7.3. Частотный критерий устойчивости Найквиста

В отличие от критерия Гурвица, который основан на анализе характеристического уравнения системы, критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФХ разомкнутого контура. В этом заключается существенное преимущество критерия, так как в тех случаях, когда неизвестно математическое описание одного или нескольких конструктивных элементов системы и оценить их свойства можно только экспериментальным определением частотных характеристик, критерий Найквиста является единственно пригодным.

О с н о в н а я ф о р м у л и р о в к а к р и т е р и я Н а й к в и с т а: замкнутая система управления устойчива, если АФХ F(j) разомкнутого контура не охватывает точку с координатами (-1; j0).

Эта формулировка справедлива для систем, которые в разомкнутом состоянии устойчивы. Таковыми являются большинство реальных систем, состоящих из устойчивых элементов.

На рис. 7.2,а изображены АФХ разомкнутого контура, соответствующие трём различным случаям: 1 – система устойчива; 2 – система находится на колебательной границе устойчивости; 3 – система неустойчива.

Рис. 7.2. АФХ разомкнутого контура (а) и физическая трактовка

критерия Найквиста (б)

Частота, при которой АЧХ А() (модуль функции W(j)) принимает значение 1, называется частотой среза. Обозначение этой частоты _ср. Частоту, при которой фазовый сдвиг () равен -, обозначают _.

Пользуясь введёнными обозначениями, можно записать следующее условие нахождения системы на границе устойчивости:

(7.31)

Очевидно, что при нахождении системы на границе устойчивости _ср=_.

Дадим ф и з и ч е с к у ю т р а к т о в к у основной формулировки к р и- т е р и я Н а й к в и с т а . Предположим, что на входе системы (см. рис. 7.2,б) действует гармонический сигнал g(t)=g_msint с малой амплитудой g_m. Пусть частота  окажется равной частоте _, при которой фазовый сдвиг (), создаваемый звеном W(j), равен -. При этом сигнал отрицательной обратной связи окажется в фазе с сигналом g(t) и мгновенные значения сигналов поэтому будут складываться.

Если на частоте  =_ модуль W(j_)окажется равным единице, т. е. если выполняется условие (7.31), то в контуре системы будут поддерживаться незатухающие колебания даже после исчезновения внешнего воздействия g(t), т. е. система будет находиться на границе устойчивости. Характеристика W(jω) при этом будет проходить через точку (-1; j0).

Если на частоте  =_ модуль W(j_)<1, то после исчезновения внешнего воздействия колебания в контуре затухнут, т. е. система устойчива. Характеристика не охватывает точку (-1; j0).

Если же модуль W(j_)>1, то амплитуда сигналов в контуре будет неограниченно возрастать, т. е. система будет неустойчивой. Характеристика W(j) в этом случае охватит точку (-1; j0).

Таким образом, особая роль точки (-1; j0) заключается в том, что она, во-первых, соответствует превращению отрицательной обратной связи в положительную, и, во-вторых, является граничной между режимами усиления и ослабления сигналов звеном W(j).

Иногда на практике встречаются системы, в контуре которых имеется одно или несколько неустойчивых элементов. Такие с и с т е м ы в р а з о м к -н у т о м с о с т о я н и и н е у с т о й ч и в ы. Для суждения об их устойчивости необходимо использовать с л е д у ю щ у ю ф о р м у л и р о в к у к р и -т е р и я Н а й к в и с т а: замкнутая система управления устойчива, если АФХ W(j) разомкнутого контура охватывает l/2 раз точку с координатами (-1;j0), где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутого контура.

Данная формулировка критерия Найквиста является более общей, чем предыдущая. Действительно, если разомкнутая система устойчива (т. е. если l=0), то для устойчивости замкнутой системы АФХ W(j) должна точку (-1; j0) охватывать нуль раз, т. е. не охватывать.

Из обеих формулировок следует, что для суждения об устойчивости системы необходимо предварительно установить, устойчива ли она в разомкнутом состоянии. Обычно эта вспомогательная задача решается сравнительно легко при помощи критерия Гурвица. Для этого приравнивают к нулю знаменатель ПФ W(p) разомкнутого контура и анализируют это характеристическое уравнение.

Во многих практических случаях устойчивость разомкнутого контура может быть оценена без каких-либо вычислений, непосредственно по виду входящих в контур звеньев.

Пример 1. Определим с помощью критерия Найквиста максимально допустимое значение общего ПК системы, состоящей из трёх инерционных звеньев первого порядка с одинаковыми постоянными времениТ₁=Т₂=Т₃=Т.

