13 Способы задания нечетких множеств. Операции над нечеткими множествами.

Понятие нечеткого множества - эта попытка математической формализации нечеткой информации для построения математических моделей. В основе этого понятия лежит представление о том, что составляющие данное множество элементы, обладающие общим свойством, могут обладать этим свойством в различной степени и, следовательно принадлежать к данному множеству с различной степенью. При таком подходе высказывания типа “такой-то элемент принадлежит данному множеству” теряют смысл, поскольку необходимо указать “насколько сильно” или с какой степенью конкретный элемент удовлетворяет свойствам данного множества.

Определение 1. Нечетким множеством (fuzzy set) на универсальном множестве U называется совокупность пар (), где- степень принадлежности элементак нечеткому множеству. Степень принадлежности - это число из диапазона [0, 1]. Чем выше степень принадлежности, тем в большей мерой элемент универсального множества соответствует свойствам нечеткого множества.

Определение 2. Функцией принадлежности (membership function) называется функция, которая позволяет вычислить степень принадлежности произвольного элемента универсального множества к нечеткому множеству.

Нечеткое множество (или нечеткое число), описывает некотоpые понятия в фyнкциональном виде, т. е. такие понятия как "пpимеpно pавно 5", "скоpость чyть больше 300 км/ч" и т. д., как видно эти понятия невозможно пpедставить одним числом, хотя в pеальности люди очень часто пользyются ими.

Hечеткая пеpеменная это тоже самое, что и нечеткое число, только с добавлением имени, котоpым фоpмализyется понятие описуемое этим числом.

Операции над нечеткими множествами

Содержание

Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E.

Говорят, что A содержится в B, если "x ОE mA(x) <mB(x).

Обозначение: A М B.

Иногда используют термин "доминирование", то есть в случае если A М B, говорят, что B доминирует A.

Равенство

A и B равны, если "xОE mA(x) = mB (x).

Обозначение: A = B.

Дополнение

Пусть M = [0,1], A и B - нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если

"xОE mA(x) = 1 - m B(x).

Обозначение: B = или A =

Очевидно, что = A. (Дополнение определено для M = [0,1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного M).

Пересечение

AЗB - наибольшее нечеткое подмножество, которое содержится одновременно в A и B.

mAЗB(x) = min( mA(x), mB(x)).

Объединение

А И В - наименьшее нечеткое подмножество, которое включает как А, так и В, с функцией принадлежности:

mAИ B(x) = max(mA(x), m B(x)).

Разность

А - B = АЗ с функцией принадлежности:

mA-B(x) = mA З (x) = min( mA(x), 1 - m B(x)).

Дизъюнктивная сумма

АЕB = (А - B)И(B - А) = (А З ) И( З B) с функцией принадлежности:

mA-B(x) = max{[min{m A(x), 1 - mB(x)}];[min{1 - mA(x), mB(x)}] }

14 Элементы математической логики.

Математическая логика – разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.

Определение. Высказыванием называется предложение, к которому возможно применить понятия истинно или ложно.

В математической логике не рассматривается сам смысл высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято обозначать соответственно И или Л.

Понятно, что истинные и ложные высказывания образуют соответствующие множества. С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами “и”, “или”.

Таким образом, операции с высказываниями можно описывать с помощью некоторого математического аппарата.

Вводятся следующие логические операции (связки) над высказываниями

1. Отрицание. Отрицанием (логическим “не”) высказывания Р называется высказывание, которое истинно только тогда, когда высказывание Р ложно.

Обозначается Р или.

Соответствие между высказываниями определяется таблицами истинности. В нашем случае эта таблица имеет вид:

P	Р
И	Л
Л	И

2) Конъюнкция. Конъюнкцией (логическим “и”) двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.

Обозначается P&Q или РQ.

P	Q	P&Q
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

3) Дизъюнкция. Дизъюнкцией (логическим “или”) двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Обозначается PQ.

P	Q	PQ
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

4) Импликация. Импликацией (логическим следованием) двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание Р истинно, а Q – ложно.

Обозначается PQ (или РQ). Высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q – следствием.

P	Q	PQ
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

5) Эквиваленция. Эквиваленцией (логической равносильностью) двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают.

Обозначается РQ или РQ.

P	Q	PQ
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	И

С помощью этих основных таблиц истинности можно составлять таблицы истинности сложных формул.