8. Завдання для самостійної підготовки студентів.

8.1 Завдання для самостійного вивчення матеріалу з теми.

8.1.1. Практичне обчислення невизначених інтегралів

Перше, що необхідно ретельно вивчити - це таблиця основних невизначених інтегралів. Особливих труднощів це не викликає, оскільки таблиця основних невизначених інтегралів тісно пов'язана з таблицею похідних, у цьому легко переконатись безпосереднім порівнянням цих таблиць.

Наприклад, порівняємо рядок з таблиці похідних

7.

та рядок з таблиці інтегралів

.

Бачимо, що, коли підінтегральна функція дорівнює похідній, у даному випадку

,

то інтеграл дорівнює функції, яку диференціюють, тобто

,

плюс довільна стала С - стала інтегрування. Такий зв'язок цих таблиць пояснюється тим, що інтегрування є операцією, зворотною диференціюванню.

Друге, що необхідно вивчити, - це лінійні властивості операції інтегрування. Користуючись ними, можна обчислити інтеграл від алгебраїчної суми функцій.

Нехай, наприклад, треба обчислити інтеграл

.

Використовуючи лінійні властивості операції інтегрування, маємо

За допомогою таблиці інтегралів знайдемо

Підставляючи ці результати, одержимо

Отже, остаточно,

Третє, що необхідно вивчити, це метод обчислення інтегралів за допомогою заміни змінної інтегрування. Cуть методу така. При обчисленні інтегралів часто виявляється, що інтеграл, який необхідно вирахувати, у таблиці відсутній. У цьому випадку треба порівняти цей інтеграл з тими, що є у таблиці, та пошукати у ній інтеграл, який був би схожий на даний Вам для обчислення. Якщо такий інтеграл знайдений, слід спробувати придумати таку заміну змінної інтегрування, щоб після неї Ваш інтеграл перетворився у табличний. Після цього шукана відповідь переписується з таблиці.

Нехай, наприклад, необхідно вирахувати інтеграл

Порівнюючи цей інтеграл з тими, що є у таблиці, бачимо, що у таблиці його нема. Проте, є схожий на нього інтеграл

Можна спробувати перетворити даний для обчислення інтеграл у цей табличний за допомогою заміни змінної

Ідея такої заміни підказується тим, що у нашому інтегралі стоїть , а у табличному sinx. Після обрання заміни діють завжди однаково - знаходять диференціал dt. У нашому випадку

В загальному випадку з формул для підстановки та диференціала далі виражають dx через t та dt. Часто задача значно спрощується, зокрема, оскільки у вираховуваному інтегралі стоїть добуток , то зручно його виразити через dt:

=.

Підставимо в інтеграл

формули та =.

Одержимо

Далі необхідно підставити у цей результат , тобто повернутись до старої змінної x. Остаточно маємо, що

Розглянемо ще один приклад, але з меншою кiлькiстю пояснень. Нехай необхідно вирахувати інтеграл

.

Порівнюючи цей інтеграл з тими, що є у таблиці, бачимо, що у таблиці його немає. Проте, у знаменнику стоїть

,

а у таблиці є інтеграл від степеневої функції

Спробуємо привести наш інтеграл до цього вигляду, підставляючи

t = 1+sinx.

Диференціал нової змінної dt становить

dt = cosxdx.

Використовуючи t та dt, одержимо

Таким чином, для того, щоб вміти обчислювати невизначені інтеграли, треба знати та вміти застосовувати:

• таблицю невизначених інтегралів

• лінійні властивості операції інтегрування

• метод заміни змінної інтегрування.

Всі приклади, які були розглянуті у тексті, необхідно ретельно продумати і тільки переконавшись, що все зрозуміло, читати далі. Добре засвоївши все, про що написано досі, Ви не зустрінете особливих ускладнень при вивченні визначеного інтеграла. Тому раніше, ніж вивчати подальший матеріал, необхідно для виробки практичних навичок та закріплення придбаних знань вирішити декілька задач, рекомендованих для самостійного розв’язання та розташованих наприкінці глави.

8.1.1. Практичне обчислення визначених інтегралів

Вчитись обчисляти визначені інтеграли можна тільки після оволодіння елементарними практичними навиками обчислення первісних, оскільки формула Ньютона - Лейбніца

зводить визначений інтеграл від функції до різниці значень її первісної у верхній b та нижній a межах інтегрування. Інакше кажучи, для обчислення визначеного інтеграла необхідно спочатку знайти відповідну первісну , потім підставити у неї замість x спочатку верхню межу інтегрування b та одержати число , потім підставити у замість x нижню межу інтегрування a та одержати число , і, нарешті, різниця цих чисел дасть шукану відповідь.

Розглянемо приклад. Нехай необхідно обчислити

.

Первісна у цьому випадку дорівнює , тому

.

Все, що говорилось про обчислення невизначених інтегралів, у тому числі лінійні властивості інтегралів та метод інтегрування заміною змінної широко застосовуються і при обчисленні визначених інтегралів. Проте у останньому випадку метод заміни змінної інтегрування має одну особливість, про яку необхідно знати. А саме, йдеться про заміну меж інтегрування. Зрозуміти, у чому справа, простіше всього на конкретному прикладі.

Вирахуємо інтеграл

.

Оскільки у таблиці інтегралів немає інтегралів з логарифмами у підінтегральному виразі, то логічно вибрати заміну, яка дозволить звільнитись від логарифмів, а саме, нехай t = ln x.

Тоді , тому, підставляючи у інтеграл t та dt, одержимо

При інтегруванні по змінній t межі інтегрування будуть іншими. Для того, щоб їх вирахувати, треба:

1. підставити замість x верхню межу, у даному випадку 2, у формулу t = lnx; нова верхня межа дорівнює ln2;

2. підставити замість x нижню межу, у даному випадку 1, у формулу t = lnx; нова нижня межа дорівнює 0.

Таким чином, після заміни змінної маємо

.

Розглянемо ще один приклад, але більш коротко:

.

Бачимо, що у таблиці є інтеграл

.

Природно перетворити наш інтеграл у цей табличний підстановкою . Тоді ,.Нові межі інтегрування: нижня - 0, верхня - 16. Отже,

Нарешті, приклад у тому запису, у якому Вам необхідно представити Ваше завдання на контрольній роботі. Обчислимо інтеграл:

.

, .

8.1.2. Задачі для самостійного розв’язання

1. Через ділянку тіла тварини проходить імпульс струму, який змінюється з часом за законом

(мА).

Тривалість імпульсу  дорівнює 0,1с.

Визначити роботу струму за цей час, якщо опір ділянки дорівнює 50 кОм.

2. Визначити середнє значення квадрата сили синусоїдного струму при діатермії

.

3. Визначити середнє значення квадрата звукового тиску

.

4. Визначити середнє значення потужності змінного струму

.

5. Визначити середнє значення об'ємної густини енергії електричного поля апарату УВЧ - терапії

.

8.1.3. Контрольні запитання

1. Первісна функція.

2. Невизначений інтеграл.

3. Лінійні властивості інтеграла.

4. Геометричний зміст невизначеного інтеграла.

5. Основні невизначені інтеграли.

6. Метод заміни змінної.

7. Визначений інтеграл та його геометричний зміст.

8. Формула Ньютона-Лейбніца.

9. Середнє значення функції.