Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ВМ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

391.35 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>


25.	F ( p) =		p 2	−1	26.	F (p) =		3 p −1
			p3 + p 2	+ p +1				p 4 − 7 p 2 +12
27.	F (p) =			p	28.	F (p) =	4
			p3 +10 p2 +10 p +1				4 p3 −5 p2 + p
	F (p) =	1				F(p) =	3 p3 − p2 − 4 p +13
29.		(p2 − 4 p)(p2 +1)			30.			p2 (p2 − 4 p +13)

2.2.6 Користуючись методом операційного числення, знайти розв’язок диференціального рівняння, який задовольняє початковим умовам.

1.y′′′−6y′′+11y′−6 y = 0; y(0) = 0, y′(0) =1, y′′(0) = 0.

2.y′′′−3y′+ 2 y = 8te−t ; y(0) = 0, y′(0) = 0, y′′(0) =1.

3.y′′′− y′′+ 4 y′− 4 y = 5e−t

4.y′′′+ 2 y′′+ y′+ 2e−2t = 0;

5.y′′′+3y′′+3y′+ y = te−t ;

6. y′′′− y′ = 3(2 −t 2 ); y(0)

sin t; y(0) = y′(0) = y′′(0) =1. y(0) = 2, y′(0) =1, y′′(0) =1.

y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0.

= y′(0) = y′′(0) =1.

	IV	′′	′	(0) = y	′′	′′′
7.	y +10 y
			+ 9 y = 96 sin 2t cos t; y(0) = y		(0) = 0, y	(0) =1.

8.y′′′+ y′ = 0; y(0) = 2, y′(0) = 0, y′′(0) = −1.

9.yV − y′ = 0; y(0) = 0, y′(0) =1, y′′(0) = 0, y′′′(0) =1, yIV (0) = 2.

10.y′′′+ y′ = t; y(0) = 0, y′(0) = 0, y′′(0) = 0.

11.y′′′+ 2 y′′+10y′ = 0; y(0) = 2, y′(0) =1, y′′(0) =1.

12. yIV + y′′ = t 2 +t; y(0) = 0, y′(0) = 2, y′′(0) =1, y′′′(0) = −2.

13.yIV + y′′′ = cos t; y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0, y′′′(0) =1.

14.y′′′− 4 y = te2t ; y(0) = y′(0) =1, y′′(0) = 0.

15.y′′′+ y′ = t; y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0.

16.yIV + y′′′ = et ; y(0) = −1, y′(0) = y′′(0) = y′′′(0) = 0.

17.y′′′+ y = 0; y(0) = 0, y′(0) = −1, y′′(0) = 2.

18.

′′

+ y = cos t cos 2t;

y(0)

′

= y (0) = 0.

19.

y′′+ 4 y = sin 2t +1;

y(0) =

, y′(0) = 0.

20.

− y

= sh t;

y(0)

′

′′

′′′

= y (0) = y (0) = 0, y

(0) =1.

21.

′′

+ 9 y

= 2 sin t sin 2t;

′

y(0) = 0, y (0) = − 6 .

22.

′′

− 4 y

′

+8y = 61e

sin t;

′

y(0) = 2, y (0) = 4.

23.

′′

− 2 y

′

= e

−

3);

y(0) =

′

2, y (0) = 2.

′′

′

24.

+ 2 y

+ y

= e (cos t +t );

y(0) =1, y (0) = −1.

′′

′

−t

y(0)

′

25.

+ 2 y

+ 2 y = 2e

sin t;

= y (0) =1.

26.y′′′+3y′′−4 y = 0; y(0) = y′(0) = 0, y′′(0) = 2.

27.y′′′+ 2y′′− y′−2 y =1; y(0) = 3, y′(0) = −1, y′′(0) = 4.

28.yIV + y′′′ = cos t; y(0) = 2, y′(0) = y′′(0) = y′′′(0) =1.

29.yIV + 4 y′′+ 4 y = t sin t; y(0) =1, y′(0) = y′′(0) = y′′′(0) = 0.

30. y		−6 y	′′′	+9 y	′′	′	′′	′′′
30. y	IV	−6 y		+9 y		= 54t +18; y(0) = y (0) = 0, y (0) = y		(0) =1.
	IV

3.ТЕОРІЯ ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

3.1Аудиторні завдання

1.Які лінії на комплексній площині визначаються рівняннями:

= 1, b)

z − i

−

z + i

= ±1, c)

(

+ 1

)

= Re(z 2 ) ?

z + i

Відповіді:

коло:

+ y

, b) гіпербола:

	y 2		−	x2		= 1	, c) парабола:	y 2 = −x −	1	.
	1	2		3	2				2


	2
				2

2.		Обчислити (для багатозначних функцій знайти головні значення):

a) sh(i − 1) , b) ( 3 + i)i .

