Метод Рунге-Кутта IV порядку (інший погляд)

Метод Рунге-Кутта IV порядку

де

Загальний погляд на однокрокові методи (Рунге- Кутта).

Однокроковий метод – метод , у якому визначається виключно через

не залежить від

Загальна формула :

або

(1)

Метод Ейлера – це метод РК-І (Рунге-Кутта першого порядку). У ньому

Метод РК-ІІ. У ньому

Порядок методу ,це т-порядок малості нев`язки

Очевидно ,що бо інакше при

Нев`язка (тут ):

Розвинення у ряд Тейлора навколо дає

Тут

Остаточно маємо

Очевидно, що ,якщо то

Можна підібрати але загалом члентому

Умови визначаютьдругий порядок точності методу РК-ІІ.

Традиційно методом РК-ІІ називають (1) при

Якщо вибрати

Цей метод можна вважати варіантом методу “предикатор-коректор”. Спочатку прогнозується значення

а потім оцінюється

Метод Ейлера

Найпростіший метод - Ейлера (Euler).

З ряду Тейлора:

Якщо то

Тому помилка Але

Похибка дискретизації у точці

Похибка дискретизації на інтервалі

Для методу Ейлера

де

Якщо прито

Помилка

Нехай

тоді

Усі модернізації полягають у модифікаціях формули Ейлера

(1)

де - для різних методів - різні .

Формулою (1) об`єднуються т. зв. однокрокові методи , або методи Рунге-Кутта (Runge-Kutta).

- це метод Х`юна (Рунге-Кутта II порядку);

Методы Адамса

Рассмотрим задачу Коши

y' =f(x,y) ,aЈxЈb

(1)

y(a) =y0

(2)

В методах Рунге-Кутта значение yk+1 зависело только от информации в предыдущей точкеxk. Кажется вполне вероятным, что можно добиться большей точности, если использовать информацию о нескольких предыдущих точкахxk,xk-1 , … Именно так и поступают в многошаговых методах.

Большой и важный класс многошаговых методов возникает на основе следующего подхода. Если подставить в формулу (1) точное решение y(x) и проинтегрировать это уравнение на отрезке [xk,xk+1 ] , то получим

y(xk+1 )-y(xk )= y'(x)dx= f(x,y(x))dx » p(x)dx,

(3)

где в последнем члене предполагаем, что p(x) -полином, аппроксимирующийf(x,y(x)) . Чтобы построить этот полином, предположим, чтоyk,yk-1 , … ,yk-N-приближения к решению в точкахxk,xk-1 , … ,xk-N. Мы по-прежнему считаем, что узлы расположены равномерно с шагомh. Тогдаfiєf(xi,yi) (i=k,k-1, …,k-N) есть приближения кf(x,y(x)) в точкахxk,xk-1 , … ,xk-N, и мы в качествеpвозьмём полином для набора данных (xi,fi) (i=k,k-1, …,k-N) . Таким образом,p-полином степениN, удовлетворяющий условиямp(xi) =fi, (i=k,k-1, …,k-N) . В принципе, можно проинтегрировать этот полином явно, что ведёт к следующему методу:

yk+1 =yk+p(x)dx

(4)

В простейшем случае, когда N=0 , полиномpесть константа, равнаяfk,и (4) превращается в обычный метод Эйлера. ЕслиN=1 , тоpесть линейная функция, проходящая через точки (xk-1 ,fk-1 ) и (xk,fk) ,т.е.

p(x)= -(x-xk)fk-1 /h+ (x-xk-1 )fk/h.

Интегрируя этот полином от xkдоxk+1 , получаем следующий метод:

yk+1 =yk+h(3fk-fk-1 )/2

(5)

который является двухшаговым, поскольку использует информацию в двух точках xkиxk-1 . Аналогично, еслиN=2 , тоpесть квадратичный полином, интерполирующий данные (xk-2 ,fk-2 ) , (xk-1 ,fk-1 ) и (xk,fk) , а соответствующий метод имеет вид

yk+1 =yk+h(23fk-16fk-1 +5fk-2 )/12

(6)

Если N=3 , то интерполяционный полином является кубическим, а соответствующий метод определяется формулой:

yk+1 =yk+h(55fk-59fk-1 +37fk-2 - 9fk-3 )/24

(7)

Отметим, что метод (6) является трёхшаговым, а (7) -четырёхшаговым.

Формулы (5)-(7) известны как явные методы Адамса (Адамса- Башфорта) , т.к. они для нахождения yk+1 не требуют решения никаких уравнений. Метод (5) имеет второй порядок точности, поэтому его называют методом второго порядка. Аналогично, методы (6) и (7) называют соответственно методами Адамса- Башфорта третьего и четвёртого порядков.

Методы Адамса- Башфорта используют уже сосчитанные значения в точке xkи в предыдущих точках. В принципе, при построении интерполяционного полинома мы можем использовать и точкиxk+1 ,xk+2 и т.д. Простейший случай при этом состоит в использовании точекxk+1 ,xk, … ,xk-Nи построении интерполяционного полинома степениN+1 , удовлетворяющего условиямp(xi)=fi(I=k+1,k, …,k-N) . При этом возникает класс методов, изветных как неявные методы Адамса (Адамса- Моултона) . ЕслиN=0 , тоp- линейная функция, проходящая через точки (xk,fk) и (xk+1 ,fk+1 ) , и соответствующий метод

yk+1 =yk+h(fk+1 +fk)/2

(8)

является методом Адамса- Моултона второго порядка. Если N=2, тоp- кубический полином, построенный по точкам (xk+1 ,fk+1 ) , (xk,fk), (xk-1 ,fk-1 ) и (xk-2 ,fk-2 ), и соответствующий метод

yk+1 =yk+h(9fk+1 +19fk-5fk-1 -fk-2 )/24

(9)

является методом Адамса- Моултона четвёртого порядка.

Заметим теперь, что в формулах (8) и (9) значение fk+1 неизвестно. Дело в том, что для вычисленияf(xk+1 ,yk+1 )=fk+1 нужно знать значениеyk+1 , которое само пока является неизвестным. Следовательно методы Адамса- Моултона определяютyk+1 только неявно. Так, например, соотношение (8) действительно является уравнением

yk+1 =yk+h[f(xk+1 ,yk+1 ) +fk]/2

(10)

относительно неизвестного значения yk+1 . То же самое справедливо и относительно (9). В силу этого методы Адамса- Моултона называются неявными. В то же время методы Адамса- Башфорта называют явными, поскольку они для нахождения значенияyk+1 не требуют решения никаких уравнений.