Нерелятивистская квантовая теория. Уравнение Шрёдингера

К середине 20-х годов стало очевидно, что полуклассическая теория атома Н. Бора не может дать полного описания свойств атома. В 1925-1926 гг. в работах Вернера Гейзенберга и Эрвина Шрёдингера был разработан общий подход описания квантовых явлений ‑ квантовая теория. Эволюция квантовой системы в нерелятивистском случае (v ‹‹ c) описывается волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Шрёдингера

где m – масса частицы; ‑ искомая волновая функция частицы, ‑ оператор Лапласа. ‑ мнимая единица.

‑ потенциальная энергия частицы в силовом поле, где частица движется.

Задать закон движения частицы в квантовой механике это значит определить значение волновой функции в каждый момент времени в каждой точке пространства. Уравнение Шрёдингера играет в квантовой механике такую же роль, как и второй закон Ньютона в классической механике. (Как известно, уравнения Ньютона позволяют для макроскопических тел решать основную задачу механики – по заданным силам, действующим на тело (или систему тел), и начальным условиям (начальным значениям координат и скорости тела) найти для любого момента времени координаты тела и его скорость, т. е. описать движение тела в пространстве и во времени. При постановке аналогичной задачи в квантовой механике нужно сразу же учесть, что для частиц микромира характерна двойственность свойств, которая ограничивает возможность применения к таким частицам классических понятий о координате и скорости (или импульсе).

Вероятностное (статистическое) истолкование волн де Бройля и соотношения неопределенностей указывают, что уравнение движения в квантовой механике должно быть таким, чтобы оно позволяло объяснить наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Поскольку состояние частицы в пространстве в данный момент времени в квантовой механике задается волновой функцией основное уравнение квантовой механики является уравнением относительно функции . Это уравнение будет волновым, так как из него получают свое объяснение эксперименты по дифракции микрочастиц, указывающие на их волновые свойства.

Как и уравнения Ньютона, лежащие в основе классической механики, уравнение Шредингера постулируется. Справедливость уравнения Шредингера доказывается тем, что выводы квантовой механики, полученные с помощью этого уравнения в атомной и ядерной физике, находятся в хорошем согласии с опытом.

Самой поразительной особенностью квантовой физики оказался ее вероятностный характер. Вероятностный характер законов является фундаментальным свойством микромира. Квадрат модуля волновой функции, описывающей состояние квантовой системы, вычисленный в некоторой точке, определяет вероятность обнаружить частицу в данной точке.

, волновая функция удовлетворяет условию нормировки вероятностей:

Рисунок – Кот Шрёдингера³ http://www.youtube.com/watch?v=oYBUaGlHoRc (Забавное объяснение известного эксперимента Шрёдингера и его применение в сфере юмора)

Классическое представление об орбите как о траектории движения электрона в атоме не выдерживает критики с квантово-механической точки зрения. Однако имеет смысл говорить о геометрическом месте точек, в которых с наибольшей вероятностью может быть обнаружен электрон в атоме водорода. Это геометрическое место заменяет в квантовой механике классическое представление об орбите электрона.

1 Это состояние называется космологической сингулярностью. Большой взрыв (англ. Big Bang) ‑ космологическая теория начала расширения Вселенной, перед которым Вселенная находилась в сингулярном состоянии. По наиболее распространенным на сегодняшний момент представлениям, наблюдаемая нами сейчас Вселенная возникла 13,7 ± 0,13 млрд лет назад из некоторого начального «сингулярного» состояния и с тех пор непрерывно расширяется и охлаждается. Согласно известным ограничениям по применимости современных физических теорий, наиболее ранним моментом, допускающим описание, считается момент Планковской эпохи с температурой примерно 10³² К (Планковская температура) и плотностью около 10⁹³ г/см³ (Планковская плотность). Ранняя Вселенная представляла собой высокооднородную и изотропную среду с необычайно высокой плотностью энергии, температурой и давлением. Приблизительно через 10⁻³⁵ секунд после наступления Планковской эпохи (Планковское время ‑ 10⁻⁴³ секунд после Большого взрыва, в это время гравитационное взаимодействие отделилось от остальных фундаментальных взаимодействий) фазовый переход вызвал экспоненциальное расширение Вселенной. Данный период получил название Космической инфляции. После окончания этого периода строительный материал Вселенной представлял собой кварк-глюонную плазму. По прошествии времени температура упала до значений, при которых стал возможен следующий фазовый переход, называемый бариогенезисом. На этом этапе кварки и глюоны объединились в барионы, такие как протоны и нейтроны. При этом одновременно происходило асимметричное образование как материи, которая превалировала, так и антиматерии, которые взаимно аннигилировали, превращаясь в излучение.

