Вопросы для самопроверки

1)Что называется матрицей? Приведите примеры матриц.

2)Назовите математические операции над матрицами.

3)Что называется определителем? Каковы основные свойства определителей?

4)Что называется минором и алгебраическим дополнением?

5)Приведите правило вычисления определителя любого порядка.

6)Что называется системой линейных алгебраических уравнений?

7)Что называется решением системы линейных алгебраических уравнений?

8)Какие системы называются совместными, а какие – несовместными?

9)Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы?

10)Приведите матричный метод решения систем.

11)В чем состоит суть метода Гаусса?

Литература: [1], c.39-48, 52-55

Примеры: [2], c. 39-43, 70-73, 77-79, 86-94

2.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

2.1. Прямоугольная система координат на плоскости и

в пространстве

Определение. Декартовой прямоугольной системой координат (ДСК) на плоскости называется совокупность двух взаимно перпендикулярных числовых ориентированных осей ОХ, ОY и фиксированной точки плоскости, называемой началом координат и обозначаемой т.О.

Числовые оси ОХ и ОY имеют одинаковую масштабную единицу.

Любая точка плоскости однозначно определяется двумя числами х и у, которые называются координатами точки в данной системе отсчета (рис. 2.1).

Отрезок АВ (рис. 2.2) определяется двумя точками А(хА,уА) и В(хВ,уВ). Длина АВ или расстояние между двумя точками на плоскости определяется по формуле

AB xB xA 2 yB yA 2 .

Определение. ДСК в пространстве называется совокупность трех числовых ориентированных взаимно-перпендикулярных осей ОХ, ОY, ОZ, пересекающихся в т. О и имеющих одинаковую масштабную единицу.

15

Любая точка пространства (рис. 2.3) имеет три координаты (x, y, z). Расстояние между двумя точками А(xA, yA, zA) и В(xВ, yВ, zВ ) находится по

формуле: AB xB xA 2 yB yA 2 zB zA 2 .

2.2. Основные понятия

Определение. Скалярной величиной или скаляром называется величина, полностью характеризующаяся своим численным значением.

Примеры: температура t, масса m, длина l.

Вектором или векторной величиной называется величина, характеризующаяся численным значением, направлением и точкой приложения.

Примеры: скорость v , ускорение a , сила F .

Если вектор не жестко привязан к точке приложения, то он называется свободным и может перемещаться параллельно самому себе в любую точку приложения.

Геометрически векторную величину удобно изображать направленным отрезком.

Обозначается вектор: AB , если задан парой упорядоченных точек, т.А – его начало, т.В – его конец, или a, v, e .

Модулем вектора (его длиной) называется длина отрезка, изображающего

вектор. Обозначается модуль: AB или a .

Определение. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпа-

дают; обозначается 0; 0 0 . Определенного направления этот вектор не имеет.

Определение . Векторы называются коллинеарными, если расположены на одной или параллельных прямых.

Определение . Векторы называются компланарными, если расположены на одной или параллельных плоскостях.

Равные векторы – коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаково

0 угол, на который надо повернуть один вектор до его совпадения с дру-

16

гим, если привести оба вектора к общему началу.

Определение. Компонентой вектора AB по оси ОХ называется вектор A1B1 ,

где т.А1 – проекция т.А, т.В1 – проекция т.В на ось ОХ.

мя точками, необходимо из координат конца вектора вычесть одноименные координаты начала. Проекции вектора называются его координатами.

Свойства проекций векторов на ось l, где l обозначает одну из осей OX, OY или OZ:

1)прl а в прl а прlв;

2)прl а в прl а прlв;

3)прl а прl а;

4)равные векторы имеют равные проекции.

Для любого вектора на плоскости, заданного двумя точками, можно записать

Вектор а может быть задан в координатах на плоскости или в пространстве:

аах ,ау или а ах , ау , аz . Числа ах, ау, аz – проекции вектора a соответствен-

но на оси OX, OY, OZ. При построении вектора в качестве точки приложения бе-

17

зывают направление положительного отсчета. Декартова прямоугольная система координат может быть определена как совокупность фиксированной т.О и базиса

(рис. 2.6).

18

Рассмотрим линейные операции над векторами в координатной форме, учитывая разложение векторов по базису.

1) При сложении векторов, заданных в координатной форме, получаем вектор, координатами которого будет сумма одноименных координат слагаемых векторов:

a b axi ay j az k bxi by j bz k ax bx i ay by j az bz k

ax bx ; ay by ; az bz .

2)При вычитании векторов, заданных в координатной форме, получаем век-

тор, координатами которого будет разность одноименных координат векторов:

a b axi ay j azk bxi by j bzk ax bx i ay by j az bz k

ax bx ; ay by ; az bz .

3)При умножении на число λ вектора а , заданного в координатах, каждая

a axi ay j azk axi ay j azk ax ; ay ; az . 4) Равные векторы имеют равные координаты.

19

Аналогичный результат можно получить, используя свойства проекций.

Определение. Радиусом-вектором т.М называется вектор, соединяющий начало координат т.О с т.М, т.е. rM OM . Его координаты совпадают с координа-

тами т.М.

Свойства скалярного произведения:

1)a b b a ;

2)a b c a c b c ;

3)a b a b .

Скалярное произведение вектора а на себя называется скалярным квадра-

20