ПФ разомкнутого контура системы

(7.32)

Амплитудная частотная функция контура

(7.33)

фазовая частотная функция

(7.34)

Система будет находиться на границе устойчивости, если АФХ разомкнутого контура пройдёт через точку (-1; j0), т. е. если при некоторой частоте=_=_кродновременно выполняется условие:

(7.35)

Для рассматриваемой системы условия (7.35) имеют вид

(7.36)

(7.37)

Из условия (7.37) имеем

(7.38)

Подставляя условие (7.38) в условие (7.36), получим искомое значение передаточного коэффициента k=8.

Из приведённого решения следует также, что предельное значение ПК не зависит от абсолютного значения постоянных времени Т.

Критерий Найквиста удобно использовать для а н а л и з а у с т о й ч и -в о с т и с и с т е м, с о д е р ж а щ и х з в е н о з а п а з д ы в а н и я . Если звено запаздывания включено последовательно с остальными звеньями (рис. 7.3,а), то АФХ разомкнутого контура может быть представлена как произведение

(7.39)

гдеW(j) – эквивалентная амплитудно-фазовая функция остальных звеньев.

Рис. 7.3. Оценка устойчивости СУ с запаздыванием:

а– структура СУ;б– АФХ разомкнутого контура

Характеристику W(j) строят следующим образом. Вначале строят кривую W(j), а затем каждый вектор, соответствующий частоте _i, поворачивают на угол _i (рис. 7.3,б).

Отметим, что звенья запаздывания, как правило, ухудшают устойчивость систем.

Пример 2.Определим, будет ли устойчива статическая система, состоящая из пропорционального управляющего устройства и статического инерционного объекта первого порядка с запаздыванием, при следующих значениях параметров:

АФХ разомкнутого контура

(7.40)

амплитудная функция контура

(7.41)

фазовая функция

(7.42)

Найдём вначале частоту _, при которой(_)=-. Решая методом последовательных приближений трансцендентное уравнение

(7.43)

получим _0,085 с^-1.

Теперь вычислим значение А() при частоте_0,085 с^-1.

(7.44)

Следовательно, АФХ не охватит точку (-1; j0). Система устойчива.

Если разомкнутый контур системы образован последовательным соединением типовых динамических звеньев, то целесообразно частотную характеристику контура строить в л о г а р и ф м и ч е с к о й с и с т е м е к о о р д и -н а т и об устойчивости системы судить по виду этой характеристики. При этом используют следующую р а з н о в и д н о с т ь о с н о в н о й ф о р м у- л и р о в к и к р и т е р и я Н а й к в и с т а: замкнутая система устойчива, если при достижении фазовой частотной характеристикой значения -180^о логарифмическая амплитудная характеристика будет отрицательной (рис. 7.4,а, линия 1).

Рис. 7.4. Логарифмические частотные характеристики статических систем:

1– устойчивой;2– находящейся на границе устойчивости;3 – неустойчивой

Действительно, если L()<0, то А()<1. Поэтому отрицательность L() при (_)=-180^о свидетельствует о том, что АФХ разомкнутого контура не охватывает точку (-1; j0).

Логарифмические частотные характеристики L() и () разомкнутого контура находят суммированием ординат соответствующих характеристик отдельных звеньев. Фазовые характеристики отдельных звеньев строят либо по нескольким вычисленным точкам, либо при помощи специальных шаблонов. Амплитудные характеристики отдельных звеньев строят приближённо – в виде совокупности прямолинейных отрезков по простым правилам, изложенным в главе 3.

Критерий Найквиста, применяемый в логарифмической системе координат, называют часто логарифмическим критерием.

Пример 3.Определим по логарифмическим частотным характеристикам устойчивость статической системы, состоящей из трёх инерционных звеньев первого порядка с постоянными времениТ₁=0,2 с;Т₂=0,1 с;Т₃=0,05 с. Передаточный коэффициент разомкнутого контураk=20.

Сопрягающие частоты звеньев _с1=1/Т₁=5 с^-1;_с2=1/Т₂=10 с^-1;_с3=1/Т₃=20 с^-1.

В соответствии с этими значениями построены приближённая ЛАЧХ L() (рис. 7.5,а) и фазовая характеристика() (рис. 7.5,б) разомкнутого контура, которая получена согласно выражению

(7.45)

По графику видим, что при ()=-180^офункцияL()>0. Следовательно, система неустойчива.

а

б

Рис. 7.5. Пример оценки устойчивости по логарифмическим

частотным характеристика