ДИФУР ГУРЕВИЧ ЛЕКЦИИ
.pdf1)y = p2 + p5;
2)dy = (2p + 5p4) dp;
3)p dx = (2p + 5p4) dp;
4)считаем x функцией p и находим x = 2p + 54p4 + c;
5)получаем семейство кривых, которые являются графиками реше-
ний уравнения (1.44)
|
5 |
x = 2p + |
4p4 + c; y = p2 + p5 (p 2 R) |
(к этому множеству надо добавить решение y(x) = 0, которое было потеряно в п.3 при делении на p).
Обоснование изложенного алгоритма содержится в следующей теореме.
Теорема 1.9. Пусть функция f в уравнении (1.45) определена и непрерывно дифференцируема в некоторой области. Пусть y = g(x)
является решением уравнения (1.45), график которого задается системой параметрических уравнений
|
x = '(p); y = |
(p); p 2 ( ; ); |
(1.51) |
|||
где '; непрерывно дифференцируемые функции, причем |
|
|||||
|
'0 |
(p) 6= 0 |
|
|||
è |
0 |
(p) |
|
|
||
|
= p |
(1.52) |
||||
|
|
|
|
|
||
|
'0 |
(p) |
(т. е. в качестве параметра выбрано значение тангенса угла наклона касательной к графику). Тогда функция '(p) есть решение уравнения
(1.49).
Обратно, пусть x = '(p) является решением уравнения (1.49) на интервале (a; b), '0(p) 6= 0, (p) = f('(p); p). Тогда уравнения (1.50)
определяют кривую, являющуюся графиком некоторого решения уравнения(1.45).
Доказательство. Пусть y = g(x) является решением уравнения
(1.45), которое удовлетворяет условиям теоремы. По определению ре-
0 0(p)
шения и учитывая, что y = '0(p) , имеем
(p) f('(p); p):
Продифференцируем это тождество:
0(p) fx0 ('(p); p)'0(p) + fy00('(p); p):
21
Воспользовавшись формулой (1.52), получим:
p'0(p) fx0 ('(p); p)'0(p) + fy00('(p); p);
èëè |
0('(p); p) 0: |
|
(fx0 ('(p); p) p)'0(p) + fy0 |
(1.53) |
|
Последнее тождество означает, что '(p) есть решение |
уравнения |
(1.49).
Обратно, пусть x = '(p) является решением уравнения (1.49), т. е. имеет место тождество (1.53). Введем функцию
(p) = f('(p); p) |
(1.54) |
и рассмотрим кривую, определяемую уравнениями (1.51). Покажем, что эта кривая является графиком функции y = g(x), которая является ре-
шением уравнения (1.45). Для этого продифференцируем обе части фор-
ìóëû (1.54):
0(p) fx0 ('(p); p)'0(p) + fy00('(p); p):
Из этого тождества и тождества (1.53) следует, что
0(p) p'0(p);
откуда, учитывая, что '0(p) 6= 0, получаем формулу (1.52). Подставляем формулы (1.51),(1.52) в формулу (1.54) и на основании того, что
g0('(p)) = 0(p); '0(p)
приходим к тождеству
g(x) f(x; g0(x)):
Следовательно, g(x) решение уравнения (1.45). Теорема доказана. |
|
22
2.Задача Коши для нормальной системы
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений 1-го порядка, разреш¼нных относительно производных:
|
|
|
|
|
|
|
8y:10 |
:=: : f: :1(:x;: :y: |
1:;:::::::;:y:n:):;: : |
(2.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<y0 |
|
= fn(x; y1; : : : ; yn); |
|
|
ãäå |
|
f |
(x; y |
; : : : ; y |
) |
n |
> n |
|
|
|
|
f |
|
: |
|
|
|
|
|||||
|
k |
1 |
|
n |
gk=1 заданные функции. Системы вида (2.1) на- |
||||||
зывают нормальными системами дифференциальных уравнений . |
|
||||||||||
|
Определение 2.1. Функции fy~k(x)gkn=1 называются решением си- |
стемы (2.1) на отрезке [a; b], если y~k(x) непрерывны на [a; b] вместе со
своими производными y~0 |
(x) и для любых x |
2 |
[a; b] справедливы тожде- |
k |
|
|
|
ñòâà |
|
|
|
y~k0 (x) fk(x; y~1(x); : : : ; y~n(x)); |
|
k = 1; : : : ; n: |
Задача Коши состоит в нахождении такого решения |
fy~k(x)gkn=1 ñè- |
||||
стемы, которое удовлетворяет начальным условиям: |
|
||||
|
|
8y:1:(x: :0): :=: :y:1:;: : |
(2.2) |
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
> |
0 |
; |
|
|
|
<yn(x0) = y |
n |
|
|
|
|
> |
|
|
|
ãäå x0, y10 |
,. . . , yn0 |
: |
|
|
|
заданные числа, x0 2 [a; b]. |
|
2.1.Теорема существования и единственности
решения задачи Коши
Обозначим через n+1 (n + 1)-мерный параллелепипед, определяемый следующим образом:
n+1 = (x; y1; : : : ; yn)j x0 a x x0 + a; yk0 bk yk yk0 + bk ;
ãäå a, b1, . . . , bn фиксированные положительные числа (k = 1; : : : ; n). Определение 2.2. Будем говорить, что функция f(x; y1; : : : ; yn)
удовлетворяет в n+1 условию Липшица по переменным y1; : : : ; yn, если существует положительная константа L, такая что для любых
(x; y1; : : : ; yn), (x; z1; : : : ; zn), принадлежащих параллелепипеду, выполняется неравенство:
|
n |
|
jf(x; y1; : : : ; yn) f(x; z1; : : : ; zn)j L |
Xj |
|
jyj zjj: |
(2.3) |
|
|
=1 |
|
23
Укажем простое достаточное условие, при выполнении которого функция f(x; y1; : : : ; yn) удовлетворяет условию Липшица.
