Глава 2. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Комплексные числа

Теоретические вопросы

1. Векторы и линейные действия над ними.

2. Скалярное и векторное произведения двух векторов и их свойства.

3. Смешанное произведение трех векторов и его свойства.

4. Плоскость.

5. Прямая в пространстве.

6. Прямая на плоскости.

7. Линии второго порядка.

8. Полярные координаты.

9. Комплексные числа.

Литература

1. В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. Краткий курс высшей математики. - М.:Наука,1978.

2. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Аналитическая геометрия. - М.:Наука,1981.

3. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.: Высшая школа,1998, ч.1,2.

1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии в пространстве

Любой вектор в декартовой системе координат может быть представлен в виде

где координаты вектора орты координатных осей.

Вектор с началом в точкеи концом в точкеимеет вид:

,

то есть .

Длина отрезка называетсядлиной (модулем) вектора, обозначается =и вычисляется по формуле

.

Сумма векторов иопределяется формулой

Произведение вектора на число определяется формулой

.

Скалярным произведением векторов иназывается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

.

Скалярное произведение векторов ивычисляется по формуле:

.

Векторным произведением векторов иназывается вектор, обозначаемыйи удовлетворяющий следующим условиям:

1. длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторахи, т.е.;

2. вектор перпендикулярен векторами;

3. векторы образуют правую тройку, то есть они ориентированы по отношению друг к другу соответственно как орты.

Модуль векторного произведения векторов ичисленно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах:

Векторное произведение векторов ивычисляется по формуле:

.

Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение векторана вектор, то есть.

Модуль смешанного произведения векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:

Пусть Тогда

.

Уравнение любой плоскости может быть записано в виде:

где .

Вектор , перпендикулярный плоскости, называетсянормальным вектором плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору , имеет вид

Угол между плоскостями иопределяется следующим образом:

.

Расстояние от точки до плоскости, определяемой уравнением , находится по формуле

.

Прямая в пространстве может быть задана уравнениями двух плоскостей

,

пересекающихся по этой прямой, или каноническими уравнениями прямой

,

которые определяют прямую, проходящую через точку и параллельную вектору. Векторназываетсянаправляющим вектором прямой.

Уравнения прямой, проходящей через две точки и, имеют вид:

.

Угол между двумя прямыми иопределяется следующим образом:

.

Угол между прямой и плоскостьюопределяется следующим образом:

.

Если точка делит отрезок АВ, где ,, вотношении, то координаты точки М определяются по формулам:

.

Задание 1. Даны координаты вершин пирамиды :,. Найти: 1) длину ребра; 2) угол между ребрамии; 3) угол между реброми гранью; 4) площадь грани; 5) объем пирамиды; 6) уравнения прямой; 7) уравнение плоскости; 8) уравнение высоты, опущенной из вершинына грань. Сделать чертеж.

Решение. 1) Для определения длины ребра найдем координаты вектора:. Тогда длина ребрабудет равна длине вектора:

.

2) Найдем угол между ребрами и. Для этого, как и раньше, найдем координаты вектора, определяющего ребро. Получими.

Тогда угол между ребрами иможно найти из определения скалярного произведения двух векторов:

.

Следовательно, .

3) Чтобы найти угол между ребром и гранью, определим нормальный векторплоскости. Из определения векторного произведения двух векторов имеем:

,

т.е. и. Тогда,.

Так как нормальный вектор перпендикулярен плоскости, то угол между реброми граньюопределяется как.

4) Площадь грани можем найти по формуле. Следовательно,кв. ед.

5) Объем пирамиды, построенной на векторах, равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на этих же векторах. Для определения объема параллелепипеда воспользуемся свойством смешанного произведения векторов. В результате имеем:

Таким образом, куб.ед.

6) Составим уравнения прямой . Для этого воспользуемся уравнениями прямой, проходящей через две заданные точкии:

.

Получаем:

.

7) Уравнение плоскости можно найти по формуле:, где,. Следовательно, уравнение плоскостиимеет вид:или после упрощения.

8) Чтобы составить уравнение высоты , опущенной из вершинына грань, воспользуемся формулой:

,

где ,- направляющий вектор высотыпирамиды. Так как векторперпендикулярен грани, то в качествеможно взять вектор- нормальный вектор плоскости.

Следовательно, имеем: или.

9) Сделаем теперь чертеж: