пособие 7 по матану (2 курс)
.pdf¬ã«¥◦ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
+ |
|
os |
|
+ |
|
os |
|
|
ZSZ |
P dydz |
Qdzdx |
Rdxdy |
ZSZ |
P |
α |
Q |
β |
R |
γ |
dS |
||||
¢)Ǒਬ¢ëç¨á«¨âì¥-¥-¨+¥âìä®à¬ã«ë¥£®. + |
Žáâண=à ¤áª®( £®:os |
|
|
|
|
) |
|
◦∂P , ∂Q , ∂R
∂x ∂y ∂z
|
|
◦ § ¯¨á |
|
-â¥£à « ç¥à¥§ âன-®© ¨-â¥£à « ¯® ä®à¬ã«¥ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
y |
¥¢ëç¨á«¨âìP7àëdydz.1.¢ëç¨á«‚ëç¨á«¨âìQdzdx¥¢ëç¨á«£¥®-. ¨ïRdxdy¯®¢-¥â¥£¥ààå=«-®áâ-µ ∂x |
∂y |
|
∂z ¶dxdydz |
|
||||||||||||||||||
7.3Ǒਬ. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ZSZ |
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
ZVZ Z |
∂P |
+ ∂Q + ∂R |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ëåá«®¢¨-âî,¥£à «®¢ ¢â®à®£® ⨯ . |
||||||||||||
-£à¨•‚믮«2)¥.á¢è¥£¥¥®-¤-ª¥-.¤¢®© |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
aRR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
¢- è-ïï ¯®¢ |
|
å |
áâì áä àë à ¤ ãá |
|
|
(xdydz + ydzdx + zdxdy)dS, £á¢¥S¤¥{ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
¨-1)¥¬¯. -¥‘¯®á®¡à£®¬ã¢ë¡à®¬ª¥âਧ¤¢®©---ë©£-æ¨î®¬ãà «ã.¥.¨â®¤-Ǒ®¢-¨ï⥣§¥ààè¤å«ã¥--®áâìî.¨ï毮.¥-â஬ãï¥-âáï¡ã¤ç «á䥥¬¥ª®®à¤¨¢ëç¨á«ïâìà , ¥¥ -ãà ,¢¬-¨¥--⨥ |
|||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
¥¬ ®á¨§¢®«ì- ï |
|
çª áä¥ ë. Ǒãáâì |
ϕ |
{ 㣠« |
ã |
||||||||||
x |
+«®y +¨ z¥«ì=-aë¬. Ǒãáâì- ¯à ¢«€¥{-¨¯à® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
¯« ᪮áâ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Oxá䥯à®à¨ç¥¥áªæ¨¥© à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à â®çª¨ A - |
||||||||||||||||
|
|
|
Oxy, a ψ { 㣮« ¬¥ ¤ã ¯«®áª |
|
|
Oxy ¨ à ¤¨ã -¢¥ªâ®à®¬ â®çª¨ |
||||||||||||||||||||
®®а( ¤¨- вл¢¢®¤пвбпв®зª¨ в ª ¥, ª ª ¨ ¯а¨ |
|
|
|
|
®© § ¬¥-¥ ¯¥à¥¬¥--ëå). ’®£¤ |
|||||||||||||||||||||
Aª ϕ |
ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
¯ 3 |
2 |
|
|
3 ¯ |
A ¬® -® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥: |
|
|
|
2¯ |
|
3 |
2 |
3 |
||||||||||||
|
|
|
|
¯3− 2 |
|
|
2− |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
â.¥x.‚ëç¨á«¨¬=¯®«ã稬a ϕ ®¯àψ,¥¬¤y |
a |
ϕ |
ψ, z |
a |
|
ψ µ |
0 |
≤ ϕ ≤ π, − |
|
≤ ψ ≤ |
¶, |
|||||||||||||||
|
|
|
os |
|
os |
¥âà¨ç«¨â= ¥«ì:sin¥áªãîosä®à¬ã=§ ¯¨á¨sin ¯®¢¥àå-®áâ¨2. |
|
π2 |
|
π2 |
||||||||||||||||
|
¯ |
P |
Q |
|
R |
= |
¯ |
a sin ϕ |
ψ |
|
a os ϕ osψ |
|
0 |
|
¯ = |
|
|
|
|
|||||||
|
∂ϕ |
∂ϕ |
|
∂ϕ ¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
=¯ |
∂x |
∂y |
|
∂z ¯ |
|
¯ |
a os ϕ osψ |
|
a sin ϕ |
ψ |
|
a sin ψ |
¯ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
−a os ϕ in ψ |
|
|
a sin ϕ sin ψ |
a os ψ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
¯ |
∂x |
∂y |
|
∂z |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
||
|
∂ψ |
∂ψ |
|
∂ψ ¯ |
|
sin |
ϕ o |
ψ sin |
ψ +=a |
|
|
ϕ os ψ sin |
|
|
|
|
||||||||||
|
¯a os ϕ os ψ¯ |
+a¯ |
|
|
¯ψ +a sin ϕ os ψ = |
|||||||||||||||||||||
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
a3 |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ψ + a3 os ψ sin2 ψ = a3 |
ψ. |
¢ëç¨á«¨¬ ¥£®. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
02π |
|
|
π2 |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
02π |
3 |
3 |
|
|
|
π2 |
|
|
|
3 |
|||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Ǒ®2). |
|
|
P, Q, R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
¢®á¯®«ì§® |
|
|||||||||
|
2+Z Z |
|
xdydz + ydzdx + zdxdy = |
dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
dϕ = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a =os2ψdψ = |
a sin ψ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ |
|
π2 |
|
|
x y |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|||
äãŽáâà®ï •Ǒਬ-ä®à¬ã«®©ªæ¨¨¥è£¥à-¨¥¤áª®¥à. Œ7£Žáâà®.2¥®â®¤.. ‚ |
|
|
|
|
∂P |
= ∂Q |
= ∂R |
= 1 |
|
Z |
|
|
a dϕ |
