Лекции - Раздел 1

В этой связи можно упомянуть, например, известную модель оценки финансовых активов CAPM – Capital Asset Pricing Model. В своей простейшей форме модель наблюдений,

соответствующая CAPM , имеет следующий вид:

бета”, или просто “бета”) является мерой систематического (рыночного) риска бумаги j-го вида.

Пусть мы имеем наблюдения xi , yi , i 1, ,n , и предполагаем, что гипотетическая линейная связь между переменными x и y имеет вид

y x

(пропорциональная связь между переменными), так что ей соответствует модель наблюдений

yi xi i , i 1, ,n.

Применение метода наименьших квадратов в этой ситуации сводится к минимизации суммы квадратов расхождений

n

Q( ) yi xi 2

i 1

по всем возможным значениям . Последняя сумма квадратов является функцией единственной переменной (при известных значениях xi , yi ,i 1, ,n), и точка минимума этой функции легко находится. Для этого мы приравниваем нулю производную Q( ) по :

2yi ˆ xi xi 0 (нормальное уравнение),

i 1n

откуда получаем:

Отсюда видно, что при таком подборе

ˆ Cov(x, y) ,

Var(x)

59

и точка (x, y) уже не лежит, как правило, на подобранной прямой y ˆ x .

При этом здесь не выполняется и равенство

n

ei 0,

i 1

которое имеет место в модели с включением в правую часть постоянной составляющей. (См.

Замечание 2 в конце этого раздела.)

Более того, в такой ситуации

где

yˆi ˆ xi ,

т. е.

TSS RSS ESS,

и поэтому теряют силу соображения, приводившие к определению коэффициента детерминации R2 как доли полной суммы квадратов, объясненной подобранной моделью.

При этом отношения ESSTSS и RSSTSS могут принимать значения, большие

единицы, так что при определении коэффициента детерминации как R2 ESSTSS значения этого коэффициента могут превышать единицу, а при определении коэффициента

что соответствует диаграмме рассеяния на рис. 1.18,

60

3

2

Y

1

0

Рис.1.18

и мы предполагаем пропорциональную связь между этими переменными, что соответствует модели наблюдений yi xi i ,i 1,2,3,4. Для этих данных

R2 1 RSSTSS приводит к отрицательному значению R2 0.213138. Заметим также,

n

что сумма остатков здесь равна ei 1.9017.

i 1

Преодолеть возникающие затруднения можно, если в модели наблюдений без постоянной составляющей использовать так называемый нецентрированный коэффициент детерминации (uncentered R2), определяемый соотношением

Ru2 1 RSSn ,

yi2

i 1

вкотором RSS делится на сумму квадратов нецентрированных значений переменной y

отражающего геометрическую сущность метода наименьших квадратов, и выполняется как для модели без постоянной составляющей, так и для модели с наличием постоянной

61

составляющей в правой части модели наблюдений. Деля обе части последнего равенства на

n

yi2 , приходим к соотношению

i 1

из которого непосредственно следует, что

так что

0 Ru2 1.

Доказать соотношение несложно. Действительно,

(см. нормальное уравнение), что и приводит к искомому результату.

В последнем примере использование нецентрированного коэффициента детерминации приводит к значению Ru2 1 1.5376526.33 0.7571.

Замечание 1.3.3

Поскольку соотношение

выполняется и для моделей с постоянной составляющей, то нецентрированный коэффициент детерминации остается в пределах от нуля до единицы и для таких моделей. Однако Ru2

обладает следующим нежелательным для таких моделей свойством: значение коэффициента

Ru2 изменяется, если все значения объясняемой переменной y увеличить (уменьшить) на одну и ту же величину.

62

Замедление скорости роста функции f DPI соответствует убыванию MPC DPI при возрастании DPI . Уточняя предположения о поведении MPC , можно получить ту или иную форму связи между переменными DPI и C .

Среди прочих возможных форм связи между DPI и C отметим степенную связь

Cf DPI DPI ,

вкоторой 0,0 1. Для такой связи

MPC DPI DPI 1,

так что предельная склонность к потреблению монотонно убывает с ростом DPI .

Степенную форму связи можно привести к линейной форме, если вместо уровней дохода и расходов на потребление рассмотреть логарифмы уровней по какому-нибудь (но одному и тому же!) основанию (например, натуральные или десятичные логарифмы).

Действительно, переходя к логарифмам уровней, получаем соотношение

logC log logDPI ,

или, обозначая logC C ,log ,logDPI DPI ,

C DPI .

Линейной модели связи в логарифмах соответствует линейная модель наблюдений

Ci DPIi + i , i 1, ,n,

которую мы уже умеем оценивать методом наименьших квадратов.

Напомним, что если мы имеем связь между какими-то переменными

экономическими факторами X и Y в виде

Y f X ,

то мы определяем функцию

65

отношения процентного изменения Y f X к процентному изменению X , когда последнее стремится к нулю.

Значение MPC X0 равно угловому коэффициенту касательной к графику функции

Y f X при X X0 , тогда как значение X0 равно угловому коэффициенту касательной к графику зависимости lnY от ln X при X X0 . Как следствие, условие постоянства

MPC X , т. е. MPC X , означает линейную связь между уровнями факторов:

YX ,

аусловие постоянства эластичности X означает линейную связь между логарифмами

уровней

lnY lnX ,

соответствующую степенной связи между уровнями

Y exp lnX Const X ,

выражающей степенное возрастание (при 0) или убывание (при 0) уровней фактора

66

изменяется от до .

когда используются натуральные логарифмы,

d lgC , d lgDPI

когда используются десятичные логарифмы) и представляет эластичность расходов на потребление соответствующего продукта (группы продуктов) по располагаемому доходу.

Пример 1.4.1

Вернемся к примеру с совокупным располагаемым доходом (DPI) и совокупными расходами на личное потребление (С) в США, приведенному при рассмотрении темы 1.3, и

будем использовать дефлированные данные, принимая за базовый 1972 год.

Мы подобрали по таким данным за период 1970–1979 годы модель линейной связи

67

C 67.66 0.98DPI

(значения оценок, полученные ранее, округлены здесь до сотых долей). Величина 0.98

оценивает склонность к потреблению по отношению к располагаемому доходу, которая в этой модели постоянна. Что касается эластичности расходов на личное потребление по отношению к располагаемому доходу, то оцененная эластичность изменяется на периоде с

1970 по 1979 годы от значения

(0.98·751.6) / (– 67.66 + 0.98·751.6) = 1.10

до значения

(0.98·1015.7) / ( –67.66 + 0.98·1015.7) = 1.07,

так что формально расходы на личное потребление оказываются эластичными по располагаемому доходу на всем этом периоде. В дальнейшем мы будем подробно обсуждать вопрос о том, сколь надежны такие выводы, имея в виду, что мы используем здесь при вычислениях эластичностей не “истинные” значения параметров и , а их оценки.

К линейной форме связи можно привести и некоторые другие виды зависимости,

характерные для экономических моделей.

Так, если Y – объем плановых инвестиций, а Z – норма банковского процента, то между ними существует связь, которая иногда может быть выражена в форме

и имеет графическое представление:

Z

68