Теорема 2.1. Предположим, что f(x; y1; : : : ; yn) â n+1 непрерывна вместе со своими частными производными по переменным y1; : : : ; yn. Тогда эта функция удовлетворяет в n+1 условию Липшица.
Доказательство. Оценим разность
jf(x; y1; : : : ; yn) f(x; z1; : : : ; zn)j
jf(x; y1; y2; : : : ; yn) f(x; z1; y2; : : : ; yn)j+ +jf(x; z1; y2; : : : ; yn) f(x; z1; z2; y3; : : : ; yn)j+
+jf(x; z1; z2; y3; : : : ; yn) f(x; z1; z2; z3; y4; : : : ; yn)j + + +jf(x; z1; : : : ; zn 1; yn) f(x; z1; : : : ; zn 1; zn)j:
Преобразуем каждую из получившихся разностей по теореме о конечных приращениях (теорема Лагранжа), в результате получим
|
|
jf(x; y1; : : : ; yn) f(x; z1; : : : ; zn)j |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1@y1 |
|
|
|
|
jy1 z1j+ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
@f(x; ; y2; : : : ; yn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
@f(x; |
z1; 2; y3; : : : ; yn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
z2 |
j |
+ |
|
+ |
|
|
||||
|
|
|
|
@y2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@f(x; z1; : : : ; zn |
|
1; n) |
jyn znj; |
|
|
|
|||||||||||||
|
+ |
|
|
|
@yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
+ bk]. |
ãäå k (k = 1; : : : ; n) |
|
некоторые числа из |
отрезков [yk |
bk; yk |
Частные производные функции f(x; y1; : : : ; yn) непрерывны в n+1, ïî- этому они ограничены, т. е. существует положительная константа L, та-
êàÿ ÷òî |
|
@f(x; y1; : : : ; yn) |
|
L. Отсюда |
|
|
|
@yk |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jf(x; y1; : : : ; yn) f(x; z1; : : : ; zn)j L |
jyj zjj: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Xj |
Теорема доказана. |
|
|
n |
|
|||
Замечание. Пусть f(x; y1; : : : ; yn) = |
P ak(x)yk + g(x), ãäå ak(x) è |
||||||
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
g(x) непрерывные на [a; b] функции. Очевидно, что f(x; y1; : : : ; yn) удовлетворяет условиям теоремы 2.1 в области fa x b; 1 < y < 1g,
причем в качестве L можно взять L = max max j ak(x) j.
1 k n a x b
В дальнейшем неоднократно будет использована следующая теорема.
