.1.4).

Для цього будують дві окружності, одну діаметром АВ, а другу – СD. Потім поділяють окружності на сектори і “стискують” парою сил F. Точки 11, 21, 31, 41,51, 61, 71, 81, що на великій окружності, переміщаються по вертикалях нагору та вниз, а точки 1*, 2*, 3*, 4, 5*, 6*, 7*, 8*, що на малій окружності, переміщаються по горизонтальному напрямку вправо і вліво, як показано на схемі. При перетині вертикальних та горизонтальних ліній утворяться точки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, які разом із точками А, В, С, D належать еліпсу. Після з'єднання за допомогою лекала вказаних точок одержують шуканий еліпс;

-“побудови овалу – циркульного еліпса” за заданими великою АВ і малою

СD осями (рис. 5.1.5). Для цього будують окружність діаметром АВ. Потім із точки С проводять дотичне коло до великої окружності, яка відтинає від АС відрізок АК. Після поділу відрізка АК на дві рівні частини за допомогою зарубок

іпродовження прямої 34 до вертикальної осі еліпса одержують точки 2 (21) і 1 (11) – центри дуг малого і великого радіусів відповідно. Дуги проводять за допомогою циркуля між точками 3 і 4, 5 і 6;

-“базового трикутника” за заданою великою АВ і малою СD осями та точкою Е, що належить еліпсу (рис. 5.1.6). Точка Е має свою родоначальницю Е1 на колі. Ці обидві точки належать перпендикуляру до великої осі. Базовий

трикутник будують з'єднанням довільної точки К, що належить великій осі АВ з точками Е і Е1. Інші точки, що належать еліпсу, будують проведенням ліній,

паралельних лініям базового трикутника, починаючи з великої сторони через точку С1 на окружності до точки N – на великій осі, а з останньої – паралельно середній стороні КЕ – до перетину з перпендикуляром у точці С, яка і належить еліпсу;

-“циркульного еліпса за допомогою ромба” за заданими осями АВ і СD

(рис. 5.1.7). Цей спосіб використовують в аксонометричних проекціях, де

94

радіуси кола відкладають по осях Ох і Оу без спотворення. Через кінці діаметрів 4, 6 і 3, 5 проводять лінії паралельно осям і одержують ромб 1, 7, 11, 8, у якому лінії, з'єднуючі вершини тупих кутів 1, 11 і протилежні середині сторін ромба 3, 4, 5, 6 одержують точки 2 і 21 – центри дуг малого радіуса. Точки 1 і 11 – центри дуг великого радіуса. Перевіркою паралельності проведення сторін осям Ох і Оу є

перетинання сторін ромба в точках на цих осях.

Упросторі окружність може займати такі характерні положення, як-от:

-площини рівня (рис. 5.1.8). У цьому випадку на одній з площин проекцій окружність зображується відрізком, рівним її діаметру, а на іншій – окружністю;

-проеціюючої площини (рис. 5.1.8). У цьому випадку на одній з площин проекція кола зображується відрізком, що дорівнює його діаметру і проведеним під кутом до осі Ох, а на іншій – еліпсом з вертикальною великою віссю, що дорівнює діаметру. А інші точки еліпса визначають так, як показано на рис. 5.1.9. Відстані цих точок від горизонтальної осі А2В2 вибирають з протилежної

площини проекцій (П1), на якій дуга кола опирається на діаметр;

- площину загального положення (рис. 5.1.10). У даному випадку коло проеціюється на всі площини проекцій еліпсами. Кожний еліпс будується окремо, оскільки осі еліпсів – проекції діаметра кола на різні площини проекцій. Велика вісь еліпса на площині П1 має напрямок горизонтальної проекції h1 гори-

зонталі, а на площині П2 – f2 фронталі площини кола. Велика вісь еліпса дорівнює діаметру кола, а розмір малої осі залежить від нахилу площини кола до даної площини проекцій і в загальному вигляді є різним для кожної проекції.

На рис. 5.1.10 надано рішення задачі, у якій натуральна величина діаметра окружності задана графічно відрізком прямої лінії і необхідно площину кола сумістити з площиною, що задана двома прямими, що перетинаються. На всіх проекціях великі вісі еліпсів дорівнюють діаметру кола, а мала вісь побудована за допомогою базового трикутника. Розмір малої осі також можна визначити заміною площин проекцій, перетворюючи площину кола в проеціюючу (рис. 5.1.9).

Якщо коло є основою прямого конуса (або циліндра), то вісь конуса і циліндра завжди перпендикулярна до площини кола і на епюрі її проекції збігаються за напрямком з малими осями еліпсів. Розмір висоти конуса (або циліндра) проеціюється в натуральну величину на площини проекцій П4 і П5 при заміні площин проекцій. За цією проекцією будують проекції висоти.

Поверхня може розглядатися як сукупність усіх можливих положень деякої лінії в просторі. Ця лінія називається твірною. Сукупність усіх положень твірної заповнює поверхню. Така сукупність ліній поверхні називається неперервним

їїкаркасом. Вигляд утворюваної поверхні залежить від форми твірної та закону

їїпереміщення в просторі.

