ТФКП - методичка
.pdfТочки z =1 и z = −2 – нули знаменателя, причем z =1– нуль третьего порядка, а z = −2 – простой нуль. Числитель в этих точках в нуль не обращается, поэтому точки z =1 и z = −2 будут соответственно полюсами
3-го и 1-го порядка функции |
|
f ( z ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Решение: 2) нулями знаменателя будут точки |
|
z = 2πn , n Z . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Разложим знаменатель |
f |
( z ) |
|
в ряд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
k |
|
|
z 2k |
|
1 |
|
|
|
z2 |
|
||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
ϕ( z ) = z |
|
(1 |
− cos( z )) = z |
|
1 − |
k |
|
(−1) |
|
|
( 2k )! = z |
|
2!− |
|
4! + . . . . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Точка z = 0 – нуль пятого порядка функции ϕ( z ) , поэтому z = 0 – |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
полюс пятого порядка |
f ( z ) . Точки z = 2πn, n Ζ, n ≠ 0 , – простые нули |
||||||||||||||||||||||||||||||||
знаменателя, поэтому они будут простыми полюсами f ( z ) . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
43. Определить |
|
характер |
точки |
|
|
|
z0 = −1 |
|
|
|
|
|
для |
функции |
|||||||||||||||||||
f ( z ) = cos( |
|
|
z |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
lim f ( z ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. Докажем, что |
|
|
не существует. |
|
Выберем две |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
последовательности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
{z′n |
}= |
|
2πn |
|
|
|
|
|
{z′′n }= |
|
( 2n +1) π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
→ −1, |
|
|
|
|
→ −1. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Для них |
|
1 |
− 2πn n →∞ |
|
|
|
|
|
1 −(2n +1)π n |
→∞ |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
2πn |
|
|
2πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
f ( z n ) = lim cos |
(1 − 2πn) |
|
(1 − 2πn) |
|
+1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
n →∞ |
|
|
|
n →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πn(1 − 2πn) |
|
|
= lim cos(2πn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
= lim cos |
|
=1 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
(1 − 2πn) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n →∞ |
|
n →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f ( z′′n ) = lim cos( 2n +1)π = −1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n →∞ |
|
|
|
|
n |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, lim f ( z′n ) ≠ lim |
f ( z′n′ |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Значит, |
z0 = −1 – существенно особая точка f ( z ) . |
|
|
|
|
|
|
Глава 6. ВЫЧЕТЫ
6.1. Вычисление вычетов
Пусть z0 ≠ ∞ – изолированная особая точка однозначной аналитической в проколотой окрестности точки z0 функции f ( z ) , L – замкнутый жорданов кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя точку z0 и лежащий целиком в окрестности z0 .
51
Определение 18. Вычетом функции f ( z ) в точке z0 называется интеграл:
Res f ( z ) = |
1 |
|
∫ f ( z ) dz . |
(31) |
|
2πi |
|||||
z = z 0 |
L |
|
|||
|
|
|
|
||
Вычет функции f ( z ) в точке z0 |
равен коэффициенту c −1 при пер- |
||||
вой отрицательной степени ( z − z 0 ) −1 |
в разложении функции |
f ( z ) в ряд |
Лорана в окрестности z0 , т.е. |
Res |
f ( z ) = c −1 . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
z |
= z 0 |
|
|
|
|
|
Если z0 = ∞ , то |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
Res |
f ( z ) = |
|
|
∫ |
f ( z ) dz = − |
|
∫ f ( z ) dz , |
||
2 |
|
|
2πi |
||||||
z =∞ |
|
πi L − |
|
L |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где L− – замкнутый жорданов кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя начало координат и полностью лежащий в окрестности бесконечно
удаленной точки, где f ( z ) аналитична, причем L− означает, что обход осуществляется в отрицательном направлении. Кроме того
Res f ( z ) = −c −1 .