24
Теорема 2.2 (неравенство Беллмана). Предположим, что функции u(x) и v(x) непрерывны, неотрицательны на отрезке [a; b] и суще-
ствует c > 0 такое, что для всех x 2 [a; b] справедливо неравенство
|
|
|
x |
|
|
|
|
u(x) 6 c + Za |
u(t)v(t) dt: |
(2.4) |
|||
Тогда |
|
x |
|
|
|
|
|
|
; |
|
x 2 [a; b] : |
(2.5) |
|
|
u(x) 6 ceR |
|
||||
|
|
|
v(t) dt |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
Последнее неравенство называется неравенством Беллмана. |
||||||
Доказательство. Предположим сначала, что |
c > 0. Èç (2.4) ñëå- |
|||||
äóåò, ÷òî |
|
|
u(x) |
|
|
|
|
|
|
|
6 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
c + Ra |
u(t)v(t) dt |
|
Умножим обе части этого неравенства на v(x), а затем проинтегрируем по отрезку [a; x]. В результате получим
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
Z |
c +u(u(t)v(t)dt d Z v( ) d : |
|
||||||
|
|
)v( ) |
|
|
|
|
|
|
a |
|
Ra |
|
|
|
a |
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
v( ) d : |
|
|||
ln(c + Z |
u(t)v(t) dt) =a Z |
|
||||||
|
a |
|
|
|
x |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполнив подстановки, получим: |
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
ln(c + Za |
u(t)v(t) dt) ln c Za |
v( ) d ; |
||||||
èëè |
x |
|
|
|
x |
|
|
|
ln(c + Za |
u(t)v(t) dt) Za |
v( ) d + ln c: |
||||||
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Учитывая (2.4), |
||
Потенцируя, заключаем, что c + |
u(t)v(t) dt ceR |
|||||||
получаем (2.5). Пусть теперь c =Ra |
|
|
|
|
v(t) dt |
|
||
0. В этом случае (2.4) превращается в |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
25
|
x |
|
|
|
|
неравенство u(x) Ra |
u(tx)v(t) dt. Но тогда для любого xнатурального n |
||||
выполняется u(x) n |
+ |
u(t)v(t) dt. Отсюда u(x) neR |
. Переходя |
||
|
1 |
Ra |
|
1 a |
v(t) dt |
|
|||||
|
|
|
в этом неравенстве к пределу при n ! 1, получаем u(x) 0, т. е. (2.5) при c = 0.
Теорема 2.3 (о существовании и единственности решения задачи Коши). Предположим, что ffk(x; y1; : : : ; yn)gnk=1 непрерывны
â n+1 и по переменным y1; : : : ; yn удовлетворяют условию Липшица.
Тогда задача Коши (2.1) (2.2) имеет единственное решение, определенное на отрезке [x0 h; x0 + h], ãäå h = min a; Mb1 ; : : : ; Mbn , M произ-
вольное положительное число такое, что при k = 1; : : : ; n и любых (x; y1; : : : ; yn) 2 n+1 выполняется неравенство jfk(x; y1; : : : ; yn)j M (в частности, если не все fk(x; y1; : : : ; yn) тождественно равны нулю,
то в качестве |
M |
можно взять max |
max |
n+1 jfk(x; y1; : : : ; yn)j |
). |
|||||
|
|
1 |
k |
|
n (x;y1 |
;:::;yn) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Доказательство. |
I ýòàï. |
Покажем, что задача Коши (2.1) (2.2) |
||||||||
|
в определенном смысле эквивалентна некоторой системе интегральных уравнений, которая будет получена позднее. Пусть fy~k(x)gnk=1 ðåøå-
ние задачи Коши на отрезке J = [x0 h; x0 + h]. Следовательно, при x 2 [x0 h; x0 + h] справедливы тождества:
|
|
|
8y~:10:(x: :): : : f: :1(:x;: : y:~1:(:x: ):;:::::::;:y~:n:(:x:)): :;: : |
(2.6) |
|||||||||
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<y~0 (x) |
|
|
fn(x; y~1(x); : : : ; y~n(x)): |
|
||||||
Проинтегрируем их>в пределах от |
|
äî |
. В результате получим тожде- |
||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
x0 |
|
x |
|
|
ñòâà |
8y~1 |
(x) y~1(x0) x0 |
f1(t; y~1(t); : : : ; y~n(t)) dt; |
|
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
> : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
|
|||||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>y~n(x) y~n(x0) x0 |
fn(t; y~1(t); : : : ; y~n(t)) dt: |
|
||||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Òàê êàê |
> |
|
0 |
, k = 1; : : : ; n |
, òî |
|
|
|
|||||
|
y~k(x0>) = y |
k |
|
|
|
|
|
||||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8y~1(x) y10 +x0 |
f1(t; y~1(t); : : : ; y~n(t)) dt; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
(2.7) |
|
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
||||||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
0 |
+x0 |
fn(t; y~1(t); : : : ; y~n(t)) dt: |
|
|||||
|
>y~n(x) yn |
|
|||||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
>
>
>
:
26
Тождества (2.7) означают, что система функций fy~k(x)gnk=1 является ре- шением системы интегральных уравнений:
8y1 = y10 +x0 |
|
f1(t; y1; : : : ; yn) dt; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
(2.8) |
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
|
|
|
|
|||||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
0 |
|
|
fn(t; y1; : : : ; yn) dt: |
|
|
|
|
|
>yn = yn +x0 |
|
|
|
|
|
||||||||
> |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
n |
|
|
|
решение систе- |
||||
Обратно, пусть> |
|
|
|
|
|
|
|
непрерывное на J |
|||||
: y~k(x) |
gk=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
f |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||
мы (2.8). Докажем, что |
f |
y~ (x) |
gk=1 является решением |
задачи Коши |
|||||||||
|
|
|
k |
|
|
n |
|
|
|||||
(2.1) (2.2) на этом же отрезке. Действительно, так как fy~k(x)gk=1 ðå- |
|||||||||||||
шение (2.8), то справедливы тождества (2.7). Полагая в них |
x = x0, |
||||||||||||
заключаем, что y~ (x |
) = |
|
y0 |
k |
= 1; : : : ; n. Далее, функции |
F |
k |
(t) = |
|||||
k |
0 |
|
|
|
k, |
|
|
|
|
|
|
|
= fk(t; y~1(t); : : : ; y~n(t)) являются непрерывными на [x0 h; x0 +h], поэтому правые части в (2.7) имеют непрерывные производные по x. Следо-
вательно, функции y~k(x) тоже непрерывно дифференцируемы. Продиф-
ференцируем тождества (2.7). В результате получим (2.6), что и требовалось доказать.
