Лекции по системному анализу

рассмотрим две переменные x1 и x2 , удовлетворяющие двум линейным уравнениям

a1 x1 + a2 x2 = c1 ,

(1.1)

b1 x1 + b2 x2 = c2 .

Эти уравнения связывают переменные: вместе они образуют систему ли- нейных уравнений, объектами которой являются переменные x1 и x2 . От- ношения между переменными определяются константами и ограничения- ми, наложенными одновременно на все данные величины. Система урав- нений (1.1) может рассматриваться как статическая по аналогии со ста- тической системой «пружина-груз». Эта аналогия определяется тем, что числа, которые удовлетворяют уравнениям, фиксированы, точно так же как, например, была вполне определенной длина пружины в механиче- ском примере.

С другой стороны, введение времени t дает, например, уравнение следующего вида:

dx1 = a1 x1 + a2 x2 , dt

(1.2)

dx2 = b1 x1 +b2 x2 . dt

Система (1.2) может быть названа динамической (если продолжить анало- гию с системой «пружина-груз»). В этом случае решение уравнений явля- ется функцией времени, точно так же как длина пружины в динамической системе оказывается функцией времени.

Термины «статический» и «динамический» всегда относятся к сис- темам уравнений, которые представляют собой абстрактные модели физи- ческих систем.

А б с т р а к т н ы е с и с т е м ы к а к м о д е л и . Два рассмотрен- ных примера дают нечто большее, чем просто иллюстрацию понятия сис- темы. Они являются примером использования одного из самых плодо- творных путей анализа физических систем – пути, который является ос- новным методом науки, – метода абстракции. Возвращаясь к простейшему примеру соединения груза и пружины, получим ясную иллюстрацию этого

11

метода. В статическом случае интересующие нас атрибуты объектов сис- темы таковы: постоянная K, определяющая свойства пружины, перемеще- ние x и вес груза W. Они связаны (в рамках закона упругости Гука) линей- ным уравнением

которое является уравнением вида (1.1) для одной переменной. Уже здесь проявляется тесная внутренняя связь между абстрактной системой (1.1) и ее физической реализацией. Для того чтобы изучить физическую систе- му, она заменяется абстрактной системой с теми же отношениями, и тогда задача становится чисто математической. Нетрудно показать, что такого рода аналогия имеет место и в динамическом случае; только в этом случае физическая система представляется системой дифференциальных, а не линейных алгебраических уравнений. Подобная практика, несомненно, хорошо знакома исследователям систем различной природы; в этом слу- чае обычно говорят о создании математической модели системы. Степень, с которой модель согласуется с реальным поведением системы, является мерой применимости модели для изучения данной системы.

Для того чтобы систему можно было достаточно успешно изучать с помощью математических методов, должны быть выполнены следующие условия:

1)должны быть хорошо известны имеющиеся в системе отношения между объектами;

2)должны быть определены количественные значения существен- ных для системы атрибутов объектов (причем число этих атрибутов не должно быть столь большим, при котором анализ системы становится не- возможным);

3)при заданном множестве отношений должны быть известны фор- мы поведения системы (которые определяются, например, физическими законами).

К сожалению, системы, удовлетворяющие всем этим условиям, встречаются достаточно редко. Точнее говоря, все системы удовлетворяют этим условиям лишь до некоторой степени, причем наиболее интересные

12

для нас системы, такие, как живые организмы, удовлетворяют им в значи- тельно меньшей степени, чем более простые системы, такие, как механи- ческие системы типа «пружина-груз».

О к р у ж а ю щ а я с р е д а с и с т е м ы .

Определение 1.5. Окружающая среда системы – это совокуп-

ность всех объектов, изменение атрибутов которых или отношений ме-

жду которыми влияет на систему, а также тех объектов, чьи атрибу-

ты или отношения между данными объектами меняются в результате действия системы.

Приведенное определение вызывает естественный вопрос: когда объект считается принадлежащим окружающей среде, а когда он принад- лежит системе? Если некоторый объект взаимодействует с системой так, как указано в определении, не означает ли это, что он является частью системы? Ответы на эти вопросы не являются очевидными. В известном смысле система вместе с окружающей средой представляет набор объек- тов, интересующих конкретного исследователя в определенной задаче. Разделение этого набора на две совокупности – система и окружающая среда – может быть произведено разными способами, причем все они дос- таточно произвольны. В конечном счете решение этой проблемы зависит от целей того, кто рассматривает некоторый набор объектов как систему.

