- •І. Елементи лінійної алгебри
- •1.1. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса1
- •Приклади розв’язання слр методом Гаусса
- •Дослідження слр за методом Гаусса
- •Розв’язати систему лінійних рівнянь
- •1.2. Визначники другого порядку. Системи лінійних рівнянь з двома невідомими
- •1.4. Мінори. Алгебраїчні доповнення. Теорема про розклад
- •1.5. Теореми заміщення і анулювання
- •Розв’язання
- •За формулами Крамера розв’язати систему
- •1.7.1. Визначники вищих порядків
- •1.7.2. Обчислення визначників за правилом прямокутника
- •1.8. Матриці. Означення. Види матриць
- •1.9. Лінійні дії над матрицями
- •1.10. Множення матриць
- •9. . 10. 11..
- •1. . 2. 3..
- •4. . 5.. 6..
- •7. 6,-6,-36. 8. -6, -33, 198.
- •1.12. Обернена матриця.
- •Приклади для самостійного розв’язання
- •Приклад 2. Розв’язати матричним способом систему
- •4. . 5.. 6.. 7..
- •1.14.Ранг матриці
- •Знайти ранг матриць
- •1. . 2..
- •3. . 4..
9. . 10. 11..
12. . 13.. 14..
Перемножити прямокутні матриці:
15. . 16..
17. .
Знайти , якщо задана матриця і функція
Відповіді.
8. . 9..
10. . 11.. 12..
13. . 14.. 15..
16. . 17..
1.11. Визначник добутку матриць
Визначник квадратної матриці позначають(скорочення від латинської назви детермінант), або ||. Наприклад, якщо
то .
Теорема. Визначник добутку двох квадратних матриць -го порядку дорівнює добуткові їх визначників, тобто
, або . (1)
Рівність перевіримо для матриць другого порядку.
Приклад. Перевірити рівність (1) для таких матриць
Розв’язання. Обчислимо спочатку визначники заданих матриць та добуток їх
; ,
.
Знайдемо тепер добуток матриць іі теж обчислимо їх визначник
. .
Отже, .
Приклади. Знайти визначники матриць:
1. . 2. 3..
4. . 5.. 6..
Для поданих матриць знайти їх добутокта обчислити визначники. Результат перевірити за допомогою теореми.
Відповіді. 1. -1. 2. 343. 3. . 4. 1. 5.. 6..
7. 6,-6,-36. 8. -6, -33, 198.
1.12. Обернена матриця.
Поняття оберненої матриці розглянемо на прикладі квадратної матриці третього порядку, яке по аналогії можна буде узагальнити для матриць довільного порядку. Нехай
.
Означення 1. Матриця називаєтьсянеособливою (невиродженою), якщо її визначник відмінний від нуля, тобто .
Якщо ж , то матриця називаєтьсяособливою (виродженою).
Означення 2. Квадратна матриця називаєтьсяоберненою до матри ці , якщо виконується рівність
(1)
тобто добуток цих матриць дорівнює одиничній матриці .
Теорема. Якщо матриця -неособлива (), тоця умова є необхідною і достатньою для існування оберненої матриці .
Доведемо необхідність. Нехай матриця має обернену, тобто. За теоремою про визначник добутку двох матриць маємо
, бо . (2)
Тому рівність (2) можлива тільки тоді, коли і.
Достатність. Нехай визначник матриці відмінний від нуля, тобто. Скорочено позначимо. Покажемо, як знайти обернену матрицю.
Для кожного з елементів матрицізнайдемо відповідні їм алгебраїчні доповнення:, розмістивши їх у вигляді нової матрицівідповідно розташуванню елементівв. Отримаємо
(3)
(див., розв’язаний в 1.5 приклад, де отримано матрицю із алгебраїчних доповнень разом з перевіркою вірності їх значень). Протранспонуємо матрицю , замінивши рядки стовпцями, отримаємоформулу оберненої матриці
. (4)
За допомогою теорем про розклад та анулювання для визначників третього порядку неважко перевірити, що .
Приклад 1. Знайти обернену матрицю до матриці
.
Розв’язання здійснимо у такій послідовності
1) Обчислимо визначник матриці
.
Оскільки , то існує обернена матриця.
2)Знаходимо алгебраїчні доповнення елементів матриці
;;;;;;;.
3) Записуємо нову матрицю за формулою (3)
.
4) За формулою (4) отримуємо обернену матрицю
.
5) перевіримо, що ,
Приклад 2. Знайти матрицю, обернену до матриці
.
Розв’язання. 1) .
2) ;;
;.
3) .
4) .
5)
.
Приклади для самостійного розв’язання
Знайти обернені матриці для матриць:
1. . 2.. 3..
4. . 5.. 6..
7. .
Відповіді:
1. . 2.3..
4. . .5.. 6.
7. .
1.13. Розв’язування систем лінійних рівнянь
матричним способом
Обмежимось розглядом системи 3-х лінійних рівнянь
Запишемо такі матриці:
,
де складена з коефіцієнтів при невідомих — матриця системи,– матриця вільних членів,– матриця невідомих. Знайдемо добуток
Користуючись означенням рівності матриць, ми бачимо, що система ЛР (1) є не що інше, як рівність відповідних елементів матриць – стовпців і. Тому початкова система (1) набуває форму матричного рівняння
Для розв’язання останнього домножимо зліва рівняння (2) на обернену матрицю , вважаючи, що, отримаємо
Але , а, тоді розв’язок матричного рівняння (2) запишеться
(3)
Покажемо, що з формули (3) можна отримати формули Крамера. Дійсно, підставляючи в (3) вирази для і, маємо
За теоремою про заміщення кожний елемент останньої матриці дорівнює значенням допоміжних визначників , які були введені при розв’язуванні систем за формулами Крамера. Тому далі маємо
Звернемо увагу на те, що в формулі (3) співмножник , залежить тільки від коефіцієнтів при невідомих, а тільки від вільних членів. Тому, коли приходиться розв’язувати системи вигляду (1) з однаковими лівими частинами і різними вільними членами, то в таких випадках матричний розв’язок (3) стає зручнішим: обернену матрицю знаходимо тільки один раз і перемножуємо на нову матрицю . В той же час, за формулами Крамера прийшлося б заново обчислювати допоміжні визначникивідповідно для кожного нового набору вільних членів.
Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь матричним способом
Складемо матрицю системи
Для цієї матриці в 1.12. ми вже знайшли і обернену матрицю
Тому згідно (3) маємо
Отже,
Пропонуємо перевірити відповідь.