II этап. Докажем теперь, что система (2.8) имеет непрерывное решение на отрезке J. Для этого воспользуемся методом последова-
тельных приближений, предложенным Пикаром. Введем в рассмот- |
||||
рение функции |
|
1 |
, определяемые |
следую- |
|
fykm(x)gm=0, k = 1; : : : ; n |
0 |
0 |
|
щим образом: в качестве |
yk0(x) возьмем yk0(x) = yk, yk1(x) |
yk+ |
||
x |
|
R
+fk(t; y10(t); : : : ; yn0(t))dt; в общем случае имеем
x0 |
|
|
x |
|
|
ykm(x) yk0 + Z |
fk(t; y1;m 1(t); : : : ; yn;m 1(t)) dt: |
(2.9) |
x0 |
|
|
Сначала убедимся, что формулы (2.9) корректны в том смысле, что для любого m и для любого x 2 J точка (x; y1m(x); : : : ; ynm(x)) 2 n+1,
т. е. что аргументы подынтегральных функций в (2.9) принадлежат области определения функций fk(x; y1; : : : ; yn). Воспользуемся методом математической индукции. При m = 0 утверждение очевидно. Теперь пред-
положим, что (x; y1;m 1(x); : : : ; yn;m 1(x)) 2 n+1 (x 2 J) и убедимся, ÷òî è (x; y1m(x); : : : ; ynm(x)) 2 n+1. В самом деле, из (2.9) следует, что
ykm(x) |
yk0 |
|
|
fk(t; y1;m 1(t); : : : ; yn;m 1(t)) dt |
|
|
|
|
x |
|
|
j |
|
j |
Z |
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
x
Z
jfk(t; y1;m 1(t); : : : ; yn;m 1(t))j dt:
x0
Íî jfk(t; y1;m 1(t); : : : ; yn;m 1(t))j M, поэтому
jykm(x) yk0j Mjx x0j Mh M Mbk = bk:
Также по индукции устанавливается, что функции ykm(x) являются
непрерывными на J. Далее, покажем, что при любом k последователь- ность fykm(x)g1m=0 равномерно сходится на J. С этой целью заметим, что
равномерная сходимость последовательности равносильна равномерной |
|||||||||
ной сходимости |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
[ykm(x) yk;m 1(x)]. Для доказательства равномер- |
|||||||
сходимости ряда |
|
||||||||
|
|
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
этого ряда применим признак мажорации. |
|
|||||||
Оценим jykm(x) yk;m 1(x)j по индукции. При m = 1 имеем |
|
||||||||
yk1(x) |
yk0 |
|
= |
fk(t; y10; : : : ; yn0)dt |
M x |
x0 : |
(2.10) |
||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
j |
|
|
|
j |
Z |
j |
j |
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, из (2.9) получим
x
Z
yk2(x) yk0 + fk(t; y11(t); : : : ; yn1(t))dt;
x0 x
Z
yk1(x) yk0 + fk(t; y10(t); : : : ; yn0(t))dt:
x0
Отсюда
|
|
|
|
|
jyk2(x) yk1(x)j = |
|
|
|
||
= |
x |
[fk(t; y11(t); : : : ; yn1(t)) |
|
fk(t; y10(t); : : : ; yn0(t))] dt |
|
|||||
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fk(t; y11 |
(t); : : : ; yn1(t)) |
|
fk(t; y10(t); : : : ; yn0 |
(t)) dt |
|
|
|
Z |
j |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x
Z
L
x0
n
X
jyi1(x) yi0jdt :
i=1 |
|
28
Учитывая (2.10), заключаем, что
yk2(x) |
|
yk1(x) |
|
ML |
|
x |
n |
t |
x0 |
|
dt |
= MnL |
jx x0j2 |
: |
|
j |
|
|
j |
||||||||||
j |
|
|
Z |
j=1 j |
|
|
2! |
|
||||||
|
|
|
|
|
x0 |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассуждая по индукции, приходим к следующей оценке:
jykm(x) yk;m 1(x)j Mnm 1Lm 1 jx x0jm
m!