z =∞
В зависимости от типа изолированных особых точек приведем фор-
мулы для вычисления вычетов f ( z ) . |
|
|
|
|
|
|||||||
1. Пусть z0 |
– устранимая особая точка функции f ( z ) . Тогда |
|||||||||||
|
|
Res |
f ( z ) = 0 , |
если z0 ≠ ∞; |
|
|||||||
|
|
z = z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Res f ( z ) = lim z ( f (∞) − f ( z )) , |
если z0 = ∞ . |
(32) |
||||||||||
z =∞ |
|
z →∞ |
|
|
|
|
|
|
||||
2. Пусть z0 |
– полюс n-го порядка, z0 ≠ ∞, тогда |
|
||||||||||
Res |
f ( z ) = |
|
1 |
|
lim |
d n −1 |
[( z − z 0 )n f ( z ) ], |
(33) |
||||
|
|
|
|
|
||||||||
z = z 0 |
|
|
( n −1)! z → z 0 |
d zn −1 |
|
|
||||||
в частности при n = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Res f ( z ) = |
lim |
( z − z 0 ) f ( z ) . |
|
|
||||||||
z = z 0 |
|
z → z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если z0 – простой полюс и |
f ( z ) = |
ϕ( z ) |
, где ϕ( z ) и ψ(z ) |
– анали- |
||||||||
ψ(z ) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тические функции в точке z0 , причем ϕ(z0 ) ≠ 0, ψ(z0 ) = 0, ψ′(z0 ) ≠ 0 , то
Res |
f ( z ) = |
ϕ(z0 ) |
, |
(34) |
|
ψ′(z0 ) |
|||||
z = z 0 |
|
|
|
||
|
52 |
|
|
|
если f ( z ) = |
ϕ (z ) |
|
, где ϕ |
(z ) аналитична в точке z0 , то |
|
||||||
( z − z 0 ) m |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Res |
f ( z ) = |
|
1 |
|
|
ϕ (m −1) (z0 ) . |
|
||
|
|
( m −1)! |
|
||||||||
|
|
z = z 0 |
|
|
|
|
|
||||
3. Если z0 |
– существенно особая точка |
f ( z ) , то, раскладывая |
f ( z ) |
||||||||
в ряд Лорана по степеням (z − z0 ) , находим c −1 , тогда |
|
||||||||||
|
|
Res f ( z ) = c −1, |
|
Res f ( z ) = −c −1 . |
|
||||||
|
|
z = z 0 |
|
|
|
|
z =∞ |
|
|
||
Заметим еще, что, если f ( z ) – четная функция, то |
|
||||||||||
Res |
f ( z ) = − Res f ( z ) |
и |
Res f ( z ) = Res f ( z ) = 0 , |
|
|||||||
z = z 0 |
|
z =− z 0 |
|
|
z =0 |
z =∞ |
|
||||
если f ( z ) – нечетная, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Res f ( z ) = |
Res f ( z ) . |
(35) |
||||||
|
|
z = z 0 |
|
z =− z 0 |
|
|
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ. Если z1 , z2 , . . . , zn – изолированные конечные особые точки функции f ( z ) , аналитической, кроме этих точек во всей комплексной плоскости, то
|
|
|
|
n |
Res |
f ( z ) + Res f (z)= 0 . |
|
|
(36) |
||||||||
|
|
|
∑ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
k |
= 0 |
z = z k |
|
|
z =∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
44. Вычислить вычет функции f ( z ) в точке z0 : |
|
|
|
||||||||||||||
1) f ( z ) = |
z e i z |
z0 = i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Точка z0 =i |
– простой полюс |
f ( z ) , так как |
|||||||||||||||
|
|
|
lim |
f ( z ) = lim |
|
z e i z |
|
|
= ∞. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
+ i )( z |
− i ) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
z →i |
|
|
|
z →i ( z |
|
|
|
|
|
|
||||
Поэтому из формулы (48) |
( z − i ) z e i z |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
Res f ( z ) = lim |
= |
i e |
= |
1 |
|
. |
|||||||||
|
|
( z + i )( z − i ) |
i + i |
2e |
|||||||||||||
|
|
z =i |
|
z →i |
|
|
|
||||||||||
2) f ( z ) = |
z eaz − ez |
+1 |
, |
z0 = 2πi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
z (e z −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Точка z0 = 2πi – полюс 1-го порядка, так как знаменатель |
|||||||||||||||||
функции имеет в точке z0 нуль первого порядка, так как: |
|
||||||||||||||||
(e 2 πi −1) = (cos( 2π) + isin ( 2π) −1) = 0 |
и |
|
(ez −1)′ = ez ≠ 0 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Представим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( z ) = |
|
ϕ(z) |
, где ϕ(z) = |
z e az |
− ez +1 |
, ψ(z) = e z |
−1 , |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ψ(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
причем ϕ( 2πi ) ≠ 0, ψ ( 2πi ) = 0, ψ′ ( 2πi ) = e 2 πi |
=1, из (34) имеем |
|
||||||||||||||||
Res |
f ( z ) = |
|
ϕ( 2πi ) |
= 2πi e 2 πia − e 2 πi +1 = e 2 πia . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
z =2 πi |
|
|
|
|
|
|
ψ′ ( 2πi ) |
|
|
2π i |
|
|
|
|
|
|
||
3) f ( z ) = ctg2 ( z ) , |
|
z0 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. Точка z0 = 0 – полюс 2-го порядка, так как знаменатель |
||||||||||||||||||
sin2 ( z ) в точке z0 = 0 имеет нуль 2-го порядка. Из формулы (33) имеем |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
2z2 ctg( z ) |
|
|
||||
Res f ( z ) = lim |
|
|
|
(z2 ctg2 ( z )) = lim |
2z ctg2 ( z ) |
|
|
|
= |
|
||||||||
|
|
|
sin2 |
|
|
|||||||||||||
z 0 = 0 |
z →0 dz |
|
|
|
z →0 |
|
|
(z) |
|
|
||||||||
= 2 lim z ctg( z ) |
cos( z ) sin ( z ) − z |
= 2 lim |