Общая проблема определения окружающей среды данной системы является далеко не простой. Для того чтобы полностью определить окру- жающую среду, надо знать все факторы, которые влияют на систему или определяются системой. Как правило, исследователь включает в состав системы и ее окружающей среды все те объекты, которые ему кажутся наиболее важными, описывает внутренние отношения системы так полно, как это возможно, и уделяет большее внимание наиболее интересным ее свойствам, пренебрегая теми свойствами, которые, по его мнению, не иг- рают существенной роли. Такой метод идеализации широко применяется, например, в физике и химии; невесомая струна, воздух, не оказывающий сопротивления, абсолютный газ и т.п. – все эти понятия сильно упрощают описание и анализ механических и термодинамических наборов объектов.

13

Биологи, социологи, экономисты и другие ученые, интересующиеся жи- выми системами и их поведением, находятся в более трудном положении. В этих науках очень трудно отличить существенные переменные систем от несущественных; иначе говоря, если не считать анализа внутренних от- ношений, то проблема спецификации исследуемого набора объектов и последующее деление его на две совокупности – систему и окружающую среду – представляет здесь фундаментальную трудность.

Из определения системы и окружающей среды следует, что любая система может быть разделена на подсистемы. Объекты, принадлежащие одной подсистеме, могут рассматриваться как части окружающей среды другой подсистемы. Анализ подсистемы требует, конечно, рассмотрения новой совокупности отношений. Разумеется, поведение подсистемы не может быть полностью аналогично поведению включающей ее системы. В частности, такое свойство систем, как иерархическая упорядоченность системы, по сути дела, отражает возможность разделения системы на под- системы. Другими словами, можно сказать, что части системы сами могут быть системами более низких порядков. Одним из методов изучения сложной системы является рассмотрение в деталях поведения одной из ее подсистем. Другой метод заключается в наблюдении только макроскопи- ческого поведения системы как целого. Оба эти метода широко использу- ются в различных областях знания, и оба они имеют важное значение.

1.2. Основные свойства систем

Ц е л о с т н о с т ь и о б о с о б л е н н о с т ь . В определении сис- темы отмечено, что для всех систем характерно наличие отношений меж- ду объектами и между их атрибутами.

Определение 1.6. Если каждая часть системы так соотно-

сится с каждой другой частью, что изменение в некоторой части вызы-

вает изменения во всех других частях и во всей системе в целом, то сис-

тема ведет себя как целостность, или как некоторое связанное образо-

вание.

14

Определение 1.7. Если в совокупности совершенно не связан-

ных между собой объектов изменение в каждой части совокупности за-

висит только от самой этой части, а изменение в совокупности в целом является физической суммой изменений в ее отдельных частях, то такая совокупность называется обособленной или физически аддитивной.

Целостность и обособленность, очевидно, являются не двумя раз- ными свойствами, а предельными значениями некоторой меры одного то- го же свойства. Можно представить некоторую шкалу, где 100%-я целост- ность совпадает с 0%-й обособленностью, но такое употребление этих по- нятий, конечно, является просто терминологическим соглашением. Цело- стность и обособленность различаются по степени наличия некоторого свойства, и в настоящее время не существует метода их измерения.

Поскольку все системы обладают определенной степенью целостно- сти, проиллюстрируем это свойство конкретными примерами. Около од- ного конца нашей шкалы (100%-я целостность) находятся системы, по- добные пассивным электрическим цепям и их механическим аналогам. Для другого конца шкалы найти примеры труднее. Для описания совокуп- ности частей, не зависимых друг от друга, часто используется термин «комплекс», а термин «система» употребляется только тогда, когда для объекта характерна некоторая степень целостности. Однако более пра- вильно использовать для совокупности совершенно не зависимых друг от друга частей термин «вырожденная система», потому что нельзя отрицать наличия систематизирующих отношений даже в куче песка.

П р о г р е с с и р у ю щ а я и з о л я ц и я . Понятия целостности и обособленности могут быть использованы для того, чтобы качественно определить другие свойства, часто наблюдающиеся в физических систе- мах. Большинство неабстрактных систем изменяются во времени.

