termodunКонспект лекцій для заочників

2. Рівняння першого закону термодинаміки для течії або рівняння енергії.

В загальному випадку в класичній формі рівняння першого закону термодинаміки в інтеграль-

ній формі буде Q1 2 U2 U1 L1 2 . Воно справедливо як для закритих тдс так і для відкритих.

Але L1 2

подає так звану енергію яка пов’язана з зміною об’єму газу. Якщо це закрита термоди-

намічна система це однозначно – робота зміни об’єму. А якщо відкрита ТДС то за рахунок енергії

зміни об’єму виконується 5 різних видів робіт. І для відкритої ТДС рівняння 1 закону термодина-

міки має вигляд:

Q1 2

U2 U1 p2V2 p1V1 m 1

W22 W12 mg H2

H1 LТ1 2 Lтер1 2 .

2

2

Є якась машина призначення якої немає зараз ніякої ролі.

Є підвідний канал: тут розташуємо переріз 1-1. РТ поступає

через цей переріз 1-1 машини, проходить через машину, про-

2

ходить через відвідний канал інших геометричних розмірів і

видаляється в навколишнє середовище через переріз 2-2. Всі

параметри які відносяться до перерізу 1-1 позначаються інде-

ксом 1, а відповідно параметри що відносяться до перерізу 2-2

L

Q1 2

Т1 2

– індексом 2. Показано що геометричний центр перерізу 1-1

H2

знаходиться по відношенню до якоїсь порівняльної площини

z z

на висоті H1 , а 2-2..... на висоті Н2. Система може обмі-

1

нюватися теплотою з навк середовищем (чи підводиться чи

відводиться не має значення). Що таке технічна робота. Уя-

H1

1

віть що це газотурбінна машина – тут є робоче колесо, газ на-

бігає на лопатки колеса і заставляє ротор турбіни обертатися.

z

z

І ця робота яку виконує газ на лопатках турбіни є технічна

робота. Або це є відцентровий нагнітач газу який перекачує по магістральному трубопроводу газ

то колесо виконує лопатками над газом технічну роботу. Роботи в обох випадках протилежні за

знаком (перша додатна, а друга від’ємна). Коли є закрита тдс то такої роботи як технічна не може

бути вона не існує. Робота тертя – коли газ рухається існує тертя газу об стінки каналу і елементи

машини, по друге оскільки газ в’язкий то окремі шари рухаються з різною швидкістю і труться

один об одний. В результаті роботи тертя виділяється теплота яка сприймається РТ, передається

елементам машини і може передаватися в навк сер – це дисипація теплової енергії.

mg H2 H1

- виражає зміну зовнішньої потенціальної енергії по трубопроводу; ми маємо m кг

газу який в перерізі 1-1 має одну потенціальну енергію, а в перерізі 2-2 іншу. А щоб підняти його з

однієї висоти на іншу треба виконати роботу. Магістральний трубопровід переходить через гори –

для того щоб прокачати газ чи нафту виконується велика робота....

Бачимо що вхідний і вихідний перерізи мають різні геометричні розміри а відповідно згідно рів-

няння суцільності руху в цих перерізах будуть однакові масові витрати і тоді будуть існувати різні

швидкості газового потоку. Отже m

1 W 2

W 2

- зміна зовнішньої кінетичної енергії потоку ...

2

2

1

Маємо m кг газу і треба проштовхнути цю порцію газу через машину. В перерізі 1-1 щоб заштов-

хнути газ в машину треба посунути існуючий в ній газ, а на виході розштовхнути газ в навколиш-

ньому середовищі. Тоді

p2V2

p1V1

- робота проштовхування. Коли рухається газ чи рідна по

каналі ця робота завжди має місце.

U2 U1

- зміна внутрішньої енергії.

Так виглядає рівняння 1 закону термодинаміки для потоку газу або рівняння енергії. Ще раз

повернуся до того що в закритій ТДС є тільки робота зміни об’єму – РТ стискається і розширю-

ється почерзі і більше нічого. А як тільки ТДС стає відкритою – РТ поступає в циліндр тієї ж ма-

шини і викидається в навк сер то зразу появляються ще ряд робіт. Ця форма запису інтегральна

для m кг газу.

Поділимо обидві частини рівняння на m і перейдемо до питомих величин. Тоді рівняння буде

q

u

2

u

p p

1 W 2 W 2 g H

2

H

1

l

l

тер1 2

.