Рішення питання про належність точок поверхні вирішують за допомогою каркасних ліній. Так, для прямого конуса і циліндра – це твірні та кола, що паралельні та перпендикулярні площинам проекцій. Для сфери – це кола різного діаметра, що також паралельні і перпендикулярні площинам проекцій.

95

5.3Криві поверхні обертання, належність до них точок, ліній, перетин відрізками і площинами. Побудова фігур перерізу, їх натуральних

величин та розгорток кривих поверхонь

Криві поверхні утворюються і задаються на кресленні кінематичним або

каркасним способами.

За кінематичним способом поверхню одержують безупинним переміщенням твірної лінії по визначеному закону, тобто подають як сукупність усіх послідовних положень твірної, що переміщується в просторі. Твірна може бути прямою, плоскою або просторовою кривою, що зберігає або змінює свою форму в процесі переміщення.

Закон переміщення в просторі твірної визначається формою і положенням нерухомих ліній, називаних направляючими, із додатковими умовами або без них. Сукупність незалежних умов, що однозначно задають поверхню, називають її в и з н а ч н и к о м.

За кінематичним способом можна утворити в просторі і задати на кресленні різноманітні поверхні (рис. 5.4).

Поверхні конуса, циліндра, сфери, носового обтічника утворюються обертанням відповідних твірних L навколо вертикальних осей і колом.

При утворенні поверхні за способом каркасу остання задається множиною належних їй точок або ліній, достатніх для того, щоб визначати її форму з необхідним ступенем точності. Каркас, заданий точками, називається точковим, заданий лініями – лінійним.

Лінійний каркас утворюється сімейством ліній, таких, як натуральні відрізки твірних прямих конуса і циліндра, а також їхніх кіл. Для сфери це паралелі і меридіани (кола). Тому належність точки до кривої поверхні визначається її належністю каркасним лініям фігури на відповідних проекціях комплексного креслення (рис. 5.6.4).

Каркасна лінія конуса S1 дає змогу визначити точку К перетину горизонта- льно-проеціюючої прямої АВ з поверхнею конуса (рис. 5.6.1). Для цього, спочатку проводять S111 через точку А1 = В1 = К1 і визначають точку 11, потім при з'єднанні 12 з S2 визначають точку К2, як перетин проекцій 12S2 і А2В2.

Визначення точок перетину прямої загального положення L з поверхнею циліндра починають з проеціюючого положення циліндра на горизонтальній площині, де поява проекцій точок А1 і В1 “очевидна” без будь-яких додаткових побудов. Проекції А2 і В2 будують за проекційною відповідністю (рис. 5.6.2).

98

Визначення точок перетину прямої загального положення АВ з поверхнею конуса (рис. 5.6.3) виконують шляхом включення її в площину Ω, яку утворюють за допомогою ліній рівня. Так, через S2 проводять h2║Ох – фронтальну проекцію горизонталі через 12. На П1 будують h1 ≡ НВ. Потім будують горизонтальний слід М1 прямої АВ. Для побудови сліду площини Ω = h ∩ АВ проводять через М1 пряму, паралельну h1, яка перетинає основу конуса в точках 21 і 31. Після з'єднання їх прямими з S1 одержують проекції точок перетину L1 i K1. Далі за проекційною відповідністю будують проекції L2 і К2.

Крайні твірні конуса 12 S2 i 52 S2 – фронталі f2 ≡ НВ (рис. 5.6.4). Їх горизонтальні проекції f1 паралельні осі Ох. Всі інші твірні конуса на П2 – спотворені і менше крайніх твірних. Точка А належить поверхні конуса тому, що її проекції належать проекціям твірних і знаходяться в проекційній відповідності, тобто з’єднані одною лінією зв'язку. Натуральну ж величину відстані точок А і А1 до вершини конуса S можливо визначити за допомогою крайніх твірних. Для чого проекцію точки А1 треба повернути по колу до окремого горизонтального положення А111, що належить S151 – горизонтальній проекції фронталі f1║Ох. За проекційною відповідністю А0 належить твірній S252, а відрізок S2А0 ≡ НВ є відстань до вершини конуса. Для інших випадків не треба щоразу повертати точки до окремого положення твірних, а відразу провести лінію, паралельну до осі Ох, і одержати точку на натуральній твірній, а отже і натуральну відстань від точки до вершини конуса.

Побудову розгортки конуса (рис. 5.6.5) починають з L2 = L0 – крайньої твірної, яку поміщають на вільному полі креслення. Потім проводять дугу кола радіусом рівним крайній твірній на кут α = 360R / L0. Потім конічну поверхню замінюють поверхнею багатогранної піраміди. Для цього окружність основи поділяють на 8 приблизно рівних дуг і з’єднують їх кінці відрізками, які послідовно відкладають на дузі периметра розгортки, а точки стикування їх з'єднують з вершиною конуса S0. Таким чином розміщують усі твірні на розгортці. А потім на “своїх” натуральних твірних розміщують відповідні точки А0 і А10. Основу конуса – коло приєднують у будь-якому місці до периметра розгортки конуса.

При перетині кривої поверхні циліндра фронтально-проеціюючими площинами (рис. 5.6.6) утворюються такі фігури перерізу, які чітко виявляються на площинах проекцій: неповний еліпс – І на П3; прямокутник – ІІ на П3; повний еліпс, або коло – ІІІ на П3; окружність (коло) – ΙV на П1.

100