(cos( z ) sin ( z ) − z )′ |
= |
||||||||||||||
|
|
sin2 (z) |
|
(sin2 (z))′ |
|
|||||||||||||
z →0 |
|
|
|
|
|
|
z →0 |
|
|
= 2 lim |
− sin2 ( z ) + (cos2 ( z ) −1) |
= −2 lim |
|
|
2sin2 ( z )) |
= |
|
||||||||||||||||||
|
|
2sin(z) cos( z) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
z →0 |
|
|
|
|
|
|
z |
→0 2sin(z) cos( z) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
= −2 lim |
|
sin ( z ) |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
cos( z ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z → |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4) f ( z ) = |
|
1 |
|
, |
|
|
|
h |
|
≠ 0. |
Подсчитать вычеты во всех особых |
||||||||||||||
z (1 − e −h z ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
точках. |
|
|
|
|
|
|
|
2n πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Точки zn = |
, |
n Z, |
n ≠ 0 – |
простые полюсы, |
из |
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 , |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
формулы (32) имеем (ϕ ( z ) = |
ψ ( z ) = (1 − e −h z )) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
z |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||
Res f ( z ) = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
, |
n Z, n ≠ 0. |
|
||||||||
zn he |
−h zn |
|
2 |
|
πni h 1 |
2πn |
|
||||||||||||||||||
z = zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Точка z0 = 0 |
– полюс второго порядка, |
так как знаменатель в |
z0 |
||||||||||||||||||||||
имеет нуль второго порядка. Разложим |
|
f ( z ) |
в ряд Лорана в окрестности |
||||||||||||||||||||||
z0 = 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− h2 z2 |
|
+ h3 z3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 − e −h z = h z |
|
+ . . . . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1! |
2! |
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
Выполняя деление рядов
54
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h z |
− |
h2 z |
2 |
h3 z3 |
+ . . . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
2! |
+ |
|
3! |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||
|
|
|
h z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 − |
|
+ . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
h z |
− |
h2 z2 |
+ . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
h z |
|
|
h2 z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
− |
+ . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
− |
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
+ . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π) . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
+ |
|
|
+ . . . |
|
|
|
(0 < |
|
z |
|
< |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z (1 − e −h z ) |
h z 2 |
|
|
2z |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Отсюда: c −1 = |
|
1 |
и |
Res |
f ( z ) = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z =0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
sin ( |
1 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5) f ( z ) = |
|
|
|
|
|
z |
, |
z0 = ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Так как |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin ( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos( |
|
|
) |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
z2 |
|
|
||||||||||||||||
lim f ( z ) |
= lim |
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0, |
|
||||||||||||||||||||||
(z −1)′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
z →∞ |
|
|
z →∞ |
|
|
z →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то z0 = ∞ – устранимая особая точка. Воспользовавшись формулой (32), найдем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin ( |
|
|
) |
|
sin ( |
|
) |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
z |
|
|
|||||||||||||
|
Res f ( z ) = lim |
z |
0 |
|
− |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= 0 . |
||||||
|
|
z −1 |
|
1 |
|
|
|
z −1 |
|||||||||||||||
|
z =∞ |
z →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
z →∞ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6) |
f ( z ) = ln ( z ) sin |
|
|
|
|
, |
z0 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Точка z0 =1 – существенно особая точка. Разложим функцию в ряд, воспользовавшись формулами (22) и (26):
∞ |
( −1)k −1 (z −1) |
k |
|
(z −1) |
2 |
|
(z −1) |
3 |
ln ( z ) = ∑ |
|
= (z −1) − |
|
+ |
+... , |
|||
k =1 |
k |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
55 |
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
2k +1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
||||||||||
sin |
|
|
= |
∑ ( − |
1)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
