- •Часть I. Механика
- •Раздел 1. Введение
- •Раздел 2. Кинематика
- •6. Волновое движение
- •Раздел 3. Законы динамики
- •Раздел 4. Законы сохранения
- •1. Момент импульса считается постоянным в замкнутой систем.
- •2. Если система не замкнута, но существует ось, относительно которой векторная сумма моментов сил равна нулю, то момент импульса системы, относительно этой же оси, остаётся постоянным.
- •Раздел 5. Гравитационное поле
- •Раздел 6. Движение в неинерциальных системах отсчета
- •Раздел 7. Элементы теории относительности. Примеры.
Раздел 5. Гравитационное поле
Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. “Черные дыры”. Движение в поле тяготения Земли. Космические скорости.
Считается, что законы Кеплера послужили экспериментальной основой ля вывода закона тяготения.
Законы Кеплера:
все планеты движутся по эллиптическим траекториям, в одном из фокусов которого Солнце.
за любые равные промежутки времени радиус-вектор планеты описывает одинаковую площадь,
то есть
отношение квадратов периода вращения планет к кубу длин больших полуосей одинаков для всех планет: .
Покажем, что законы Кеплера могут быть использованы для вывода закона всемирного тяготения.
Предположим, что все орбиты круговые и так как вектор направленто касательной к траектории, то ., где, так как движение равномерное.
, где
согласно третьему закону Кеплера.
Таким образом
. По третьему закону Ньютона: . Следовательно . Таким образом, =>
Ньютон предположил, что , где- гравитационная постоянная.
Таким образом, – закон тяготения между планетами солнца. Ньютон также предположил, что все тела во вселенной испытывают притяжения друг к другу. Для точечных телзакон всемирного тяготения имеет вид:
Эта сила прямо пропорциональна произведению их масс точечных тел и обратно пропорциональна квадрату расстояний между ними.
Особенности: 1) Силы тяготения всегда силы притяжения;
2) не зависят от физической (химической) природы тела;
3) в силу малости гравитационной постоянной гравитационные силы имеют значимое значение для больших масс. =g. гдеускорение силы тяжести. Таким образом, для небольших высот, тогда, ускорение силы тяжести Земли одинаково для всех тел. (Закон справедлив и для тел сферической формы).
4) Сравним закон тяготения со вторым законом Ньютона: ,
Одинакова ли масса гравитационная и инерционная? Было показано с точностью
Принцип эквивалентности:
Если есть система, движущаяся с ускорением и находящаяся в гравитационном поле, то исследователь, находящийся в этой системе, не может определить, какая часть сил обусловлена гравитационными силами , а какая – ускоренным движением системы.
Ньютон не стал давать объяснения физической природы гравитационных сил, назвав их силами дальнодествия. Соврененая теория- это теория полевого взаимодествия материальных тел.
Полевая теория
Любое тело создает вокруг себя поле – гравитационное поле.
Свойства гравитационного поля:
Оно непрерывно распределено в пространстве, проникает в другие поля и вещества.
Это поле действует с некоторой силой на все тела, помещенные в это поле.
–сила тяготения зависит не только от выбора точки поля (x,y,z) и массы тела, создающего поле (,) , но и от массы «пробного» тела (m), что крайне не удобно для характеристики поля. Поэтому введем другую величину.
Напряженность гравитационного поля - -численно равна силе, дейсвующей на единичную массу, помещённую в данную точку поля. Тогда закон примет вид:
Полеимеет точно такую же структуру, что и точечное тело такой же массs M, помещенной в центре сферы. (для )
Это поле цетральное (поле центробежных сил.)
То есть поле потенциально, то:
1) работа сил поля A зависит только от начальной и конечной точки, а не от траектории.
Тогда
2) Так как работа равна изменению энергии,то имеет смысл разность потенциальных энергий
тела в двух точках поля:
Найдём эту энергию через работу
. Тогда -разность потенциалов двух точек гравитационного поля: численно равна работе сил поля по перемещению единичной массы из первой точки во вторую.
1. Если Тело удаляется, работа совершается против сил поля (притяжения).Работа отрицательна, потенциальная энергия растет.
2. Если . Тела сближаются силами поля, работа положительна, потенциальная энергия уменьшается.
3. Если принять: Здесь -радиус Земли.
Так как .
4. =
Тогда потенциал произвольной точки поля :
–относительно бесконечности: численно равен работе, которую нужно совершить, чтобы единичную массу перенести из данной точки в бесконечность.
Определим энергии гравитационного поля .
Пусть имеем шар массы и радиусом-R. Энергию гравитационного поля шара можно определить как работу по переносу всей массы тела в бесконечность. Так как потенциал поверхности будет меняться с изменением размеров шара (и его массы), то следует переносить массу б.малыми порциями dm. Тогда -текущее значение потенциала поверхности шара. Выразимm(r): dr и можно записать в явном виде:.
Подставляя в выражение для работы: =>Таким образом,
Примеры
1. Считая, что полная энергия электрона равна его гравитационной, получим:
см – совпадает с другими методами вычислений. 2..Применим последнюю формулу к произвольному гравитационному объекту:
= Это гравитационный радиус объекта.
величина оказалась чрезвычайно информативной и важной.
Можно оценить гравитационную энергию объекта. (Посчитав плотность энергии, излучаемой Солнцем , учёные пришли к выводу о наличии еще каких- то источников энергии , в частности, энергию термоядерной реакции.
Если сравнить истинный радиус планеты и её гравитационный радиус, то при , с планеты нельзя излучать никакие виды энергии ( в том числе и свет). То есть, мы эту планету не увидим. Следовательно, возникаетЧЁРНАЯ ДЫРА.
Движение в гравитационном поле
Поставим задачу о движении двух тел:
Имеем два тела: массами и. Одно движется в
гравитационном поле другого от точки отсчета проведены радиус-векторы.
, где - единичный вектор.
Начальные условия: , , еще наложить условия
Вычтем: – приведённая масса, тогда
- уравнение движения одного тела, относительно другого.
Решение зтого уравнения достаточно сложное. Для качественных оценок можно использовать
законы сохранения:
Здесь два последних слагаемых есть , так как L = const по закону сохранения момента импульса- функция отr часть
Замечания: Качественный анализ.
кинетическая энергия может быть только положительной
но полное не может быть меньше
- для частицы с массой m.
Единственное решение движение строго по окружности с .
, то существует два решения в некотором интервале
движение по эллипсу.
движение по параболе (разомкнута относительно ).
движение по гиперболе (разомкнута вообще). W
Космические скорости
r
Сообщаемая телу кинетическая энергия должна быть равна
минимальной потенциальной:
Либо можно посчитать из равенства силы тяжести- центробежной силе инерции: То есть первая космическая скорость:
Сообщаемая телу кинетическая энергия должна быть не менее потенциальной энергии взаимодействия с планетой:– у второй космической параболическая траектория. Тело выходит за пределы действия сил тяготения планеты.
Если W > 0 под углом (межпланетные путешествия). Тело выходит за пределы сил тяготения Солнца и других планет солнечной системы.