1.4 Обратная матрица

Квадратная матрица А называется невырожденной или неособенной, если её определитель отличен от нуля, т.е. det A≠0.

Матрица, обозначаемая А^-1, называется обратной для матрицы А, если:

А·А^-1=А^-1·А=Е

Е - единичная матрица.

(из «школьной» алгебры: )

Если А – невырожденная квадратная матрица, то для неё существует обратная матрица, которая может быть определена по формуле:

(4)

Где A_ij – алгебраическое дополнение элемента a_ij определителя матрицы А, (A_ij)^T – так называемая союзная (присоединенная) матрица.

Для случая матрицы 3-его порядка формула имеет вид:

(4’)

Свойства обратной матрицы:

1. 

2. 

3. 

Пример 16 Найти матрицу , обратную к данной:

Решение:

1. Находим определитель матрицы:

т.к. detA≠0, то матрица А – невырожденная и обратная А^-1 существует и единственна.

2. Находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:

А₁₁=1, А₂₁=-(-1)=1,

А₁₂=-3, А₂₂=2.

Составляем матрицу

3) Находим обратную матрицу по формуле (4):

Сделаем проверку:

Замечание 6:

Для матрицы 2-го порядка союзная матрица ноходится просто: элементы главной диагонали меняются местами, а элементы побочной диагонали умножаються на (-1).

Пример 17 Найти матрицу, обратную к данной

Решение:

1. Находим определитель матрицы:

2) Находим алгебраические дополнение всех элементов матрицы А:

Составляем матрицу:

3) Находим обратную матрицу по формуле (4)':

Сделаем проверку:

3x3 3x3 3x3

.

1.5 Системы линейных алгебраических уравнений (слау)

Уравнение вида :

· +·+ … +·=b ,

где a₁, a₂ , a_n , b - некоторые постоянные, называется линейным уравнением с n неизвестными x₁ , x₂ , … , x_n .

В курсе средней школы рассматривали линейные уравнения с одним, двумя, тремя неизвестными; это уравнения:

a · x = b ;

a · x + by = с ;

ax + by + с · z = d .

C геометрической точки зрения, эти уравнения изображают соответственно точку на числовой прямой, прямую на плоскости, плоскость в пространстве.

• Системой линейных алгебраических уравнений называют два либо больше уравнений, которые решаются совместно.

Это означает, что решением системы будут те решения её уравнений, которые удовлетворяют всем уравнениям системы.

В частности, система двух линейных уравнений с двумя неизвестными x, y имеет вид:

(5)

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными x, y, z имеет вид:

(6)

В общем случает система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными записывается в виде:

(7) ,

где через а_ij обозначен коэффициент при неизвестном x_j в i-ом уравнении системы (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , n) , x₁ , x₂ , … , x_n - неизвестные, а числа b₁ , b₂ , … , b_m - называются свободными членами.

В матричной форме система (7) имеет вид:

A · X = B , (8)

где

А = - матрица системы (порядок m x n) , (9)

X = - матрица – столбец неизвестных ( порядок n x 1) ,

B = - матрица - столбец свободных членов (порядок m x 1 ).

• Решением системы (7) называется n значений неизвестных =, … ,, при подстановке которых в (7) все уравнения системы обращаются в верные равенства.

• Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

• Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение и неопределённой, если она имеет более одного решения.

В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы.

• Совокупность всех частных решений называется общим решение системы.

• Две системы называются эквивалентными ( равносильными) ,если они имеют одинаковые решения или обе несовместны.

Пример 18

Решить систему уравнений

Решение : Имеем систему линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными и.

Из «школьной» алгебры знаем методы:

а) Метод подстановки.

Из 2-ого уравнения выразим через:

= 13 + 2,

подставим найденное выражение в 1-ое уравнение, в результате получится одно уравнение с одним неизвестным:

2 (13 + 2) + 3= 12

= b

=

x =

26 + 4 + 3= 12

7 = -14

= -2

тогда: = 13 + 2· (-2) = 9 .

Ответ: = 9 ,= -2 , система определённая.

б) Метод сложения.

Умножим левую и правую части 2-ого уравнения на (-2):

- система ,эквивалентная данной

Сложим почленно уравнения системы:

7= -14 ,= -2 .

Подставим найденное значение в любое из уравнений исходной системы, пусть во 2-ое: x₁-2 · (-2)=13, x₁+4=13, x₁=9

Ответ: x₁ = 9, x₂ = -2.

Замечание 7: Коэффициенты при неизвестных уравнениях системы (5) не пропорциональны => система определённая.

Пример 19 Решить систему уравнений

Решение: Система неопределённая. Действительно, если обе части второго уравнения разделить на (-2), то получится первое уравнение, и система двух уравнений сводится к одному уравнения с двумя неизвестными, а именно:

x₁ – 2х₂ = 13 .

Система имеет бесчисленное множество решений, задаваемых формулой:

x₁ = 13 + 2х₂ .

Задавая произвольные значения неизвестному x₂ , получаем соответствующие значения x₁ .

Пусть, например x₂ = 0, тогда x₁ = 13 .

При x₂ = 1 =x₁ = 15 . Получили частные решения системы.

Замечание 8: Если коэффициенты при неизвестных и свободные члены в уравнениях системы (5) пропорциональны, следовательно, система неопределённая ,решениями является любая пара (х,у) , удовлетворяющая любому уравнению системы.

Пример 20 Решить систему уравнений

Решение: Система несовместна, т.к. одно выражение системы не может одновременно равняться различным значениям.

Ответ: решения нет.

Замечание 9: Если коэффициенты при неизвестных в уравнениях системы (5) пропорциональны, но они не пропорциональны свободным членам, то система несовместна.

Пример 21

Системы эквивалентны,- знак эквиталентности.

х₁ = 9 , х₂ = -2 .

Основными методами решения СЛАУ являются метод Крамера, матричный метод и метод Гаусса. Первые два метода применимы только для решения систем с квадратной невырожденной матрицей. Методом Гаусса можно решать любые СЛАУ.