Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

матан Бесов - весь 2012

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

16.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2922 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

∂Gz,m ∩ ∂Gz,p

Oz Gz,m Gz,p m = p

n(m) n(p)

a ! " #

$ n(m) n(p) "

% # ∂Gz,m

! # ∂G ∩ ∂G		z,m #
%	mz
	m=1(∂G ∩ Gz,m) = ∂G
&

	' ! $ $ a = Rk

$ $ $ a

& ( )

* # U (M ) M

R	3
R		a = Pı + Qj + Rk

! Px Qy Rz # Bε + ε > 0

M ∂Bε + # & n +

∂Bε '

ε > 0

!!!				!!
diva dx dy dz =				(a,n) dS.
Bε				∂Bε
, $ Mε Bε
1			!!
diva(Mε) =				(na,) dS,
	μB
		ε		∂Bε
diva			!!
1				(na,) dS.
diva(M ) = lim					-

ε→0 μBε				∂Bε

. - ! $

# R3

$ $ ! $

# / -

# '

! "

§
		, ! #	G
R3 ! &
( )*	1	! 0 a =
	1
= xı a = yj a = zk a =	3	(xı + yj + zk)

( " # G R3

$" " $ ( )*

! #

1 &&

G R3 a = a(x, y, z) !$

diva = 0 G.

D D G!

2 ! # ! &

- + ! & ( )

* 3

( # G R3 !$

$ " D R3 ! $ ∂D G D G

4 ! # 56 $!$

# 7 8 7 8

9 : 2 "

$ ; # $ G R3

!$ &&

$ "

! ∂D "

D ∂D G

< $ " #

G 56 $!

S = {r(u, v) : (u, v) D} G R3,

G R3 D !

∂D = {(u(t), v(t)) : a t b},	"

#$ !


∂S = Γ = {r(u(t), v(t)) : a t b}.				%
& ! Γ S
! S Γ'
( ! ∂D )
D'

	ru ×rv
n =	\|r	×r \|	= (cos α, cos β, cos γ)
	u	v

S' )

S ∂S # )

* ' %"'+', %"'+'" '

a = ıP + Qj +


+ Rk S G
S Γ
!!	!
(rotna,) dS =	(a, dr),	,

SΓ

. ,

cos β cos γ

cos α

∂

∂R

∂Q

dS =

−

cos α+

∂x

∂y

∂z

∂y

S P

∂z

∂P

−

∂R

cos β +

∂Q

−

∂P

cos γ dS =

∂z

∂x

∂y

P dx + Q dy + R dz. (4)

/ ' 0 * ! )

a = ıP + 0j + 0k ' ' ! Qj Rk

# ! )

1 $ ' 2

P (x, y, z)dx =

! b

P x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t)) ×

×[xu(u(t), v(t))ut + xv (u(t), v(t))vt] dt =

P x(u, v), y(u, v), z(u, v) [xu(u, v) du + xv (u, v) dv].

∂D

& )

! !

−

P dx =

∂

∂x

∂

∂x

du dv =

∂u

∂v

∂2x

−

∂P ∂x

∂P ∂y

∂P ∂z

∂x

+ P

∂x ∂u

∂y ∂u

∂z ∂u

∂v

∂u∂v

−

− P

∂2x

∂P ∂x

∂P

∂y

∂P ∂z

∂x

du dv =

∂x ∂v

∂y ∂v

∂z ∂v

∂u

∂v∂u

∂P

∂(z, x)

−

∂P

∂(x, y)

du dv =

∂y ∂(u, v)

∂z ∂(u, v)

cos γ dS,

= !!

∂P

cos β −

∂P

∂z

∂y

- , '

! '

! " #

$ % !

& ! '

S ! ' ! '

( ' % ' % )

§ * + , ! % -

$ . % %

% $

. !

)- % $

/ % !

! ' -'

0 1 '

' ! . ' S %

∂S = Γ $ (

1 ) ! $ 2

. S ∂S = Γ

$ $ $ ! %

& $ - '

' % ' S

%I
S =	i=1 Si

ν = {νi}Ii=1

G R3 ∂S

S! " ##

G a

!!I !! !

(rotνa,) dS =		(rotνa,i) dS =	(a, dr).
S	i=1	Si	∂S

3 !