− |
|
|
+ |
|
−... |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
( 2k +1)! |
z −1 |
3! (z |
−1)3 |
5! (z −1)5 |
||||||||||||||||||||
z −1 |
|
k =0 |
|
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Перемножая два ряда, найдем коэффициенты при первой отрица- |
||||||||||||||||||||||||||||||
тельной степени (z −1) −1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
∞ |
|
(−1) n −1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
c −1 |
= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
− . . . = ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
3! |
4 5! |
|
6 7! |
2n( 2n +1) ! |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n =1 |
|
|
|
6.2.Вычисление интегралов с помощью вычетов
I. Если однозначная функция f ( z ) аналитична в замкнутой области
D , за исключением конечного числа изолированных особых точек zk D , k =1,2, ... , n , область D ограничена замкнутой жордановой кусочногладкой кривой Г, то
|
n |
Res f ( z ) , |
(37) |
∫ f ( z ) dz = 2πi ∑ |
|||
Γ |
k =1 |
z = zk |
|
где контур Г обходится в положительном направлении относительно области D.
|
|
|
Примеры |
||||||||
45. Вычислить интегралы: |
|||||||||||
1) ∫ |
|
z2 +1 |
dz ; D : Γ ={z, |
|
z +1 |
|
+ |
|
z −1 |
|
= ε}. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Γ z |
(z − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются z1 = 0 – полюс второго порядка, z2 = 2 – простой полюс, z3 = ∞ –
устранимая особая точка. Точки z1 , z2 D , z3 D , воспользовавшись формулой (33), подсчитаем вычеты в точках z1 , z2 :
|
|
|
z2 +1 |
|
|
|
|
|
d |
z2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 − 4z |
−1 |
|
1 |
|
|||||||||||||
|
Res |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
, |
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
z =0 z |
(z − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(z − |
2) |
|
|
z →0 |
|
|
(z − 2) |
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
z →0 dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Res |
|
z2 |
+1 |
|
= lim |
|
z2 +1 |
= |
5 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z =2 |
|
z2 (z − 2) |
z →2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Тогда из (37) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
z2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
= 2πi |
|
− |
|
|
|
|
|
|
= 2πi . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Γ∫ z2 (z − 2) |
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2) |
ch ( z ) |
|
dz ; D : Γ = z, |
|
z −1 |
|
|
|
z |
+1 |
|
= 5 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Γ∫ |
( z2 −1)cos ( z ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются точки z 1,2 = ±1 (простые полюса), которые лежат внутри контура Г, и точ-
ки |
~ |
π |
+ πn, n Z, лежащие вне контура Г. |
zn = |
2 |
||
|
|
|
Подсчитаем вычеты в точках z1 , z2 :
Res |
|
|
ch ( z ) |
|
|
= |
|
ch (1) |
|
, |
|
Res |
|
ch ( z ) |
= |
ch (1) |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2cos (1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
z =1 |
( z2 −1)cos ( z ) |
|
|
z =−1 ( z2 −1)cos ( z ) |
|
|
− 2cos (1) |
|||||||||||||||||||||||
Из (53) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ch ( z ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch (1) |
|
ch (1) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz = 2πi |
|
− |
|
= 0 . |
|||||||||||||||
|
|
|
∫ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
−1)cos ( z ) |
|
|
|
2cos (1) |
|
2cos (1) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
Γ ( z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3) |
∫ |
|
z3 |
|
dz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
z |
|
=2 z |
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. В круге |
|
|
|
≤ 2 |
|
лежат четыре особых точки подинте- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
гральной функции zk = k 1 , |
|
k = |
|
|
(полюсы). Вне круга лежит только одна |
|||||||||||||||||||||||||
|
1,4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
особая точка – |
|
z5 = ∞ (устранимая особая точка). Воспользовавшись ос- |
новной теоремой о вычетах (см. формулу (36))
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
Res |
|
|
|
|
|
= − Res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z4 −1 |
z4 −1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
z = zk |
|
|
z = z5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
и формулой (32), имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∫ |
|
z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z3 |
|
|
|
|
|
− z4 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
dz = −2πi Res |
|
|
|
|
|
= −2πi |
lim |
|
|
|