1 2

1

2 2

1 1

2

2

1

Т1 2

А якщо згадаємо що

u p i тоді рівняння і інтегральній формі для одного кг через енталь-

пію буде q1 2 i2

i1

1 W22 W12 g H2 H1 lТ1 2 lтер1 2 рівняння стало коротшим.

2

В диференціальній формі q di WdW gdH lТ lтер

- ще коротше.

У всіх розглянутих рівняннях

треба мати на увазі що

q qз qвн

(існує

робота тертя

qвн lтер ).

5.3. Наявна та технічна роботи течії

p2

Згадаємо ще одну форму запису першого закону термодинаміки q1 2 i2 i1 dp . Зліва у

p1

нас є та сама кількість теплоти q1 2 . А раз так то ми маємо підстави прирівняти праві частини рів-

p2

нянь. Отримаємо

dp 1 W22 W12 g H2 H1 lТ1 2 . Якщо взяти координати р- і зобрази-

p1

2

ти в них процес течії РТ 1-2 в межах зміни тиску від p1 до p2

то цей інтеграл це площа трапеції ....

Але цей інтеграл складається з 3 доданків – робота що витрачається на зміну зовнішньої кінетич-

p

ної енергії потоку...., робота що витрачається на зміну зовнішньої

1

потенціальної енергії, технічна робота. Робота зміни

об’єму є

p1

1 W22 W12

площа трапеції що примикає до осі абсцис - вона і тут має міс-

2

це. А технічна робота – площа трапеції що примикає до осі орди-

g H2 H1

нат. Сума цих трьох робіт – наявна енергія (робота) потоку газу.

Ця енергія існує а як її використати то вже інша справа. Напри-

lТ1 2

клад забезпечили рівність перерізів 1-1 та 2-2. W W

. Тоді вся

p2

1

2

2

наявна робота витратиться на ці дві роботи. Якщо

і H1 H2

p2

dp lТЕХ . Тоді легко встановити знак технічної роботи:

p1

оскільки dp lТЕХ (питомий об’єм завжди має знак плюс). Тоді при зменшенні тиску робота

буде додатня (газова турбіна – газ набігає на лопатки, виконує роботу, при цьому його тиск змен-

шується – газ розширюється), а при збільшенні тиску робота буде мати знак „-„ (компресор.....).

p

W22

W12 - змінюється тільки кінетична енергія.... Або в диференціальній фо-

випадку 2 dp

1

2

p1

2 k

k 1 k

2 k

0 тоді

2

k 1

k 1

k

k

0 . Почленно поділимо вираз на

k

в результаті отриму-

k

k

k

k

2

k 1

. Значення для кр

ємо формулу для кр

залежить тільки від показника адіабати. Для

k 1

двохатомних газів k 1,41

кр 0,528 , а для трьох і багатоатомних газів k 1,29 кр 0,546 . Це

дозволяє визначити критичний тиск

pкр

p

p при якому максимальні швидкість

кр

кр

p1

кр

1

витікання і максимальна витрата РТ.

Візьмемо формулу для W і знайдемо критичну швидкість

м

витікання. Приймемо що

p2 pкр тоді Wкр

k pкр

кр

kRT . Ця величина є a

kp

с

M 1

1

завжди

зменшуватись. Швидкість течії буде

завжди

збільшуватись (при умові що сопло

M

правильно пораховане). А якщо взяти формулу

a

kRT і порахувати швидкість звуку в кож-

ному перерізі то виявляється що вона буде

зменшуватися

від

входу

до

виходу

сопла

(штрихова лінія). В горловині швидкості звуку

p

і витікання течії зрівняються.

1 – дозвукова течія, 2 – надзвукова, або гіпе-

p

рзвукова течія.

Відношення швидкості течії до швидкості зву-

кової хвилі в цій же течії W

M - число Маха

a

a

або ще інакше Маієвського це австрійський

W

вчений.

1) в частині 1 яке звужується – M < 1 a > W

x

2) в горловині – M = 1 бо a = W

3) в частині 2 – М > 1 - a < W

Тобто сопло повинно бути комбінованим. А як підтвердити що це дійсно так. Записати рівнян-

ня адіабати в диференціальному вигляді. Записати і диф вигляді рівняння суцільності руху. Доба-

вити рівняння ізоентропійної течії.

dp

k

d

0

p

M

1

df

1

dW

dW

d df

2

- рівняння геометричного обрнення дії. Ми зацікавлені

W

f

f

k

W

dp WdW

щоб в соплі швидкість течії весь час збільшувалась W ,

1) M<1 тоді з рівняння

df 0 приріст

поперечного перерізу зменшується 2) M > 1 df 0 сопло розширюється. Ось чому геометричного

обернення дії.