|
|
a ϕ¯ϕ=0 |
|
|
πa . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂P |
+ ∂Q |
+ ∂R = 3. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥£®, ¥¨§.â®-ªâ.¤¥£¯®-à ¯®«¥àåãá«®¢¨î¨§-®áâì¯à¨¬®.¥£à(Œëà -7¨ç¨¢.1,¬®=¯à¨¬2¥¥¬â ®¡ê¥-¨¢¥¬=ä®à¬ãè4¢ âì,«ã- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«®¨âì¨ï¬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¤áª |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ë稣à |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-: æ¨àã¤.¥¬ë ¢ í⮬ ®¡ê¥¬¥.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥© |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ॠ|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ë¡à¤¨ää- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
¤áç¨âǑà ¥¥-¬¨¬¯à®¨§¢®{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
‡ ¯¨è¥¬ ¯®¢¥àå-®áâ-ë© ¨-∂x⥣à ∂y« ç¥à¥∂z§ âன |
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-®©. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Z2 Z Z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
‚믮«-¨¬2 2Z Z 2 |
|
xdydz |
|
ydzdx |
|
zdxdy |
|
|
|
|
dxdydz |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
áä¥à¨ç¥2áªãî § +¬¥-ã ¯¥à+¥¬¥--ëå:= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
(=) |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
(¨-x⥣+ày «+¯®z =áäa¥à¥) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(¨-xâ¥+£ày «+¯®z ≤èa àã) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
r sin(=)3ψ, (0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ a), I = r2 os ψ. |
|
x = r os ϕ, y = y sin ϕ os ψ, z = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
2π |
|
π2 |
r2 os=ψdψ3 |
|
|
|
a |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
2π |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
dϕ Zπ2 |
|
|
|
|
|
|
|
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
Z0 |
|
dr Z0 |
= 3 Z0 |
dr Z0 |
|
r2 sin ψ¯ψ= |
|
π2dϕ =3 Z0 |
dr Z=02r2dϕ = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
r3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
0 |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0a |
2 |
r ϕ¯ϕ=0dr |
|
a |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
3 |
|
|
|
|
|
πa . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
3¨Z |
|
πr dr |
|
|
|
|
¯r |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
-â¥£à « |
|
= 12 |
|
|
|
|
¯ |
|
= 4 |
|
|
|||||||||||
|
|
Ǒਬ¥à 7.3. ‚ëç ᫨âì ªà¨¢®«¨-¥©-ë©= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + |
|
2 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
ä®à¬ã«®©) , ‘⮪ᣤ¥ |
{. ªà¨¢ ï |
|
|
¯ |
|
2, x + z = 1 ( |
|
y |
0 |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
0), ¯®«ì§ãïáì |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
(y −z)dx +(z |
−x)dy + |
||||||||||||
x − y dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
C |
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
a |
|
a |
|
h |
|
|
|
|
|
|
a > , h > |
|
|
|
|
|
|
|
â ï ªà¨¢ ï, |
|
P, Q, R { ¤¨ää¥à¥-æ¨àã¥¬ë¥ äã-ªæ¨¨.) |
|
|
|
|
|
C |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CZ (y − z)dx + (z − x)dy + (x − y)dz = ZSZ |
|
−=2dxdy − 2dydz − 2dzdx = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
‚믮«-¨¬ ¯ à ¬¥âà § æ¨î: |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 ZSZ |
dydz + dzdx + dxdy(=) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
¯ |
− |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = u os v, y = u sin v, z = h(1− os v) (0 ≤ u ≤ a, |
||||||||||||||||||||||||||||||
≤ v ≤ 2π). ‚ëç¨á«¨¬ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
¯ |
os v |
|
sin v |
|
|
0 |
|
|
¯ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
¯ |
|
u sin= v |
|
u os v |
|
h sin v |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‚¥¯ |