1 $ Si $

, ( %

-' ∂Si ∩ ∂Sj i = j Si Sj

! $) )

. ' - ∂Si ∩ ∂Sj 4 .

. ' ' Si Sj & !$ ' )

% ' ! , a = = a(x, y, z) 5 .

(x0, y0, z0) ν 5 '

Dε 5 % ε > 0 . (x0, y0, z0)$ -' % ' ν & %

!	!!

	(a, dr) =		μDε,
	(a, dr) =	(rotνa,) dS = (rotνa,)	μDε,

∂Dε Dε (xε,yε,zε)

% . $ ∂Dε % ν

6 (xε, yε, zε) Dε 2 )

		!
		1
		1
(rotνa,)	= lim		(a, dr).	+
(x0,y0,z0)	ε→0	μDε ∂Dε

, ' ' % % !

% % ' '

(rota,ν) ! %

( ' & $

rota ! ν

, + $ !

. rota ν

G R3

a = Pı + Qj + Rk

! " U # G → R $

P =	∂U	,	Q =	∂U	,	R =	∂U	G.	! "

	∂x			∂y			∂z

%& $

a '

(a, dr) = 0

! "

' $ Γ G

% ( '

a = Pı + Qj + Rk

rota =

∂

∂x

∂y

∂z

= (Ry − Qz )ı + (Pz − Rx)j + (Qx − Py )k = 0,

!)"

G R3

* ( $

+ !)" &

a $ $ ,

G R3

	§
	-		G = R3	\ Oz a = −	y	ı +

					x2 + y2
	x		G
+	x2 + y2	j + 0k (x, y, z)	G
				/ a
	. rota = 0 G			/ a

$0 ( $

( CR = {(R cos θ, R sin θ, 0)# 0 θ 2π} R

(a, dr) = 2π = 0

! "

+ !)" & $

! "

G R3 $ ,

& , '

/ G R3

' , , ,

, Λ G & S G

' 1 Λ

/ G R3

' $ (

2 & $&

% & ,

% ΛG -( $ 0 ( ( '

G & S ' '

1 -

Λ= {ρ(u) : 0 u 2π},

0 = u0 < u1 < . . . < uI = 2π Ai = ρˆ(ui) 3

0 4 !AI = A0" %

' $ B G ( ' , ,

' , $ Ai−1 Ai !i =%1 I" 5

$ ' & S = I=1 Si Si

Ai−1 Ai B S

z = 0 ! " # Oz

S G

Oz $ Λ

z = 0 % (0, 0, 0)

Oz " Oxz

Oz "

& '

() * ( &

ΓG " +(, $ " ()-

(a, dr) = 0

+.,

Λ G &

+., Λ '

Λ S G

" /
G 0 /
!	!!		!!
	(a, dr) =	(rotνa,) dS =
			(0,ν) dS = 0.

/ +., "

1 / + , +(, +-, % " 22 %

3 +-, +

4 , 3 + , +(,

" +

a ! % #, 5" + ,

" +

a %

6 " + , +(, "

+-, %

+ ,

+ ( ,



					∞
			a0	+ ak cos kx + bk sin kx (ak, bk R)
2				+ ak cos kx + bk sin kx (ak, bk R)
2				k=1
				k=1


	1	, cos x,			sin x,	cos 2x, sin 2x, cos 3x,	sin 3x, . . .
2		, cos x,			sin x,	cos 2x, sin 2x, cos 3x,	sin 3x, . . .
2

! π

	cos kx cos mx dx = 0,	k, m N0, k = m,
!−ππ		k, m N,	k = m,
!	sin kx sin mx dx = 0,
	−π
	π	k N0,	m N.
	cos kx sin mx dx = 0,
	−π

				! π
!	π			! π
	cos2 kx dx =			sin2 kx dx = π, k N.
	−π			−π
				∞
		a0		∞
	f (x) =	a0
			+	ak cos kx + bk sin kx
		2	+	ak cos kx + bk sin kx
				k=1

§
	!
	!		π
a0 =	1	!−π f (x) dx,

	π
	1		π
ak =	1	!−π f (x) cos kx dx,		!