Определение 1.8. Если изменения системы во времени приво-

дят к постепенному переходу от целостности к обособленности, то это означает, что эта система подвержена прогрессирующей изоляции.

Этот процесс можно проиллюстрировать на примере уравнений (1.2), полагая, что «связывающие» члены этих уравнений a2 и b1 суть

15

функции времени. Если эти члены с увеличением времени стремятся к ну- лю, то в пределе сформируются две независимые системы, представлен- ные указанными уравнениями, или, иначе говоря, в этом случае можно считать, что более широкая система, соответствующая двум совместно рассматриваемым уравнениям, является «вырождающейся системой».

Следует различать два типа прогрессирующей изоляции. Первый, простейший тип, проиллюстрированный вышеприведенным примером, соответствует распаду. Примером распада физической системы может служить, в частности, вышедший из строя радиоприемник. Электронные элементы состарились, контакты испортились, переключатели не работа- ют и т.д., в конечном счете имеется просто совокупность некоторых час- тей, которая больше не является системой для приема радиосигналов. Второй тип прогрессирующей изоляции соответствует росту. Система изменяется в направлении возрастающего деления на подсистемы, под– подсистемы или в направлении возрастающей дифференциации функций. Этот тип изоляции возникает обычно в системах, в которых протекают процессы эволюции и развития.

П р о г р е с с и р у ю щ а я с и с т е м а т и з а ц и я .

Определение 1.9. Если изменения системы во времени приво-

дят к постепенному переходу от обособленности к целостности, то это означает, что система подвержена прогрессирующей систематизации.

Процесс изменения системы в отношении увеличения ее целостно- сти может состоять в усилении ранее существовавших отношений между частями; развитии отношений между частями, ранее не связанными между собой; постепенном добавлении частей и отношений в систему или в ком- бинации этих изменений. Рассмотрим в качестве примера развитие теле- фонной сети, действующей на большие расстояния. На начальном этапе по всей стране появляются местные телефонные коммутаторы. Затем коммутаторы соединятся междугородными линиями. С усовершенствова- нием методов передачи прибавляются новые коммутаторы, действующие на все большие расстояния. Далее создается автоматический набор теле-

16

фонного номера, что отдает сеть в распоряжение операторов и в конечном счете в распоряжение клиентов.

Вполне возможно, что прогрессирующая изоляция и прогресси- рующая систематизация имеют место в одной и той же системе. Эти два процесса могут развиваться одновременно и протекать сравнительно дол- го, при этом система находится в определенном равновесном состоянии. Прогрессирующая изоляция и прогрессирующая систематизация могут протекать также последовательно.

Ц е н т р а л и з а ц и я .

Определение 1.10. Централизованная система – это такая система, в которой один элемент или одна подсистема играет главную роль в функционировании всей системы. Эта часть называется ведущей частью системы, или ее центром.

Малые изменения в ведущей части отражаются на всей системе, вы- зывая значительные изменения в ней. Прогрессирующая изоляция и про- грессирующая систематизация могут сопровождаться прогрессирующей централизацией. В этом случае система эволюционирует так, что одна ее часть берет на себя функции центрального и управляющего органа.

Понятие централизованной системы порождает важный принцип: чем более централизована система, тем более должна быть защищена ее ведущая часть от воздействия нежелательных факторов окружающей сре- ды.

Понятия централизации и иерархической упорядоченности связаны между собой. Полностью децентрализованная система имеет только один уровень иерархии (уровень организации). Более высокая централизация сопряжена с большим числом уровней иерархии. Многие проблемы про- ектирования и оптимизации систем связаны с нахождением такой степени централизации, при которой система работала бы оптимально. Например, обычными вопросами, возникающими при проектировании систем, явля- ются: сколько уровней иерархии должна иметь система? Сколько подсис- тем должно находиться на данном уровне? Какие функции должны вы- полняться на данном уровне и в какой части системы должна размещаться

17

данная функция? Какие виды связей нужны для того, чтобы поток инфор- мации или материалов объединял различные уровни иерархии системы?