|
h |
|
|
v u |
|
|
|
v |
|
|
¯u |
|
|
|
|
v |
− |
h |
|
|
v |
|
|
v u h |
|
|
|
v |
− |
h |
v |
v. |
|||||||||||||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(=)à-¥¬áï ªsin¢ëç¨á«+ ¥-os¨î ¨-+⥣sinà « : |
|
os |
|
sin |
|
= |
|
+ |
sin |
|
|
|
os |
|
sin |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
2 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
− 2 Z0 |
du Z0=µu + h sin |
|
v − |
h2 |
sin 2v¶dv = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
−2 Z0 |
du Z0 |
µu + |
h2 |
(1 − os 2v) − |
h2 |
sin 2v¶dv = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0a |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
4 os 2 |
|
2π |
|
|
|
|
|
0a 2 |
|
2 2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = |
|
v¶¯v=0du = −2 Z µ πu + h |
π¶du = |
||||||||||||||||||||||||
|
|
−2 Z µuv + h µv |
− |
2 sin 2v¶ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ u2 |
− πhu¶¯u=0 |
|
− πa h |
a . |
||||||||||||
¨7-.4â‚ëç¨á«¨âì.¥1£‡à ¤ ¬-.¨ï¯®¢¤«ï¥àåá-¬®áâ®-ë¥ï⨥-«ì⥣-ணµ− π |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«ë® à¢â®¥4è஥-£¨ï® 2⨯. , |
¯ |
¢®¤ï= ¨å2 ª (¤¢®©+ -)ë¬ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1, 0 |
|
y |
|
|
|
2, 0 |
|
z |
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
7.2. RR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
¯ à ««¥«¥¯¨¯x dydz¥¤ 0+ y dzdx + z dxdy |
£¤¥ S { |
|
-¥è-ïï |
áâ®à®- |
¯®¢¥àå-®á⨠|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
S |
|
|
|
|
≤ |
|
≤ |
|
|
|
≤ |
|
|
|
≤ |
|
|
≤ |
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
RR |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ y2 |
= z2 |
0 ≤ z ≤ 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ª®-¨ç¥áª®©(y¯®¢− ¥zàå)dydz-®áâ¨+ (z |
− x)dzdx + (x − y)dxdy, £¤¥ S { ¢-¥è-ïï áâ®à®- |
S
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
7.4. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
dxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
y dydz |
|
|
dzdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
RRx |
|
+ y |
|
+ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
S |
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
y |
x2dydz + y2dzdx + z2dxdy, ®£¤®¥¢ëç¨á«¨âìS { -¥è-ïï áâ®à®- |
áä¥àë |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
RR |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯®¢¥àå-®áâ-ë¥ ¨-â¥£à «ë. |
||||||
|
‘5¯®¬®éìî) ä®à¬ã«ë+() +Žáâà®+( £à) ¤áª= . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x−a |
|
|
|
|
|
y−b |
|
|
|
|
|
z |
−c |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
6 |
|
|
y |
|
x a, 0 |
|
|
y a, 0 |
|
|
z a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
RR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 x |
dydz |
|
|
y dzdx |
|
z dxdy |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
£à -¨æë ªã¡ |
||||||||||||||||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
y≤ |
|
|
≤ |
|
|
|
|
≤ |
≤ |
|
|
≤ |
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
7.7. |
RRx2 |
+ y2 |
+ z2 |
= a2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¤¥ S { |
|
|
|
|
|
|
áä¥àë |
|
|
|
S |
x2dydz + y2dzdx + z2dxdy, |
|
-¥è-ïï áâ®à®- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
y |
|
|
z x |
|
z |
|
x |
y |
|
|
|
|||
|
|
RR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
áâ®à®- |
|
|
¯®¢(x¥−àåy-+®áâ¨z)dydz + (y − z + x)dzdx + (z − x + y)dxdy, £¤¥ S { ¢-¥è-ïï |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1. |
|
||
|
Ǒਬ8 ¥-ïï ä®à¬ã«ã ‘⮪á+ , ¢ëç¨á«¨âì+ + ¨-+â¥£à «ë+. |
|
| |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
− |
|
|
|
|
| |
|
| − |
|
| |
| |
− |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
y |
|
, |
|
|
= |
|
|
os |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¤¥ C { í««¨¯á x = a sin2 t, y = |