Такі сопла використовуються в парових турбінах, ракетній техніці, авіації. Доречі в газових

турбінах такі сопла не застосовуються тому що в них не досягається криза витікання W2

2h0

тепло перепад в них невеличкий.

На практиці розрахувати сопло надзвичайно складно оскільки

газ є реальний зі своїми властивостями. А це тільки ази, основи теорії з рядом допущень.

5.7. Дроселювання

Явище зменшення абсолютного тиску газу при проходженні течії через місцевий опір - дросе-

лювання. Місцевий опір – будь-який пристрій, який змінює поперечний переріз течії – деформує

1

2

течію.

Приклад дроселювання.

Горизонтально

розташований трубопровід. В середині розта-

шовано тонкий диск з отвором. Течія рухається

зліва на право. При наближенні до пристрою в

перерізі 1-1 течія починає стискатися, а її шви-

дкість збільшується. Після перешкоди на пев-

1

2

ній відстані переріз течії найменший (по інерції

звужується) а потім починає розкриватися і в

i

i1

1

2

i2

перерізі 2-2 знову займе весь переріз труби. А в

p

p

кутиках існує завихрення на що нераціонально

витрачається енергія. Цей пристрій – діафраг-

ма.

Коліно – теж деформує потік газу, засувка

p1

на трубопроводі, трубопровід різко міняє свій

p2

діаметр. І при проходженні через будь-який

пристрій обов’язково зменшується тиск потоку.

Розглянемо процес дроселювання як адіабатний:

q

i

i

1 W 2

W 2

g H

2

H l

i 1 W 2

i

1 W 2

. Оскільки i 1 W 2

1 2

2

1

2

1

1

Т1 2

1

1

2

2

2

2

2

2

0

0

0

cpm T2

для ідеально-

Тоді i1 i2

- рівняння адіабатного дроселювання.

А оскільки i2

i1

T1

го газу то T2 T1 . Ентальпія відновлюється завдяки необоротності дроселювання.

При дроселюванні ідеального газу температура ідеального газу незмінна, ентальпія практично

не змінюється, питомий об’єм збільшується, ентропія збільшується, внутрішня енергія реального

газу може збільшуватися або зменшуватися.

Явище зміни температури реального газу при його дроселювання називається ефектом

Джоуля-Томсона.

Знак зміни температури реального газу при його дроселюванні характеризується за допомогою

диференціального дросель-ефекту

D

T

(відношення нескінченно малого приросту темпера-

i

p

i

тури.....).

- якщо Di 0

тоді T 0 оскільки p 0 . Температура зменшується.

- якщо Di 0

тоді T 0 . Температура збільшується.

Кінцевий

процес

дроселювання

характеризується

інтегральним

дросель-ефектом

T

p

1

2 Di dp .

p

p

p

p

2

1

1

дний клапан відкривається і тиск в циліндрі зменшується від

p2 до

p1

теоретично моментально по

вертикалі 3-4. Слід відмітити що параметри в процесах 4-1 і 2-3 а зокрема питомий об’єм, не мі-

няються, а міняється тільки кількість газу та його повний об’єм. В реальному компресорі між по-

ршнем в ВМТ і кришкою циліндру завжди повинен бути зазор, якому відповідає якийсь об’єм V0 і

називається шкідливим простором. Внаслідок того що в процесі 2-3 не весь газ виштовхується з

p

циліндра,

його

частина стис-

p

нута в шкідливому просторі,

3

2

p2

3

2

p2

розширюється по лінії 3-4. То-

му корисний об’єм циліндру

зменшується

до

дійсного

об’єму всмоктування Vh . В

p1

зв’язку

з

цим

вводять

p1

4

1

об’ємний

ККД

компресора,

1

4

який враховує вплив шкідли-

вого об’єму на продуктивність

V1

V

V

Vh ≈ 0,75...0,9.

Vв.х.

Vh

V1

V0

V1

p

2

2

2

T

2

p2

3

1

p2

T