	π
	1		π
bk =	1		f (x) sin kx dx, k N.
bk =	π		f (x) sin kx dx, k N.
	π		−π

" # $ f %

[−π, π] & ' % ( & ) % cos nx

sin nx n N * + & (

# [−π, π] & % (

% # #

!,π	! π
f (x) cos nx dx =	an cos2 nx dx = πan,
!−ππ	!−ππ
f (x) sin nx dx =	bn sin2 nx dx = πbn,
−π	−π

% - #- ! * (

! % %

. (

- 2π(% % ,

# * /

/ & 2π(% (

* # f 0 2π(% (

+- [−π, π] (

/ ak bk % ,

f / ak bk 0

		∞
f (x)	a0	+ ak cos kx + bk sin kx,

2		k=1

" # $ %

& '
	∞
	sin kx
			ε > 0 !
	k=1	k1+ε

( 2π) f * )

' ) * [a, a+2π] +

2π * * ' * )

[b, b + 2π]

! b+2π	! a+2π
f (x) dx =	f (x) dx.
b	a

, ' *

$ ! )

+ 2π) f $ + )

- . ' [−π, π]

' * [a, a + 2π]!

/' + $ [a − π, a + π]

* ' $

*- a − π a + π

' $

2π) ! & )

- - )

. 2π) ' $

! & - '

f 2π [−π, π]!

+ * + -

! ! 0 *

' f -

f + ! ' )

f !

(a, b)

	! b
! b	! b
lim	f (x) cos λx dx = lim f (x) sin λx dx = 0.
λ→∞ a	λ→∞ a

1 ! 2 ' *3 * )

(a, b) = (−∞, +∞)

f $ (−∞, +∞)\(a, b)! & #4!5!4 f + )

! !! +∞
\|f (x + h) − f (x)\| dx → 0 h → 0.	4
−∞

( 3 ' x x + πλ

! +∞

+∞

I(λ)

f (x) cos λx dx = −

x +

cos λx dx =

−∞

+∞

= −

x +

− f (x)

cos λx dx.

−∞

+∞

|I(λ)|

−∞ f

x +

− f (x)

→ 0

λ → ∞.

" +∞

1 ' −∞ f (x) sin λx dx )

' !

ak bk

[−π, π]

k → ∞

2π f

[−π, π]

		n
Sn(x; f )	a0	+ ak cos kx + bk sin kx

2		k=1

! n N f

! " " ! # $% &


' !"					1
	1	n	sin n +			x
Dn(x)					2
		+ k=1 cos kx =		x			.	(
	2		2 sin
				2

! ! x = 2mπ# m Z# !

x → 2mπ !

! ) x = 2mπ

Dn(x) =

2 sin

sin

+ k=1

cos kx

2 sin

sin

+ sin

k +

x − sin

k −

2 sin

k=1

sin

n +

2 sin

* + & ( ! # ! #

2π

$ "$ !$ $

max |Dn(x)| = Dn(0) = n +

x R

Dn(x) dx =

−π Dn(x) dx = 1.

§
Sn(x; f )# ! ! !	"

! -! & ! .

Sn(x; f ) =

!π

f (t) dt +

f (t)(cos kt cos kx + sin kt sin kx) dt =

2π

k=1

−π

!π

f (t)

+ cos k(t − x)

dt =

−π

k=1

1 !π

Dn(t − x)f (t) dt.

−π

0 ! !

t t + x

! #

!π

1 !0

!π

Sn(x; f ) = π

Dn(t)f (x+t) dt =

−π

!π Dn(t)[f (x + t) + f (x − t)] dt.

! δ (0, π) ! $

! !

! & !2

!δ !π

Sn(x; f ) =

f (x + t) + f (x − t)

sin n +

dt.

0 δ

2 sin 2

-& !