||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
(y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
98 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
7sin.9. os |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t ≤ t ≤ π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a |
t |
|
|
yt z |
|
|
|
|
a |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
12 |
5 |
||||||||||||
|
8π ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3t |
|
|
|
t π). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
yŽâ¢= ¥aâëos:R2t, z = a |
|
|
|
(0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y2z2dx + z2x2dy + x2y2dz, £¤¥ C { § ¬ª-ãâ ï ªà¨¢ ï x = a os t, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
.1 36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.2 |
|
|
|
|
|
|
.3 3 π |
|
||||||
[7.4 a + b + c)R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.5 3a |
|
|
|
|
.6 5 πa |
||||||||||||||||||||
.7 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[7.8 0 |
|
|
|
[7.9 0 |
|
1 |
|
Š•‚€’•›•ˆ€…•’, Š•ˆ‚Ž‹ˆ•1. |
…‰•›…, ǑŽ‚…•••Ž‘’•›… ˆ•’…ƒ•€‹› |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
‚믮«-¨¢ ¯®¤å®¤ïéãî § ¬¥-ã ¯¥à¥¬¥--ëå, - ©â¨ ¯«®é ¤ì, ®£à -¨ç¥--ãî |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x2 |
®â A |
|
|
0) ¤® B |
|
1). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2«¨-¨ï¬¨ x®¡ê=¥2¬y,¯¨àx =¬¨¤ë4y, xy = 1, xy = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
S |
2 |
|
|
|
|
ABCD, £¤¥ A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(0, 1, 0), D(0, 0, 1). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
‚ëç¨á«¨âì |
RS |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B4 (1, 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯®¢¥àå-®á⨠áä¥àë |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx + dy + dz |
£¤¥ S { ¤ã£ |
|
¯ à ¡®«ë y = x2 |
®â A( 1, 1) ¤® |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
¯€®é•’¤ì2., ®£à -¨ç¥--ãî «¨-¨ï¬¨+ |
y |
|
+ |
z |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
‚€•ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
(−1,20, 0), D(0, 0, 1). |
||||||||||
3 |
|
‚ëç ᫨âì |
|
|
|
|
|
|
|
ABCD, £¤¥ A(1, 0(0, 0), |
|
B(0, 1,(10), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
®¡ê¥¬ è |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
= 4. |
|
|
|
|
|
y = x2 |
− |
1 ¨ y |
= 1 − x2. |
|||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
©â¨ ¤ |
|
-㠤㣨 |
|
à+¡®«ë+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
‚ëç¨á«¨âì |
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
‚믮«‚€z•ˆ-=¢€x |
|
RRy |
|
|
z ≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ª®-ã |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dydz |
+ dzdx + dxdy, £¤¥ S { ¢-¥è-ïï áâ®à®- |
¯®¢¥àå-®á⨠|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
•’§ +¬3¥.-ã, ¯¥à¥1.¬¥--ëå, - ©â¨ ¯«®é ¤ì, ®£à -¨ç¥--ãî «¨-¨ï¬¨ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x + |
|
y2 =• 1,©â¨x +®¡êy =¥¬3,¯¨ày =¬¨¤ëx, y = 2x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
B(0, 1). |
|
|
|
|
RS dx¯®¢¥àå-®á⨠¯ à ¡®«®¨¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y |
|
= 1 ®â A(1, 0) |
|||||||||||||||||||||||||||||
¤® |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
+ dy + dz, £¤¥ S { ¤ã£ |
|
®ªàã -®á⨠x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ëå,(0 |
= 2 |
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
, |
|
2. |
|||||||||||
|
|
|
|
¯€®é•’¤ì4., ®£à - ç¥--ãî «¨-¨ï¬¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z ≤ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
‚€•ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2, |
|
z |
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
®¡ê¥¬ ¯ à ¡®«®¨¤ |
