01

Решение дифференциального уравнение вращательного движения диска ищется в виде:

Уравнение движения диска

0 cos kt .

151

ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА.

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ.

Задача 55 (рис. 76), (рис. 77)

При каком минимальном значении скорости тяжелый шарик пройдет высшую точку петли радиуса R , не отрываясь от нее ? Петля расположена в вертикальной плоскости.

Рисунок 76

Решение (рис. 77)

152

Согласно принципу Даламбера для точки получим уравновешенную в любой момент времени систему сил

скорость шарика).

По условию задачи при 90 нормальная реакция в верхней точке петли N 0 .

Задача 56 (рис. 78), (рис. 79)

Рисунок78

Тяжелый шарик, находящийся на вершине гладкого сферического купола радиуса R , получает начальную горизонтальную скорость V0 . В

каком месте шарик покинет купол? При каком значении начальной скорости

V0 шарик оторвется от купола в верхней точке?

Решение. (рис. 79)

153

R

Согласно принципу Даламбера для точки получим уравновешенную в любой момент времени систему сил

(mg , N ,Ô ,Ô n) 0 .

Проектируя эту систему сил на главную нормаль Mn, получим mg cos N Ôn 0.

В момент отрыва шарика от купола нормальная реакция купола будет равна нулю:

Рисунок 79

N mg cos mV 2 0 .

R

Отсюда

V 2 Rg cos .

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

Искомое положение шарика, когда он покинет купол

154

cos 2 V0 2 . 3 3Rg

Отрыв шарика от купола произойдет при угле :

скорости:

V 2 Rg cos gR .

Итак, если V0 V gR , то шарик сойдет с купола в верхней точке.

Задача 57 (рис. 80), (рис. 81)

Однородный стержень АВ длиной l и массой m, закрепленный шарнирно на валу ОО1, вращается вокруг оси Оy с постоянной угловой скоростью ω.

Стержень удерживается под углом α к вертикали при помощи горизонтальной тяги ВД . Найти реакции шарниров А и В.

Рисунок80

Решение. (рис. 81)

155

Применим для решения задачи принцип Даламбера. Приложим к

вдоль осей координат, реакцию ХВ шарнира В.

Рисунок 81

Силы инерции точек стержня заменим равнодействующей нормальной

СВ.

Условия мгновенного динамического равновесия стержня имеют вид:

X A X B RnФ 0;

YA mg 0;

X Bl cos RnФ ( 23 l cos ) mg (12 l sin ).

Из составленной системы уравнений, с учетом значения силы RnФ ,

последовательно находим:

156

X B 12 mgtg 13 m 2l sin ;

YA mg;

X A 12 mgtg 16 m 2l sin .

Задача 58 (рис. 82), (рис. 83)

Однородный гладкий диск массы m и радиуса r установлен между валом ОО1 и стержнем АВ, прикрепленным к нему под углом φ. Стержень и вал вращаются с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси Оу (рис. 27).

Определить давление диска на стержень и вал.

Рисунок 82

Решение. (рис. 83)

Воспользуемся принципом Даламбера.

157

Задача 59 (рис. 84), (рис. 85)

Груз массой m поднимается на тросе, навитом на барабан с горизонтальной осью вращения. Определить ускорение груза. Масса барабана равна m ; барабан считать однородным цилиндром. Трением в подшипниках вала барабана, массами вала и троса пренебречь.

Рисунок 84

Решение. (рис. 85)

Для решения использetv общее уравнение динамики.

Принимаем, что ускорение груза равно a , а его возможное перемещение

s . Тогда угловое ускорение барабана Ra , а его возможное угловое перемещение Rs .

159