Лекции - Раздел 1

(“объем плановых инвестиций неэластичен по отношению к норме процента”).

В моделях “доход – потребление”, относящихся к потреблению продуктов питания,

модели постоянна. Опять же по чисто физиологическим причинам, более подходящей будет скорее модель связи с убывающей (в конечном счете) эластичностью. Такого рода связь между факторами Y и Z может иметь вид

Y lnZ , 0, 0 .

(См. следующий график, построенный при 5, 10.)

Z

Здесь

(Z)

Z

(закон Энгеля убывания эластичности потребления продуктов питания по доходу). Заметим также, что значения Y в этой модели ограничены сверху значением exp . Приведенный ниже график кривой Y exp Z соответствует значениям 3, 10.

69

Обе последние модели приводятся к линейной форме связи путем перехода от уровней переменных к их логарифмам или к обратным величинам.

Если исследователь принимает модель наблюдений lnYi lnXi i ,

то тем самым он соглашается с тем, что

70

модели связи линейной моделью11. Однако характер расположения точек на диаграмме рассеяния явно указывает на наличие нелинейной связи между рассматриваемыми переменными в период с 1961 по 1969 год (кривая Филлипса).

Поэтому при подборе моделей к реальным статистическим данным следует обращать внимание не только на коэффициент детерминации, но и на соответствие подобранной модели характеру статистических данных. Позднее мы специально обсудим эту проблему, известную как проблема адекватности полученной модели имеющимся статистическим данным.

Поскольку, на первый взгляд, расположение точек на рис. 1.23 напоминает график обратной пропорциональной зависимости, можно попробовать рассмотреть модель наблюдений

INFi 1UNJOBi i , i 1, ,n,

соответствующую линейной связи между переменными INF и UNJOBINV 1/UNJOB.

Подбор такой связи приводит к модели

INF 3.90 27.47 1UNJOB

с еще более высоким значением коэффициента детерминации R2 0.8307. Однако, характер диаграммы рассеяния переменных INF и UNJOBINV (рис. 1.24) указывает на нелинейную связь и между этими переменными.

6

4

INF

2

0

0.150.2 0.25 0.3 UNJOBINV

Рис. 1.24

Обратившись еще раз к диаграмме рассеяния исходных переменных INF и UNJOB

для данных за 1961–1969 годы (рис. 1.23), можно заметить, что кривая зависимости INF от

UNJOB по-видимому имеет вертикальную асимптоту INF 3. Последнее обстоятельство можно учесть в рамках модели Михаэлиса – Ментон (Michaelis–Menton model)

11 Позднее мы сможем более квалифицированно говорить о том, действительно ли получаемое при подборе модели значение коэффициента детерминации достаточно велико.

73

INF 1 UNJOB ,2 UNJOB

которую можно преобразовать к виду

предусматривающему наличие и вертикальной и горизонтальной асимптот. Такая модель

Рис. 1.25

Теперь уже точки на диаграмме рассеяния весьма хорошо следуют прямой линии,

подобранной методом наименьших квадратов:

модель Михаэлиса – Ментон имеет вид:

Модель Михаэлиса – Ментон хороша тем, что учитывает наличие асимптот и линеаризуется. В то же время она является лишь частным случаем более общей нелинейной модели связи

12 UNJOB

стремя свободно изменяющимися параметрами. Действительно, в модели Михаэлиса –3INF

Ментон

74

3 1 2 ,

иона только двухпараметрическая, так что модель с тремя свободными параметрами является более гибкой. Но, вместе с тем, указанная трехпараметрическая модель уже не линеаризуется, и параметры 1, 2 , 3 приходится оценивать, используя итерационную

процедуру последовательного уменьшения суммы квадратов

(Конечно, в предположении аддитивности ошибок i .) “Стартовые” значения параметров

можно положить равным 1.

Реализация итерационной процедуры приводит к следующим оценкам параметров:

1 0.581, 2 3.117, 3 1.370;

оцененная модель имеет вид

На рис. 1.26 показаны наблюдаемые значения переменной INF (INFtrue) и значения

(INFmodel), получаемые по оцененной модели.

6

4 INFmodel

iNFtrue

2

0

3 5 7

UNJOB

Рис. 1.26

Подобранная модель показывает, что экспансионистские экономические мероприятия первоначально обеспечивают снижение нормы безработицы и реальный экономический рост при умеренной инфляции. Однако удержать норму безработицы ниже ее естественного уровня в течение продолжительного времени можно лишь за счет постоянно ускоряющегося темпа инфляции. К окончанию срока пребывания у власти Линдона

75

объясняемые переменные различны, не имеет смысла, поскольку при этом оказываются различными и полные суммы квадратов.

Контрольныевопросы

1.Как ведет себя предельная склонность к потреблению при возрастании DPI в модели степенной связи между DPI и расходами на потребление?

1.Как ведет себя эластичность расходов на потребление при возрастании DPI в модели степенной связи между DPI и расходами на потребление?

2.Как ведет себя эластичность расходов на потребление при возрастании DPI в модели линейной связи между DPI и расходами на потребление?

3.Какие две различные эконометрические модели можно выбрать для эконометрического анализа, исходя из одной и той же модели степенной связи между переменными? Как влияет при этом выбор модели на процедуру, реализующую метод наименьших квадратов?

4.Что дает возможность сведения модели нелинейной связи к линейной модели наблюдений?

5.Каковы достоинства модели Михаэлиса – Ментон, и каким образом она линеаризуется?

6.Частным случаем какой трехпараметрической модели является модель Михаэлиса – Ментон? Как реализуется метод наименьших квадратов в этих двух моделях?

7.Почему нельзя сравнивать между собой значения коэффициента детерминации,

полученные при оценивании альтернативных моделей связи, в которых объясняемые переменные различны? Как можно поступать в таких случаях?

Таблицы статистических данных к разделу 1.

Табл. 1.6

Табл. 1.7

77

Табл. 1.8

Табл. 1.10

78