|
= 2πi . |
|||||||||||||||
|
z |
4 |
|
|
z |
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
z |
|
=2 |
|
|
|
−1 |
|
|
z = z5 |
|
|
−1 |
|
|
z →∞ z |
|
− |
1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4) |
|
|
∫ |
|
|
|
z |
|
dz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
z −1−i |
|
=2 |
i z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Внутри контура интегрирования лежат две особые точки подынтегральной функции: z =i – простой полюс, z = 0 – существенно особая точка, для вычисления вычета в которой формул не существует и, следовательно, подсчитывать вычет сложно. Вне контура лежит только одна особая точка z = ∞, причем вычет в ней достаточно легко считается по формуле (32). Отсюда
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
cos |
|
|
|
cos |
|
|
|
− z cos |
|
|
|
2πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫ |
z |
|
dz = −2πi Res |
z |
|
= −2π i lim |
z |
|
= |
= 2 |
π. |
||||||
i z +1 |
i z +1 |
i z +1 |
|
i |
|||||||||||||
z −1−i |
|
=2 |
z =∞ |
z →∞ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
II. Теорию вычетов можно применять для вычисления интегралов
вида
|
|
2 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫R (cos ( x),sin ( x)) d x, |
|
|
|
|
|
|
(38) |
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где R(u,v) – рациональная функция аргументов u и v, не имеющая особен- |
||||||||||||||||
ностей на окружности u2 + v2 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть z = e ix , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
cos ( x) = |
|
z + |
|
, sin ( x) = |
|
z |
− |
|
, |
dx = |
|
. |
(39) |
|||
2 |
|
|
|
i z |
||||||||||||
|
|
z |
2i |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||
Когда x меняется от 0 до 2π , точка z пробегает окружность |
|
z |
|
=1 в |
||||||||||||
|
|
положительном направлении. Интеграл (38) такой заменой сводится к интегралу по замкнутому контуру от функции комплексного аргумента, который легко вычисляется с помощью вычетов (см. (37)).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
46. Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 π |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
ρ |
|
≠1 , ρ– комплексное число. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− 2ρ cos ( x) + ρ2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решение. Сделаем замену переменной (57): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 π |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= i |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 − 2ρ cos ( x ) + ρ2 |
|
|
ρ z2 − (1 + ρ2 ) z + ρ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
z |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Точки |
z = ρ, z = |
1 |
– |
|
|
простые полюсы подынтегральной функции, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем только один лежит в круге |
|
|
z |
|
|
<1. Если |
|
|
ρ |
|
<1, то в круге |
|
z |
|
<1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лежит полюс z = ρ и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 π |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= 2πi Res |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ρz |
2 |
−(1 |
+ρ |
2 |
) z |
+ρ |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 1−2ρ cos ( x) +ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z =ρ |
|
|
|
|
|
1 |
|
−ρ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если |
|
|
ρ |
|
|
>1, то в круге |
|
|
z |
|
|
<1 лежит полюс z |
= 1 |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 π |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= 2 πi Res |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 π |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
0∫ 1 − 2ρ cos ( x ) + ρ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = |
1 |
|
|
|
|
|
ρz2 − (1 + ρ2 ) z + ρ |
|
|
ρ2 −1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 π |
cos2 |
(3ϕ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a C , |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2) J = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dϕ, |
|
|
≠1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ϕ ) + a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 1 − 2a cos ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. После замены переменных (39) имеем
58
J = − |
1 |
|
∫ |
(z6 |
+1)2 |
|
|
|
dz . |
||
4ai |
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
z |
|
=1 z6 ( z − a) ( z |
− |
) |
|
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
Особыми точками подынтегральной функции F ( z ) будут точки z1 = 0 (полюс шестого порядка), z2 = a, z3 = 1a (простые полюсы). Пусть
a |
|
