- •7.4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Таким образом или , (7)
- •Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то Динамика твердого тела
- •2) Плоское движение тердого тела.
- •3) Вращение твердого тела вокруг свободных осей.
- •4) Движение твердого тела с одной неподвижной точкой.
- •10 Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции
- •1. Система движется поступательно по отношению к системе.
- •2. Система вращается с угловой скоростью вокруг оси, неподвижной в системе.
- •3. Система вращается с угловой скоростью вокруг оси, перемещающейся поступательно со скоростью и ускорением по отношению к системе.
- •Основное уравнение динамики в нисо.
- •Силы инерции.
- •3.3. Отклонение падающих тел. Маятник Фуко.
2) Плоское движение тердого тела.
Перейдем к рассмотрению плоского движения твердого тела. При плоском движении центр масс С твердого тела движется в определенной плоскости, неподвижной в данной К-системе отсчета, а вектор его угловой скорости все время остается перпендикулярным этой плоскости. Последнее означает, что в С-системе твердое тело совершает чисто вращательное движение вокруг неподвижной в этой системе оси, проходящей через центр инерции тела. Вращательное же движение твердого тела определяется уравнением (6.30), которое, как было отмечено, справедливо в любой системе отсчета.
Таким образом, мы имеем следующие два уравнения, описывающие плоское движение твердого тела:
(6.34) |
где т - масса тела, - результирующая всех внешних сил, и - момент инерции и суммарный момент всех внешних сил относительно оси, проходящей через центр инерции тела.
При этом следует помнить, что момент включает в себя только внешние силы взаимодействия, несмотря на то что С-система в общем случае является неинерциальной. Это связано с тем, что суммарный момент сил инерции равен нулю как относительно центра масс, так и относительно любой оси, проходящей через эту точку. Поэтому его можно просто не учитывать .
Заметим также, что угловое ускорение , а следовательно, и одинаковы в обеих системах отсчета, так как C-система движется поступательноотносительно инерциальной K-системы отсчета.
Интегрируя уравнения (6.34) с учетом начальных условий, можно найти зависимости и и, определяющие положение твердого тела в любой момент t.
При решении задачи о движении несвободноготвердого тела необходимо использовать еще одно, дополнительное, условие, определяющее ограничения движения имеющимися связями. Оно дает кинематическую связь между линейным и угловым ускорениями.
Пример. Однородный цилиндр массы m и радиуса r скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол с (рис.6.18). Найти уравнения движения цилиндра.
Стандартный подход к решению подобной задачи состоит в следующем. Сперва определяют силы, действующие на тело, и точки их
Рис. 6.18. Скатывание цилиндра с наклонной плоскости |
приложения. В данном случае это - сила тяжести, - нормальная составляющая силы реакции со стороны наклонной плоскости и - сила трения покоя. Затем выберем положительные направления оси х и угла поворота . Эти направления лучше всего взять сразу согласованными, так чтобы знаки ускорений и были одинаковы, например, как показано па рис.6.18, справа. После этого записывают сами уравнения движения, в проекциях па выбранные таким образом положительные направления и :
Кроме того, условие отсутствия скольжения определяет еще кинематическую связь между ускорениями:
Совместное решение этих трех уравнений дает возможность найти ускоренияи также силу .
Выведем уравнение для кинетической энергии твердого тела при плоском движении. Пусть тело совершает плоское движение в некоторой инерциальной K-системе отсчета. Чтобы найти его кинетическую энергию Т в этой системе, воспользуемся формулой (5.12). Входящая в эту формулу величина в данном случае представляет собой кинетическую энергию вращения тела в С-системе вокруг оси, проходящей через центр масс тела. Согласно (6.31) поэтому сразу можно записать
(6.35) |
где - момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через его центр масс, -угловая скорость тела, т - его масса, - скорость центра инерции тела в K-системе отсчета
Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при плоском движении складывается из энергии вращения в С-системе и энергии, связанной с движением центра масс.