		−	π
	+ i sin1ch1,	−	6
a) − sh1cos1	+ i sin1ch1,	b) e	6	(cos ln 2 + i sin ln 2) .

3.Знайти область аналітичності функції ω = ln z . (Вся комплексна площина).

4.Знайти аналітичну функцію ω = (z) = u(x; y) + iv(x; y) за їїf

відомою дійсною u(x; y) або уявною v(x; y) частиною: a) u = e x (x cos y − y sin y) b) v = x3 − 3xy 2 .

(a) f (z) = ze z + iC, b) f (z) = iz3 + C).
5. Обчислити інтеграли:
a) ∫		dz , де L : нижнє півколо				z		= 1 , за годинниковою стрілкою,
	z
	z
L
i			2		1
b) ∫ z cos z				dz . a) − πi, b) −			sin1 .
b) ∫ z cos z				dz . a) − πi, b) −	2		sin1 .
0					2

Обчислити інтеграли за допомогою інтегральної формули Коші:

a) ∫

∫

2π

. a)

i .

=1 z3

+ 9z

z−i

=3 z3 +

πi n

Знайти радіус збіжності степеневого ряду

∞

z n . (

5 ).

sin

∑

Знайти розвинення функції f (z)

n=1

в ряд Лорана у вказаних облас-

тях:

f (z) =

z 2 − z + 3

a) 1 <

< 2,

b) 0 <

z − 1

< 3 .

z3 − 3z + 2

(− 1)

∞

6z + n

a) f (z) =

∑

9 n=1

z n+1

9 n=0

(− 1)n (z − 1)n

∞

b) f (z) =

∑

9(z −

3(z − 1)

27 n=0

9. Класифікувати ізольовані особливі точки функції f (z) (окрім z = ∞ ), та знайти в цих точках лишки функції:

a) f (z) =	eiz −1	, b) f (z) =	z 4 −1	.
	sin z
			(z −i)3

( a) z = 2πn(n Z ) - усувні особливі точки, Re s( f (z),2πn) = 0 , z =(2n +1)π - полюси першого порядку, Re s( f (z), (2n +1)π ) = 2 , b) z =i - полюс другого порядку, Re s( f (z), i) = −6 ).

3.2Варіанти індивідуальних завдань

3.2.1Які лінії на комплексній площині визначаються

рівняннями:

1 = − + + =

1.a) Re 1, b) z 3i z 3i 10.

2.a) Re(z 2 )= 4, b) z =1 − 2i =3.

3.a) Re(z + 2 −i) = Im(z), b) z − 2 = 1 − 2z .

4. a) Im(z 2 + 2z)= 2, b) z +1 −i = z .

5. a) Re(2z + 3) = (z )2 , b) z −5 − z + 5 = 6.

z −1

a) Re

= 0,

z + 4

z − 4

=10.

a) Im

=1, b)

z −1

z + i

8. a) (z )2 + 2 Re(z) = 0, b) z +1 −i = z −1 + i .

9.a) Im(z 2 )= 4, b) z + 4i + z − 4i =10.

10.a) Re(1 − z) = z , b) z + z − 6 =10.

11.a) Re(z 2 − 2z)= 0, b) z + 5 −i = 2.

12.a) Im(z + i) = Re(z), b) z − z −10i = 6.

13.a) Re(z 2 )= 0, b) z + z −8i =10.

14.a) Im(z) = z −i , b) z +8 + z =10.

15.a) z + z = 2, b) z +10i − z =8.

16.a) 2 Im(z) + z z = 0, b) z + 2 = z + i .

17.a) Im(z 2 )= 2, b) z + 3 −i =3.

18.

a) Re(2z) = z

, b)

−

z +10i

=6.

= Im(z) + 2,

19.

b) Re

20.a) z z = 2 Re(z), b) z + 2 + z = 6.

21.a) z − 4 = Re(z), b) z −1 + z +1 = 6.

22.a) (z + i)(z −i)= 4, b) z −3 + z + 3 =10.

23.	a) Im	(		)2	= 2, b)	z +1	= 2.
			z
			z

24.

a) z 2 + (

)2 = 2,

z + 2i

z +1.

a) Re(z 2 + 4z)=

25.

0, b) Im

=1.

26.

a) Re((z + i)(z −i)) = 0, b)

z − 2

−

z +8

=8.

=3 + Im(z).

27.

a) Re

, b)

z + i

z −i

= 0, b) Im(z −1 + i) = Re(z +1).

28.

a) Re

z + i

29.a) Re((z −i)2 )= 0, b) z + +2i = 4.

30.a) Re(z 2 )+ z z = Im(z), b) z + 2 + z − 4 =10.