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
y = x ¨ y = √ |
x |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ç¨á«¨âì¤ -㠤㣨 ¯ à ¡®«ë= 2 |
|
|
z ≤ |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
• ©â¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
x |
2 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
|
‚ëç¨á« |
|
|
|
|
RRz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = y |
|
®â A |
|
|
0) ¤® B(4 2). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
«¨1 -¨ï¬¨‚¯®«€x•ˆ-+¨¢€y |
|
|
|
|
|
|
|
+ dzdx + dxdy, £¤¥ S { ¢-¥è-ïï áâ®à®- |
¯®¢¥àå-®á⨠|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
áä¥àë |
|
|
|
|
|
|
S dydz |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
•’¯®¤å®¤ïéãî+ 5. = 4. |
§ ¬¥-ã ¯¥à¥¬¥-- |
|
|
|
|
|
- ©â¨ ¯«®é ¤ì, ®£à -¨ç¥--ãî |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
• ©â¨®¡êy =¥¬x¯¨à,y |
=¬¨¤ë2x, y = x, y = 2x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2C(−1, 0, 0), D(−1, 0, 1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
‚ëç¨á«¨âì |
|
|
|
|
|
|
|
|
ABCD, £¤¥ A(0, 0, 0), B(0, 1, 0), |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
¯ |
|
|
RS¤ì,6. ®£à -¨ç¥--ãî «¨-¨ï¬¨z2 |
= 4x |
+ 4y2, z ≤ 4. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4. ‚€•ˆ©â €¯«®é•’ dx¤ì+dy¯®¢+¥dzàå,-£®á⨤¥ S ª®{¤ã£á ¯ à ¡®«ë x = y |
|
|
|
®â A(1, 1) ¤® B(4, 2). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
®¡ê¥¬ ª®¤ã-£¨á |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
, |
|
|
|
1. |
|
y = x2 |
|
¨ y = x. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
©â¨ |
|
|
|
-ã |
|
|
|
®ªàã=-®á⨠|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3 |
|
•¡®«®¨¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
x |
|
y |
|
2 z |
≤2 |
= 4 ®â A(2, 0) ¤® B(−2, 0). |
|||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
z |
RR x |
|
|
y , z ≤ |
|
|
|
x |
+ y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
¯ à |
|
|
|
|
|
|
|
S dydz |
+ dzdx + dxdy, £¤¥ S { ¢-¥è-ïï áâ®à®- |
¯®¢¥àå-®á⨠|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
2 |
+ |
|
2 |
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯®«-¨¢ ¯®¤å®¤ïéãî § ¬¥- |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
--ëå, - ©â¨ ¯«®é ¤ì, ®£à -¨ç¥--ãî |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2Ǭ1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
S |
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30, 0), C(0,−1, 0), D(0, 0,−1). |
|||||||||||||||
-¨ï¬¨ ®¡êx =¥2¬y¯¨à, x =¬¨¤ë4y , x y =ãî1,¯¥xà¥y¬=¥ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
‚ëç¨á«¨âì |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ABCD £ |
|
|
|
A(0, 0, 0), B(−1, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
‚€•ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
®â A(−1, −1) ¤® B(1, 1). |
|||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
S dx¯®¢+dy¥+àdzå-,®á⨣¤¥ Sáä{¥¤àë㣠|
ªà¨¢®©2 2 |
y =2 |
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
¯€®é•’¤ì8., ®£à -¨ç¥-- |
|
|
2 |
«¨-¨ï¬¨+ |
|
|
+ |
|
|
= 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
®¡ê¥¬ è |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
+ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x2 |
− 4 ¨ y = 4 − x2. |
|||||||||||||||||||||||||
3 |
|
• ©â¨ ¤ |
-㠤㣨 ªà¨¢®©x + y |
|
= 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4 |
|
‚믮«‚€x•ˆ-=¢€z |
|
RRy |
|
|
x ≤ |
|
|
|
|
y = x3 |
|
®â A(0, 0) ¤® B(1, 1). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ª®-ã |
|
|
|
|
|
|
|
|
dydz |
+ dzdx + dxdy, £¤¥ S { ¢-¥è-ïï áâ®à®- |
¯®¢¥àå-®á⨠|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
•’§ +¬9¥.-ã, ¯¥à¥1.¬¥--ëå, - ©â¨ ¯«®é ¤ì, ®£à -¨ç¥--ãî «¨-¨ï¬¨ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y2 =• 1,©â¨x −®¡êy =¥¬3,¯¨ày =¬¨¤ë−x, y = −2x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3 |