M (nLh)m ; m = 1; 2; : : : :
nL m!
Таким образом, ряд мажорируется сходящимся числовым рядом
M |
1 |
(nLh)m |
|
M |
||
|
|
X |
|
|
|
enLh: |
nL |
m=1 |
m! |
nL |
|||
|
|
|
|
|
|
Обозначим lim ykm(x) = y~k(x), k = 1; : : : ; n. Так как равномерный пре-
m!1
дел последовательности непрерывных функций является непрерывной функцией, то y~k(x) непрерывны на J. Докажем, что fy~k(x)gmk=1 является
решением системы (2.8). С этой целью перейдем к пределу в (2.9) при m ! 1. Учитывая непрерывность (а следовательно, и равномерную
непрерывность в n+1) функций fk(x; y1; : : : ; yn), мы можем перейти к пределу под знаком интеграла. В результате будем иметь
y~k(x) yk |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+ m!1 Z |
fk(t; y1;m 1(t); : : : ; yn;m 1(t))dt |
|||||||||||||
|
0 |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yk |
|
|
x |
|
|
1;m 1 |
|
n;m 1 |
|
|
|
|
|||
|
Z |
m!1 |
k |
|
|
|
|
|
|||||||
0 + |
|
|
lim |
f |
(t; y |
|
(t); : : : ; y |
|
|
(t))dt |
|
|
|||
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
yk |
x |
|
fk(t; m!1 |
|
1;m 1 |
|
m!1 |
n;m 1 |
|
|
|
||||
Z |
|
|
|
|
|
||||||||||
0 + |
|
|
|
lim y |
|
(t); : : : ; lim y |
|
|
(t))dt |
|
|||||
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
yk0 + Z |
|
|
fk(t; y~1(t); : : : ; y~n(t))dt; |
k = 1; : : : ; n: |
|||||||||||
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Что и требовалось доказать.
29
III ýòàï. Докажем единственность. Пусть наряду с fy~k(x)gnk=1 имеется решение fz~k(x)gnk=1
x
Z
y~k(x) yk0 + fk(t; y~1(t); : : : ; y~n(t))dt;
x0 x
Z
z~k(x) yk0 + fk(t; z~1(t); : : : ; z~n(t))dt:
x0
Вычитая из первого тождества второе, получим:
x
Z
y~k(x) z~k(x) [fk(t; y~1(t); : : : ; y~n(t)) fk(t; z~1(t); : : : ; z~n(t))] dt:
x0
Отсюда
|
y~k(x) |
|
z~k(x) |
|
|
|
x |
|
fk(t; y~1(t); : : : ; y~n(t)) |
|
fk(t; z~1 |
(t); : : : ; z~n(t)) dt |
|
||||||||
j |
|
|
|
j Z |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
L |
|
|
|
y~j(t) |
|
z~j(t) |
; |
|
k = 1; : : : ; n: |
|
|
||||||
|
|
|
|
Z |
|
j=1 j |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x0 |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Просуммируем эти неравенства по |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n
X
jy~k(x)
k=1
n
P
Обозначим z(x) =
|
z~k(x) |
j |
nL |
|
x |
n |
y~j(t) |
|
z~j(t) dt |
: |
|
|
|
Z |
j=1 j |
|
j |
|
|
||||
|
|
|
|
x0 |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jy~k(x) z~k(x)j. Тогда последнее неравенство запи-
шется в виде |
k=1 |
|
|
|
x z(t) dt |
|
|
|
|
|
z(x) |
|
nL |
: |
|
|
(2.11) |
||||
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из неравенства Беллмана при |
c = |
0 следует, |
÷òî z(x) |
|
0. Теорема |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
доказана.
Замечание. Проиллюстрируем идею доказательства теоремы 2.3 на следующем простом примере. Рассмотрим задачу Коши
y0 = y; y(0) = 1: |
(2.12) |
30