3.2.2Обчислити (для багатозначних функцій знайти головні

значення):

1. a) ln(−1 −i),

	b)

3 −i i .

2. a) (i)1+i ,		1	−i
2. a) (i)1+i ,	b) ln		.

			2


3. a) ln		3 + i , b) (i)−1−i .
			2
			2
5. a) sh(i + 2),							1	+ i −i
5. a) sh(i + 2),					b)			.

								2
		π							i
7.			i	+				i − 1
7.	a) ch	2	i	+	1 ,	b)			.
		2						2

9. a) sin(1 + i), b) (1 − i) i.

11.	a) cos(3 + i),					b) (1 + i) i.
13.		1 + i						1 − i		i
13.	a) ln			,		b)				.
			2					2
			2					2
		1 + i	2i						π			π
15.		1 + i		,						+ i
15.	a)	2		,		b) ch			3	+ i		2	.
		2							3			2
17.			−	π
17.	a) ch 2		−	2	i , b) (1 − i) 2 i.
				2
19.	a) ln(1 − i			3),			b) sh(1 + πi).
21.	a) 21+i ,						3 − i
21.	a) 21+i ,		b) ln				3 − i			.
								2
								2
23.	a) ln(− 1),			b)			3 + i				2i
23.	a) ln(− 1),			b)			3 + i			.
								2
								2
25.	a) ch(3 − 2i),					b) (i)2i .

4. a) (i)i , b) ch(3i − 2). 6. a) (− 1)i , b) ch(i + 2).

		1	− i	3		1	ln 2+i	π
8.		1	− i	3			ln 2+i	4 .
8.	a) ln				, b) e 2			4 .
			2
			2

10.	a) ch(1 + i),			b) 22−i.
12.		3 + i	1+i			b) ch(2 − π i).
12.	a)	3 + i			,	b) ch(2 − π i).
		2
		2
14.	1+π i						π
14.	a) e	2 , b) cos					3	+ i .
							3
16.	a) ln(− i),		b)		1	+ i		i
16.	a) ln(− i),		b)					.

						2
18.		1 + i		3		b) ch(2 + πi).
18.	a) ln	1 + i		3	,	b) ch(2 + πi).
		2
		2
		i								3π
20.	a) ( 3 − i) ,			b) ch 1 +								i	.
20.	a) ( 3 − i) ,			b) ch 1 +					2			i	.
									2
22.	a) sh(i − 2),			b) (i − 1)2i .
24.	ln 2−π i		,			1 − i			3		3i
24.	a) e	2	,	b)						.
								2
								2
26.		3 − i	1+i			b) sh(2 + π i).
26.	a)	3 − i			,	b) sh(2 + π i).
		2
		2

27.		−1 + i	3−i.
27.	a) ln	, b) 2	3−i.

		2
				3 − 4i
29.	a) sin	(π −i ln 2), b) ln			.
29.	a) sin	(π −i ln 2), b) ln		5	.
				5

28.	i		+	π
28.	a) (i −1) ,	b) sh 1	+	3	i .
				3

30. a) cos(π + i ln 2), b) ln(3 − 4i).

3.2.3. Знайти область аналітичності функції:

1. ω = 2 cos2 z .

2. ω = z

+ i Im(z 2 ). 3. ω =e z .

5. ω =

6. ω = (

)2 .

7. ω = ch z.

9. ω = sh z.

10.

ω =

11.

ω =

z −1 +i

13.

ω = i ln z.

14.

ω = cos z.

15.

ω = (1 + i)z 2 .

17.

ω = ch 3z.

18.

ω = sin z cos z.

19.

ω = e

21.

ω = z 2 + z.

22. ω =sh(

23. ω = ln(z +1).

25.

ω =

z −1

26. ω = 2 sin 2 z.

27. ω = z 2 .

29. ω = z3.

30. ω = z e z .

4. ω = sin z.

8. ω =iz 2 .

12.ω = 2 z.

16.ω =eiz .

20.ω = ln(z 2 ).

24.ω = (1 − i)z 2 .

28. ω = 1 . z 2

3.2.4 Знайти аналітичну функцію ω = f (z) =u(x; y) + iv(x; y) за

їївідомою дійсною u(x; y) або уявною v(x; y) частиною:

1.a) u = x2 − y 2 , b) v = e x (cos y + sin y).

2.a) u = x3 −3xy 2 , b) v = e y cos x .

3.a) u = ln(x2 + y 2 ), b) v = 2xy + 2 y .

4.a) u = cos 2x ch 2 y , b) v = y 2 − x2 + 2xy .

5. a) u =	x	, b) v = e y sin x .
	x2 + y 2

6. a) u = x − y , b) v = cos x . e y

7. a) u = 2xy , b) v = 2 x cos(y ln 2) .