2 sin

> 0# -

0 ! # 4 !$ n → ∞ 5 & #

# ) ! .

2π f

[−π, π] x0 R 0 < δ < π

1 ! δ f (x0

lim Sn(x0; f ),

n→∞

− t)

+ t) + f (x0

lim

sin

n +

t dt

n→∞ π 0

2 sin

f x0

(x0 −δ, x0 + δ) "

x0 f

! ! " "#

f+(x0) =	lim	f (x0 + h) − f (x0 + 0)	,
		h
	h→0+0
f−(x0) =	lim	f (x0 − h) − f (x0 − 0)	.
		−h
	h→0+0

$ x0

% f & f (x0 + 0)& f (x0 − 0)&

f+(x0)& f−(x0) ' ( f (x0) =	f (x0 − 0) + f (x0 + 0)
	2	&

x0 % f

' % f

) *& ( % ) *

' f x0 %

& x0

2π f

[−π, π] x0 # $

%	!	f	x0
f (x0 − 0) + f (x0 + 0)		& ' ( x0	#
2

f ) f

x0* ! x0 f (x0)

+ x0

f , )-. /* )-. 0*

f (x0 − 0) + f (x0 + 0) Sn(x0; f ) − 2 =

Dn(t)[f (x0 + t) + f (x0 − t)] dt−

−

f (x0 + 0) + f (x0 − 0)

Dn(t) dt =

1 !

π f (x0 + t) − f (x0 + 0)

f (x0 − t) − f (x0 − 0)

sin n +

t dt. ).*

2 sin

+ !

& % t

= 0& 1

2 sin

[0, π]

% %

+ !

f (x0 + t) − f (x0 + 0)

t! %

[0, π] %& % &

t → 0 + 0 % $ 2 21

% ! " ! "

&	2
2 sin n +	1	t ! %
	2
! [0, π]

3 ! %

n → ∞

Sn(x0	; f ) →	f (x0 − 0) + f (x0 + 0)	n → ∞.

	2

f+(x0) f−(x0)

\|f (x0 + h) − f (x0 + 0)\| M hα,	h (0, δ),
\|f (x0 − h) − f (x0 − 0)\| M hα,	h (0, δ)	"!
\|f (x0 − h) − f (x0 − 0)\| M hα,	h (0, δ)

# α (0, 1] δ > 0 M > 0 $ "!

α = 1 %

2π f

[−π, π]

f (x0) f x0 f (x0)

" & R 2π

' ( ) #

% * ' x0 +

2π # # R ( ) '

* # # ' ) '

# * '

' # , '

- 2π ( ) f

. [−π, π]
' x0 # .
! π
\|f (x0	+ t) + f (x0 − t) − 2f (x0)\|	dt	.

0		t

/ . * ( ) f x0 # f (x0)

0 - ( ) f

. ' 2π

[−π, π] , # ) # %

( ) f 2π ' ( )

# % #

) # ! - . x0 = −π

. ' . . .

f+(−π) f−(π) * ( ) f

# x0 = −π	f (−π + 0) + f (π − 0)
# x0 = −π	2
	2
1 . 2 # *
x0 = π		π − x
& ' %	* ( ) f (x) =	π − x

			2
x [0, 2π]			2
x [0, 2π]
- ˜		˜

f 3 R → R 4 2π ( ) f (x) =

= f (x) 0 < x < 2π f (0) = 0 5 (

( ) * ( ) ˜

f (

"6 "! ( #

. .

ak = 0 k N0 %

( ) f˜ 7 .

! 2π π − x

bk =

sin kx dx =

2π

π − x cos kx

= −

−

cos kx dx =

2π

2πk 0

x R . '

' ( ) f˜ +

∞

sin kx

x R.

f (x) =

k=1

7 * ˜

f ( ) f f

(0, 2π) f ) #

* ) f

[a, b]

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2922 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.08.201977.21 Кб9Лето 10 класс.docx
#
03.06.201562.17 Кб12Линал экзамен.pdf
#
09.11.20191.25 Mб39Логарифм. нерав.9.doc
#
17.07.20192.02 Mб6ман.docx
#
03.06.2015241.78 Кб40Массивы.pdf
#
03.06.201516.85 Mб31матан Бесов - весь 2012.pdf
#
03.06.201584.55 Кб14МатСтатистика. Программа.pdf
#
27.03.20165.39 Mб58Мессиа том 1.pdf
#
08.11.2018434.18 Кб17Метод.реком.по самост.работе -МПОСР-2011.doc
#
27.03.2016656.27 Кб115Методические указания. РТ цепи и сигналы. Озерский.pdf
#
27.11.2019594.94 Кб13Методичка по Деталям машин и ОК исправленная.doc