<1, тогда в круге |
|
z |
|
<1 лежат полюсы z1 и z2 . Вычислим |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Res F ( z ) = lim |
|
(z6 +1)2 |
|
(1 + a6 )2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
a5 (a2 |
|
||||||||
|
|
z =a |
|
z →a |
|
6 |
|
|
−1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
( z − |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
Для вычисления вычета в z1 = 0 можно было бы воспользоваться
формулой (33), но тогда пришлось бы искать производную пятого порядка от сложной дроби. Это нецелесообразно, поэтому разложим каждый из множителей F ( z ) в ряд по формуле (27):
|
(z6 |
+1)2 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
z12 + 2 z6 +1 |
|
|
|
|
z |
|
z2 |
|
|
|
|||||||||
F ( z ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
+ |
|
|
|
+ ... |
× |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
z |
|
|
z |
(1 |
− a z ) |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
(1 |
− |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
z |
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
×(1 + a z + a2 z2 + . . . ) = |
z6 + 2 |
+ |
|
|
|
|
1 + |
|
+ |
|
|
+ . . . |
|
(1 |
+ a z |
+ a2 z2 + ...). |
|||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перемножая ряды, соберем все коэффициенты при z −1:
|
|
|
Res F ( z ) = a5 + a3 + a + |
1 |
|
+ |
1 |
+ |
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
a |
a3 |
a5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
z =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
(1 + a6 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + a6 |
|
||||||||||
|
π |
|
+ a5 |
+ a3 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
J = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ a + |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= π |
|
|
. |
||||
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
(a |
−1) |
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
1 − a |
|
|||||||||||
|
2 a a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Аналогично при |
|
|
a |
|
>1: |
|
π |
|
1 + a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π
3) J = ∫tg (x + i a) dx, a ≠ 0 – действительное число.
0
Решение. Так как функция tg (x) – периодичная с периодом π, то
имеем
π |
|
1 |
2π |
∫tg (x + i a) dx = |
2 |
∫tg (x + i a) dx . |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
||
|
59 |
|
Пользуясь тригонометрическими тождествами и сделав замену z = e i x −a , получаем
|
|
1 |
2π |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
−1 |
|
||||
|
|
|
|
|
∫tg (x + i a) dx = − |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz . |
||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 +1) |
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
z |
|
=e −a z ( z |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Если a > 0, то e −a <1 и в круге |
|
|
z |
|
|
< e −a |
|
лежит лишь одна особая |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
точка z = 0 |
|
(полюс первого порядка). Поэтому |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z2 −1 |
dz |
= 2πi Res |
|
|
z |
2 −1 |
|
= −2πi и J =πi . |
||||||||||
|
|
|
∫ −a z ( z2 +1) |
z ( z2 +1) |
|||||||||||||||||||
|
z |
|
|
z =0 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
=e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если a < 0 , то e −a >1, тогда в круге |
|
|
|
z |
|
< e −a лежат три особые точ- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
ки: 0; ±i, а вне круга – лишь одна z = ∞ (устранимая особая точка), следовательно
Res |
z2 |
−1 |
= −1. |
|
z ( z2 |
+1) |
|||
z =∞ |
|
По основной теореме о вычетах имеем J = −πi . Объединяя случаи a > 0 и a < 0 , имеем
|
|
J = π i sign ( a) . |
|
1 |
dx |
, a >1. |
|
4) J = ∫ |
|||
(a − x) 1 − x2 |
|||
−1 |
|
Решение. Заменой переменных x = cos (ϕ) сведем интеграл J к ви-
ду (38):
π |
dϕ |
|
1 |
2 π |
dϕ |
|
|
J = ∫ |
|
= |
|
∫ |
|
, |
|
a − cos(ϕ ) |
2 |
a − cos(ϕ ) |
|||||
0 |
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
стандартной заменой (39) и по формуле (36) подсчитаем
|
1 |
2 π |
dϕ |
|
1 |
|
|
|
|
dz |
|
π |
|
||
J = |
∫ |
= − |
|
∫ |
= |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
0 |
a − cos(ϕ ) |
|
i |
|
z |
|
=1 z2 − 2a z +1 |
|
a2 −1 |
||||
|
|
|
|
|
III. Теорию вычетов можно использовать при вычислении несобственных интегралов по вещественной оси, если методы действительного анализа оказываются неэффективными.
1. Пусть f(z):
а) аналитична в верхней полуплоскости, за исключением конечного числа особых точек zk , Im(zk ) > 0 , k =1,2, ..., n , непрерывна в замкнутой
полуплоскости за исключением тех же точек и
b) lim z f (z) = 0 , Im(z) ≥ 0 .
z →∞
60