8. a) u =sin x sh y , b) v = x2 − y 2 + 2xy . 9. a) u = cos x ch y , b) v = ln(x2 + y 2 ).

10. a) u =	y	, b) v =	sin x	.
	x2 + y 2
			e y

11.a) u = e x sin y , b) v = cos y sh x .

12.a) u =sin x ch y , b) v = e x cos y .

13.a) u = y3 −3x2 y , b) v = 2 x sin(y ln 2).

14.a) u = arctg xy , (x > 0) , b) v = sin x ch y .

15.a) u = e x cos y , b) v = cos x ch y .

16.a) u = cos x sh y , b) v = x3 −3xy 2 .

17.a) u = 2 x cos(y ln 2), b) v = x2 − y 2 .

18. a) u =	sin x	, b) v =	x	.
	e y		x2 + y 2

19.a) u = cos y ch x , b) v = arctg xy , (x > 0).

20.a) u = e y sin x , b) v = cos x sh y .

21. a) u = 2 x sin(y ln 2) , b) v =	y	.
	x2 + y 2

22.a) u =sin y sh x , b) v =3x2 y − y3 .

23.a) u = cosy x , b) v = e x sin y .

24.a) u = x2 − y 2 − 2xy , b) v = sin y ch x .

25.a) u = cos y sh x , b) v = 2xy .

26.a) u = x2 + 2x − y 2 , b) v = cos y ch x .

27.a) u = e x (cos y −sin y), b) v = sin x sh y .

28.a) u =sin y ch x , b) v = x + y .

29.a) u = e y cos x , b) v = sin 2x sh 2 y .

30.a) u = x2 − y 2 + 2xy , b) v = sin y sh x .

3.2.5Обчислити інтеграли:

1. a) ∫

dz , де L : відрізок,

що з’єднує

z1=0

та z2=1-i,

b) ∫ (sin z + cos z)dz .

dz , де L : верхнє півколо

a) ∫

=1 , за годинниковою стрілкою,

1+i

∫ 2zdz .

1−i

3. a) ∫ z

dz , де L :верхнє півколо

= 2 , проти годинникової стрілки,

∫ ze z2 dz .

−1

1+i

a) ∫

dz , де L : відрізок, що з’єднує z1=i та z2=1,

∫ cos zdz .

5. a) ∫

(1 −3i −

)dz , де L : відрізок, що з’єднує z1=1+3i та z2=5-i,

b) ∫ z sin zdz .

1+i

6. a) ∫ Re zdz , де L : відрізок, що з’єднує z1=0 та z2=2+i,

b) ∫ ze z dz .

1−i

7. a) ∫ z Im zdz , де L : z = (1 + i) t, 0 ≤t ≤ 2

∫ cos zdz .

π+i

8. a) ∫ eRe z dz , де L : z = (2 + i) t, 0 ≤t ≤1,

1+i

b) ∫ z 3dz .

9. a) ∫

dz , де L : y = x2 , 0 ≤ x ≤1,

b) ∫i (2z3 −5z 4 )dz .

10. a) ∫ (1 +

)dz , де L : відрізок,щоз’єднуєz1= і та z2 = 1, b)

1+i

∫ (2z +1)dz .

−1−i

11. a) ∫ Im z 2 dz , де L :

y = x2 , 0 ≤ x ≤1,

b) ∫0 (4z 3 + z)dz .

1−i

12. a) ∫ e

dz , де L : відрізок, що з’єднує z1=0 та z2=1+i,

b) ∫ ze z2 dz .

y 2 −1

13. a) ∫ ((Im z)2 − z −

)dz , де L : x =

, −1 ≤ y ≤1, b) ∫ (z −1)e−z dz .

14. a) ∫ z Re zdz , де L : верхнє півколо

=1 , за годинниковою

1+i

стрілкою,

b) ∫sin z cos zdz .

15. a) ∫ z Im zdz , де L :

y = x2 , 0 ≤ x ≤1,

b) ∫ ze z2 dz .

−i

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.02.201639.63 Кб7визиренко.docx
#
23.09.201959.39 Кб4Вимоги до звіту.doc
#
07.02.201677.82 Кб7Вимоги до оформлення літератури (1).pdf
#
02.09.2019115.71 Кб1Виробн.та перед.пр-ка 2001.doc
#
07.02.2016793.86 Кб30ВИЧ,СНИД роль соц.работника.pdf
#
07.02.2016391.35 Кб8ВМ.pdf
#
07.02.2016386.07 Кб7ВМ1.pdf
#
06.11.2018294.4 Кб28Возрастная анатомия и физиология.doc
#
09.11.20192.29 Mб4Вольтметры_U`.doc
#
22.08.2019332.8 Кб2вопроссы 51-60.doc
#
07.02.201636.02 Кб18Вопросы на зачет - аудит персонала.docx