Дальнейшее падение температуры привело к следующему фазовому переходу  ‑ образованию физических сил и элементарных частиц в их современной форме. После чего наступила эпоха нуклеосинтеза, при которой протоны, объединяясь с нейтронами, образовали ядра дейтерия, гелия-4 и ещё нескольких лёгких изотопов. После дальнейшего падения температуры и расширения Вселенной наступил следующий переходный момент, при котором гравитация стала доминирующей силой. Через 380 тысяч лет после Большого взрыва температура снизилась настолько, что стало возможным существование атомов водорода (до этого процессы ионизации и рекомбинации протонов с электронами находились в равновесии). После эры рекомбинации материя стала прозрачной для излучения, которое, свободно распространяясь в пространстве, дошло до нас в виде реликтового излучения.

Экстраполяция наблюдаемого расширения Вселенной назад во времени приводит при использовании общей теории относительности к бесконечной плотности и температуре в конечный момент времени в прошлом. Более того, теория не даёт никакой возможности говорить о чём-либо, что предшествовало этому моменту (потому, что наша математическая модель пространства-времени в момент Большого взрыва теряет применимость: при этом теория вовсе не отрицает возможность существования чего-либо до Большого взрыва), а размеры Вселенной тогда равнялись нулю ‑ она была сжата в точку. Это состояние называется космологической сингулярностью и сигнализирует о недостаточности описания Вселенной классической общей теорией относительности. Практически общепринято, что допланковскую эпоху рассматривать известными методами нельзя. Невозможность избежать сингулярности в космологических моделях общей теории относительности была доказана в числе прочих теорем о сингулярностях Р. Пенроузом и С. Хокингом в конце 1960-х годов.

2 Проводилось исследование отражения электронов от монокристалла никеля. Установка включала в себя монокристалл никеля, сошлифованный под углом, и установленный на держателе. На плоскость шлифа направлялся перпендикулярно пучок монохроматических электронов. Скорость электронов определялась напряжением на электронной пушке:

Под углом к падающему пучку электронов устанавливался цилиндр Фарадея, соединённый с чувствительным гальванометром. По показаниям гальванометра определялась интенсивность отражённого от кристалла электронного пучка. Вся установка находилась в вакууме.

В опытах измерялась интенсивность рассеянного кристаллом электронного пучка в зависимости от угла рассеяния от азимутального угла , от скорости электронов в пучке.

Опыты показали, что имеется ярко выраженная селективность (выборочность) рассеяния электронов. При различных значениях углов и скоростей, в отражённых лучах наблюдаются максимумы и минимумы интенсивности. Условие максимума:

Здесь ‑ постоянная кристаллической решётки.

Таким образом наблюдалась дифракция электронов на кристаллической решётке монокристала. Опыт явился блестящим подтверждением существования у микрочастиц волновых свойств.

3 Кот Шрёдингера ‑ герой кажущегося парадоксальным мысленного эксперимента Эрвина Шрёдингера, которым он хотел продемонстрировать неполноту квантовой механики при переходе от субатомных систем к макроскопическим.

Суть эксперимента. В закрытый ящик помещён кот. В ящике имеется механизм, содержащий радиоактивное ядро и ёмкость с ядовитым газом. Параметры эксперимента подобраны так, что вероятность того, что ядро распадётся за 1 час, составляет 50 %. Если ядро распадается, оно приводит механизм в действие, он открывает ёмкость с газом, и кот умирает. Согласно квантовой механике, если над ядром не производится наблюдения, то его состояние описывается суперпозицией (смешением) двух состояний ‑ распавшегося ядра и нераспавшегося ядра, следовательно, кот, сидящий в ящике, и жив, и мёртв одновременно. Если же ящик открыть, то экспериментатор обязан увидеть только какое-нибудь одно конкретное состояние — «ядро распалось, кот мёртв» или «ядро не распалось, кот жив».

Вопрос стоит так: когда система перестаёт существовать как смешение двух состояний и выбирает одно конкретное? Цель эксперимента ‑ показать, что квантовая механика неполна без некоторых правил, которые указывают, при каких условиях происходит коллапс волновой функции и кот становится либо мёртвым, либо остаётся живым, но перестаёт быть смешением того и другого.

Вопреки расхожим представлениям, сам Шрёдингер придумал этот опыт вовсе не потому, что он верил, будто «мёртвоживые» коты существуют; наоборот, он считал квантовую механику неполной и не до конца описывающей реальность в данном случае. Поскольку ясно, что кот обязательно должен быть либо живым, либо мёртвым (не существует состояния, промежуточного между жизнью и смертью), то это означает, что это верно и для атомного ядра. Оно обязано быть либо распавшимся, либо нераспавшимся.

Оригинальная статья вышла в немецком журнале Naturwissenschaften («Естественные науки») в 1935 году: E. Schrödinger: «Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik» («Сегодняшнее положение дел в квантовой механике»), Naturwissenschaften, 48, 807, 49, 823, 50, 844 (November 1935). Целью статьи было обсуждение ЭПР парадокса, опубликованного Эйнштейном, Подольским и Розеном ранее в том же году. Кроме того, что Шрёдингер в этой статье познакомил нас с котом, он ещё ввёл термин «запутанность» (По-немецки: Verschränkung, по-английски: entanglement).

28