|
‚ëç |
|
2 |
|
|
2 |
S |
|
|
|
2 |
|
|
|
ABCD £¤¥ A(−1, 0, 0), B(0,−1, 0),2 |
C(12, 0, 0), D(0, 0,−1). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
᫨âì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
B(−2, 0). |
|
|
RS dx¯®¢¥àå-®á⨠¯ à ¡®«®¨¤ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
+ y |
|
= 4 ®â A(2, 0) |
||||||||||||||||||||||||||||||
¤® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ dy + dz, £¤¥ S { ¤ã£ |
|
®ªàã -®á⨠x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
¯€®é•’¤ì10,.®£à - ç¥--ãî «¨-¨ï¬¨ |
|
|
= 2 |
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
y ≤ |
2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
‚€•ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 2 |
|
2 |
|
y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
®¡ê¥¬ ¯ à ¡®«®¨¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
y = x ¨ y = √ |
x |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ç¨á«¨âì¤ -㠤㣨 ¯ à ¡®«ë= 2 |
|
|
|
x ≤ |
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
• ©â¨ |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
z |
|
2 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
|
‚믮« |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = y |
|
|
− 1 ®â A(0, 1) ¤® B(3, 2). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
«¨1 -¨ï¬¨‚€•ˆx-3+€¢ yRR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
áä¥àë 4 |
|
|
|
|
|
|
|
dydz + dzdx + dxdy, £¤¥ S { ¢-¥è-ïï áâ®à®- |
¯®¢¥àå-®á⨠|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
•’4¯®¤å®¤ïéãî11+ .4 = 1.§ ¬¥-ã ¯¥à¥¬¥--ëå, - ©â¨ ¯«®é ¤ì, ®£à -¨ç¥--ãî |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
• ©â¨®¡êy =¥¬x¯¨à,y |
=¬¨¤ë2x, y = x, y = 2x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 0, 0), D(1, 0, −1). |
|||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
‚ëç |
᫨âì |
RS |
|
|
|
|
|
|
|
|
ABCD, £¤¥ A(0, 0, 0) B(0, −1, 0), C(12 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B4 (1, 0). |
|
|
|
|
|
|
¯®¢¥àå-®á⨠ª®-ãá |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx + dy + dz, £¤¥ S { ¤ã£ |
|
¯ à ¡®«ë x = y + 1 ®â A(2, 1) ¤® |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
¯€®é•’¤ì12,.®£à -¨ç¥--ãî «¨-¨ï¬¨= 4 |
|
|
+ 4 |
|
|
|
|
, |
|
≤ |
4. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
‚€•ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
®¡ê¥¬ ª®¤ã-£¨á |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
y = x2 |
¨ y = 2x. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
©â¨ |
|
-ã |
|
|
|
|
®ªàã=-2®áâ¨+ 2 |
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
‚ëç¨á«¨âì¡®«®¨¤ |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2z |
|
|
y |
2≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
x RR |
|
|
z |
|
|
2y , x ≤ |
|
|
|
+ y |
|
|
= 9 ®â A(3, 0) ¤® B(0, 3). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
¯ à |
|
|
|
|
|
|
S dydz |
+ dzdx + dxdy, £¤¥ S { ¢-¥è-ïï áâ®à®- |
¯®¢¥àå-®á⨠|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
2 |
+ |
|
|
2 |
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С О Д Е Р Ж А Н И Е |
|
§1. ПОВТОРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ…………………………………………………... |
3 |
1.1. Необходимые теоретические сведения…………………………………... |
3 |
1.2. Пример вычисления повторного интеграла……………………………… |
5 |
1.3. Задания для самостоятельного решения…………………………………. |
5 |
§2. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ……………………………………………………... |
5 |
2.1. Вычисление двойных интегралов сведением их к повторным……………. |
5 |
2.1.1. Необходимые теоретические сведения………………………………... |
5 |
2.1.2. Алгоритм вычисления двойных интегралов с помощью повторных.. |
6 |
2.1.3. Примеры вычисления двойных интегралов с помощью повторных.. |
7 |
2.1.4. Задания для самостоятельного решения……………………………… |
11 |
2.2. Замена переменных в двойных интегралах………………………………… |
13 |
2.2.1. Необходимые теоретические сведения………………………………... |
13 |
2.2.2. Алгоритм вычисления двойных интегралов с помощью замены……. |
13 |
2.2.3. Примеры вычисления двойных интегралов с помощью замены…….. |
14 |
2.2.4. Задания для самостоятельного решения……………………………… |
15 |
2.3. Приложение двойных интегралов к механике……………………………… |
16 |
2.3.1. Необходимые теоретические сведения………………………………… |
16 |
2.3.2. Задания для самостоятельного решения………………………………. |
16 |
§3. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ……………………………………………………… |
17 |
3.1. Вычисление тройных интегралов сведением их к повторным…………….. |
17 |
3.1.1. Необходимые теоретические сведения………………………………... |
17 |
3.1.2. Алгоритм вычисления тройных интегралов с помощью повторных... |
18 |
3.1.3. Примеры вычисления тройных интегралов с помощью повторных… |
18 |
3.1.4. Задания для самостоятельного решения……………………………… |
21 |
3.2. Замена переменных в тройных интегралах………………………………… |
22 |
3.2.1. Необходимые теоретические сведения……………………………….. |
22 |
3.2.2. Алгоритм вычисления тройных интегралов с помощью замены…… |
23 |
3.2.3. Примеры вычисления тройных интегралов с помощью замены……. |
23 |
3.2.4. Задания для самостоятельного решения……………………………… |
24 |
3.3. Приложение тройных интегралов к механике……………………………… |
24 |
3.3.1. Необходимые теоретические сведения………………………………… |
24 |
3.3.2. Задания для самостоятельного решения………………………………. |
26 |
§4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО ТИПА……………………... |
27 |
4.1. Необходимые теоретические сведения………………………………….. |
27 |
4.2. Алгоритм вычисления криволинейных интегралов первого типа……. |
28 |
4.3. Примеры вычисления криволинейных интегралов первого типа……... |
28 |
4.4. Задания для самостоятельного решения………………………………… |
29 |
4.5. Механические приложения криволинейных интегралов первого типа |
30 |
4.6. Задания для самостоятельного решения………………………………… |
30 |
§5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО ТИПА……………………... |
31 |
5.1. Необходимые теоретические сведения………………………………….. |
31 |
5.2. Алгоритм вычисления криволинейных интегралов второго типа…….. |
32 |
5.3. Примеры вычисления криволинейных интегралов второго типа……… |
33 |
5.4. Задания для самостоятельного решения………………………………… |
35 |
§6. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО ТИПА……………………… |
36 |
6.1. Необходимые теоретические сведения………………………………….. |
36 |
6.2. Алгоритм вычисления поверхностных интегралов первого типа……... |
37 |
6.3. Примеры вычисления поверхностных интегралов первого типа……… |
37 |
6.4. Задания для самостоятельного решения………………………………… |
38 |
§7. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО ТИПА……………………… |
39 |
7.1. Необходимые теоретические сведения………………………………….. |
39 |
7.2. Алгоритм вычисления поверхностных интегралов второго типа……... |
40 |
7.3. Примеры вычисления поверхностных интегралов второго типа……… |
41 |
7.4. Задания для самостоятельного решения………………………………… |
43 |
Контрольная работа………………………………………………………………….. |
45 |
Научное издание
ГУДОШНИКОВА ЕЛЕНА ВАЛЕРИЕВНА БРАТАШОВА МАРИЯ ВЛАДИМИРОВНА
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Учебное пособие для студентов, изучающих математический анализ.
Часть 7
Интегрирование функций многих переменных
Подписано в печать 1.09.2011 Формат 60×48 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать офсетная. Усл. печ. л. 3. Тираж 100 экз. Заказ № 176-.T
Типография Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского
410012 г. Саратов, ул. Большая Казачья, д. 112 а
Тел.: (8452) 27-33-85