Покажем, что из тождества (9.35) функция ( 1; : : : ; n 1) опреде-
ляется однозначно. В самом деле, введем числа k0 = |
k(x10; : : : ; xn0 ), |
k = 1; : : : ; n 1 и рассмотрим систему уравнений |
относительно |
x1; : : : ; xn 1: |
|
k(x1; : : : ; xn 1; xn0 ) = k; k = 1; : : : ; n 1: |
(9.36) |
В силу свойств общего интеграла f kgnk=11 и теоремы 9.1 о неявных функциях система (9.36) однозначно определяет неявные, непрерывно дифференцируемые функции
xk = 'k( 1; : : : ; n 1); k = 1; : : : ; n 1;
определенные в некоторой окрестности точки ( 10; : : : ; n0 1). Подставим функции '1; : : : ; 'n 1 в (9.35) вместо x1; : : : ; xn 1 и получим формулу для функции :
( 1; : : : ; n 1) = '('1( 1; : : : ; n 1); : : : ; 'n 1( 1; : : : ; n 1)); (9.37)
определенную и непрерывно дифференцируемую в окрестности точки ( 10; : : : ; n0 1): Нетрудно видеть, что функция (9.34), в которой задает-
ся по формуле (9.37), есть решение задачи Коши (9.33), определенное в некоторой окрестности точки (x01; : : : ; x0n): Единственность решения за-
дачи Коши следует из единственности функции . Теорема доказана.
Доказательство теоремы 9.7 содержит метод решения задачи Коши для линейного однородного уравнения в частных производных. Проиллюстрируем этот метод на примере.
Пример 9.3. Рассмотрим задачу Коши
2x3ux0 |
2 + ux0 |
3 = 0; |
(9.38) |
u(x1; x2; 0) = sin x1 + cos x2; |
(9.39) |
ãäå u(x1; x2; x3) неизвестная функция.
Найдем общее решение уравнения (9.38). Для этого рассмотрим характеристическую систему этого уравнения:
|
dx1 |
= 0; |
dx2 |
= 2x3 |
: |
|
|
|
|
|
dx3 |
dx3 |
|
|
|
|
Общее решение этой системы очевидно:
x1 = c1; x2 = x23 + c2:
Разрешая эти соотношения относительно c1 è c2, получаем два незави- симых первых интеграла характеристической системы:
1(x1; x2; x3) = x1; |
2(x1; x2; x3) = x2 x32: |
По замечанию 2 к теореме 9.4 любое решение уравнения (9.38) представимо в виде
u(x1; x2; x3) = (x1; x2 x32); |
(9.40) |
ãäå (t1; t2) непрерывно дифференцируемая функция. Найдем с помощью начального условия (9.39). Имеем
u(x1; x2; 0) = (x1; x2) = sin x1 + cos x2:
Подставляя найденную функцию в (9.40), получаем решение исходной
задачи Коши:
u(x1; x2; x3) = sin x1 + cos(x2 x23):
Задачу Коши можно ставить и для квазилинейных уравнений в частных производных. Покажем на примере, как эти задачи решаются с помощью теорем 9.5 и 9.6.
Пример 9.4. Рассмотрим задачу Коши
y2zx0 + xyzy0 = x; |
(9.41) |
z(0; y) = y2; |
(9.42) |
где z(x; y) неизвестная функция. Будем искать решение задачи (9.41)
(9.42) в области
D = f(x; y)jy > 0; y2 > x2g:
Введем в рассмотрение линейное однородное уравнение, которое по теореме 9.5 соответствует квазилинейному уравнению (9.41), а именно
y2vx0 + xyvy0 + vz0 = 0; |
(9.43) |
где v(x; y; z) неизвестная функция. Чтобы найти общее решение уравнения (9.43), надо найти общий интеграл его характеристической систе-
ìû |
dx |
|
dy |
|
dz |
|
|
|
= |
= |
: |
(9.44) |
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
xy |
x |
Одним из способов нахождения первых интегралов является нахождение так называемых интегрируемых комбинаций. Например, в нашем примере (9.44) имеем
dx |
= |
dy |
; x dx y dy = 0; x2 y2 = c1; |
|
|
y2 |
xy |
что дает нам первый интеграл:
|
|
|
|
|
1(x; y; z) = x2 y2: |
Другой интегрируемой комбинацией будет |
|
dy |
= |
dz |
; |
|
dy |
= dz; ln y = z + c2; |
xy |
x |
|
|
|
|
y |
отсюда получаем второй первый интеграл:
2(x; y; z) = ln y z:
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что 1, 2 решения уравнения (9.43), т. е. 1 è 2 действительно являются (по теореме 9.4) интегралами характеристической системы (9.44). Их независимость следует из того, что в рассматриваемой области D
|
@ 1 |
@ 2 |
|
= |
0 |
1 |
|
|
@@z1 |
@@z2 |
|
y1 = 2y 6= 0: |
|
@y |
@y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, любое решение уравнения (9.43) представимо в виде
u(x; y; z) = (x2 y2; ln y z); |
(9.45) |
ãäå (t1; t2) непрерывно дифференцируемая функция.
Пусть функция z = '(x; y) является решением задачи Коши (9.41) (9.42) в некоторой окрестности точки (0; y0) 2 D. По теореме 9.6 существует ненулевая функция v(x; y; z) вида (9.45), такая что в каждой точке этой окрестности выполняется равенство
v(x; y; '(x; y)) = 0;
èëè
(x2 y2; ln y '(x; y)) = 0: |
(9.46) |
Основным моментом при нахождении функций и ' является следующее предположение:
(t1; t2) = t2 f(t1); |
(9.47) |
где f непрерывно дифференцируемая функция. |
|
Из (9.46) и (9.47) имеем |
|
'(x; y) = ln y f(x2 y2): |
(9.48) |
Из формул (9.42) и (9.48) следует, что
ln y f( y2) = y2:
Из этого соотношения, положив t1 = y2, находим функцию f:
p
f(t1) = ln t1 + t1:
Теперь из (9.48) окончательно находим, что
'(x; y) = y2 x2 |
+ ln |
|
y |
: |
(9.49) |
|
|
p |
|
y2 x2 |
Непосредственная проверка показывает, что формула (9.49) дает решение задачи (9.41) (9.42).
Список рекомендуемой литературы
Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения : учеб. пособие / В. И. Арнольд. М. : МЦНМО, 2012.
Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости.
Ì.: Наука, 1967.
Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифферен-
циальных уравнений. М. : Высш. шк., 1963.
Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М. : Изд-во МГУ, 1984.
Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. : Наука, 1974.
Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М. : КомКнига / УРСС, 2006.
Тихонов А. Н., Васильева А. Г. Дифференциальные уравнения. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005.
Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений.
Ì.: КомКнига, 2010.
Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.
Ì.: Либроком, 2011.
Учебное издание
Гуревич Александр Петрович, Корнев Владимир Викторович
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Учебное пособие для студентов физико-математических специальностей
Редактор М. С. Гусева Технический редактор В. В. Володина
Корректор Ю. И. Астахова Оригинал-макет подготовлен Д. Ю. Калькаевым
Подписано в печать 06.09.2013. Формат 60х84 1/16. Усл. печ. л. 10,23(11,0) Тираж 100. Заказ 37.
Издательство Саратовского университета. 410012, Саратов, Астраханская, 83.
Типография Издательства Саратовского университета. 410012, Саратов, Астраханская, 83.