П р и м е р ы с и с т е м с р а з л и ч н ы м и с в о й с т в а м и . Не- которые из рассмотренных свойств систем иллюстрируются схемой, пред- ставленной на рис. 1.1. На этом рисунке оси намеренно оставлены без де- лений, чтобы подчеркнуть тот факт, что при текущем состоянии наших знаний понятия целостности и централизации не допускают измерения по шкалам отношений. На рисунке показаны три системы, каждая из которых испытывает изменения определенного типа. Система 1 обнаруживает про- грессирующую систематизацию, тогда как степень централизации остает- ся постоянной. В системе 2 имеет место прогрессирующая централизация, в то время как степень целостности остается постоянной. В системе 3 од- новременно протекают прогрессирующие изоляция и децентрализация.

Централизация

3

2

Децентрализация 1 Обособленност Целостность

Рис. 1.1. Макроскопические свойства систем.

1.3. Естественные системы

В общем случае все системы принадлежат к одному из двух видов – они могут быть естественными или искусственными. Описание и изучение естественных систем составляет фактически основное содержание естест- венных наук – физики, химии, биологии и т.п. Искусственные системы – системы, созданные человеком, – являются объектами, в проектировании, создании, использовании и исследовании которых принимают участие специалисты практически всех областей знаний. Окружающей средой ис-

18

кусственных систем являются естественные системы, поэтому изучение естественных систем представляет не только самостоятельный интерес, но и является, как правило, составной частью исследований искусственных систем.

О т к р ы т ы е и з а м к н у т ы е с и с т е м ы .

Определение 1.11. Система называется открытой, если она обменивается с окружающей средой веществом, энергией или информа-

цией.

Большинство естественных систем являются открытыми.

Определение 1.12. Система называется замкнутой, если в нее не поступают и из нее не выходят вещество, энергия или информация.

Открытая система становится замкнутой, если прекращается посту- пление в нее и выход из нее вещества, энергии или информации в любой форме. В общем случае, является ли система открытой или замкнутой за- висит от того, какая часть окружающего мира включена в систему и какая в окружающую среду. Если к системе добавляется та часть окружающей среды, с которой происходит обмен материей в любой форме, то система становится замкнутой. Если естественная или искусственная система изу- чается как открытая система, то наш интерес сосредоточивается на ее вхо- дах и выходах, поскольку именно течение материи через систему позволя- ет использовать ее для определенных целей.

Рассмотрим в качестве примера электронную вычислительную ма- шину как открытую систему. Эта система будет находиться в стационар- ном состоянии, если снабжать ее «высшими» формами материи: электри- ческой энергией, человеческой энергией для ремонта, запасными частями

ит.д. – и удалять «низшие» формы материи, например, тепло и вышедшие из строя элементы. В таких условиях вычислительная машина может вы- полнять полезную работу, принимая на входе информацию в виде данных

икоманд программы, преобразуя эти данные согласно программе и выда- вая на выходе результаты.

19

А д а п т и в н ы е с и с т е м ы .

Определение 1.13. Адаптивной системой называется систе-

ма, обладающая свойством реагировать на воздействия окружающей среды таким образом, чтобы получить в результате благоприятные по-

следствия для деятельности системы.

Свойством, называемым адаптацией, обладают многие естествен- ные системы, особенно живые. Эволюционная теория основана в значи- тельной степени на понятии адаптации к окружающей среде. Примером адаптивных свойств системы являются механизмы, которые предназначе- ны для сохранения в определенных физиологических пределах различных условий жизнедеятельности организма, например, температура тела. При- мером такого механизма является врожденная реакция дрожания при хо- лоде: посредством движений, порождающих тепло, оказывается противо- действие падению температуры.

С т а б и л ь н ы е с и с т е м ы .

Определение 1.14. Система называется стабильной относи-

тельно некоторых ее переменных, если она стремится сохранить значе-

ния этих переменных в определенных пределах.

Термостат является примером приспособления, которое обеспечива- ет стабильность температуры нагревательной системы. Отметим, что сис- тема может быть стабильной в одном отношении и нестабильной в дру- гом. Адаптивная система является стабильной относительно всех тех ее переменных, которые должны сохраняться в определенных пределах для успешного функционирования системы.

1.4. Искусственные системы

О б щ а я х а р а к т е р и с т и к а и с к у с с т в е н н ы х с и с т е м . Искусственные системы обладают многими свойствами, присущими есте- ственным системам. В частности, к системам обоих видов применимы та- кие понятия, как целостность, обособленность и изоляция. С другой сто- роны, лишь созданные в последнее время системы оказались способными

20