Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

матан Бесов - весь 2012

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

16.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2916 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

z0 = 0

∞

anzn.

n=0

∞

√

q = lim

n bn

n→∞

∞

◦

q < 1

∞

#◦ q > 1

% & % '

(

|anzn|

= |z|

|an|

|z|

q =

lim

n→∞

! R ) * q =

|z|

" ' %+ %

|z| < R

◦

#◦

|z| > R

anzn

n → ∞

$ |z|

= R ! "

! -

, # . / -

! & !

0 #

1 #

- 0 '

	R = sup{r : r 0, lim \|an\|rn = 0}.
			n→∞

	∞
2	zn		R = 1
	1	n
z			= 1

- \|z\| = 1 3!
4 5 4 6 z = −1
+ % 7 '& " 4
∞
zn
# 2		R = 1 -' ! "
	n2
1
!
∞
8 2 zn R = 1 -' ! "
!1

0 < r < R	! {z C: \|z\| r}
"
1 \|a			n	zn\| \|a \|rn \|z\| r 9
∞			n	n
∞	\|a \|rn *
	\|a \|rn *
'	n
0
'
! {z C: \|z\|		r}
, 8		* ' !

- #

# "

+ !

/ ' - {z

C |z| r} 0 < r < R r

z1 z2 C |z1| < |z2|

◦ z2

◦ z1

z2 z2

◦z2

{z! |z| r} " r

0 < r < |z2|

! " " # R $ " %

◦ |z2| R & " |z1| < R '

◦ |z1| R & " |z2| > R '

◦ 0 < r < |z2| R

( ) " * % %

∞

ak(x − x0)k, x0, x, ak R k N0.

k=0

" + '

, )

- " " " '

" (x0 − R, x0 + R)

. " "

+ % " / " " % " % '

" * ) /

" " " " % 0 % " '

" / " " %


		∞		∞
#$		ak(x − x0)k		kak(x −
− x0)k−1 "		k=0		k=1
− x0)k−1 "
! " " # R R			$ " % '
" " %			1
	∞			∞
	kak(x − x0)k % "			kak(x −
	k=1			k=1

−x0)k−1 " " % R .

√

= R.

lim

|kak|

lim k

lim

k |ak|

lim

k |ak|

k→∞

R %

∞

|x − x0| < R,

ak(x − x0)k f (x),

k=0

ak R k N0 R > 0

" |x − x0| < R

◦ f " $ " $

"$ && ' 2

◦ x (x0 − R, x0 + R)

∞

− x0)k+1

f (t) dt =

k=0

k + 1

" ( "



◦

	R

3◦

1◦ 2◦ 3◦

" " #$

% & '

( ( )


◦	*$ f z0
	C& + ρ > 0 #$ f +

	∞
		ak(z − z0)k,	z C,	\|z − z0\| < ρ.
	f (z) =	ak(z − z0)k,	z C,	\|z − z0\| < ρ.
	k=0
	, ' ' z0 #$
!◦	' ' A(z0)
!◦	*$ f
	x0 R& + ρ > 0 #
	$ f +
	∞
		ak(x − x0)k,	x R,	\|x − x0\| < ρ
	f (x) =	ak(x − x0)k,	x R,	\|x − x0\| < ρ	!
	k=0	(##$ ak k N0 ,
	"	(##$ ak k N0 ,

#$ ' ' RA(x0)R - ) ./0123

4 x0 R& +

+ ' #$

f (x) = g(x) + ih(x), x U (x0), g, h : U (x0) → R.

5 )

f (k)(x0) g(k)(x0) + ih(k)(x0), k N,

+ g(k)(x0)& h(k)(x0) "

RA(x0)

f RA(x0) f !

ak =	f (k)(x0)	k N0.
	k!

6			7

+ ' ##$ #$)

+ f (k)(x0) + " + ' ) ##$ ! & ' 8

f (k)(x0) = k!ak.

9 ! (##$

#$ f 5 & '

#$ f RA(x0) + + !

+ & (

8 5

A(z0) f

5 !

4 & ' (##$

' + #$ f

4 f + & z0 = = x0 + iy0& z = x + iy 9 + y = y0 5 )

∞

f (x + iy0) = ak(x − x0)k, \|x − x0\| < ρ.	:
k=0

4 f (x + iy0) = g(x) + ih(x)& ak = bk + ick& ) # $ g& h ' & ak, bk R 9

|x − x0| < ρ

∞	∞

g(x) =	bk(x − x0)k, h(x) = ck(x − x0)k.
k=0	k=0

! "#$ % & '

bk ck ' g h

$ ( ' ak = bk + ick

' ) f $

* ' f + U (x0) → R )

x0 R x0

$ $ , '

) x0 )

∞
f (k)(x0)		(x − x0)k	&
	k!

k=0

f x0$

- . ' f +

∞

U (x0) → R ak(x − x0)k )

k=0

x0$ / &0$1$&

' f 2

3 ) & ) x0$ - ' ' f x0

, 4 , 3 ) &

' f

) x0$ 5 .

'
		1
	e−		x = 0,
ϕ(x) =		x2
	0		x = 0.

x = 0 ' ϕ

$ 6 , .

P 1 e−x12 4 P 7 ) 4

, n N

		ϕ(n)(x) → 0		x → 0.
8			n N.
		ϕ(n)(0) = 0			1
. n = 1$				( 9
9 ) : 4 .
	ϕ(x) − ϕ(0)	= ϕ (θx) → 0	x → 0, 4		0 < θ < 1,

	x

ϕ (0) = 0$ )

' 1$ / ' ϕ , '

x0 = 0$ % ' 2 3 ) ;

4 $ ( ϕ(x)

) 4 3 ) x = 0$

f (n)(x0) n N$ < . '

f 3 ) +


			f (x) = Sn(x) + rn(x),		=
	n	(k)	(x0)
4 Sn(x) =	f		(x0)	(x−x0)k 7 4 3 ) rn(x)
4 Sn(x) =	k=0	k!		(x−x0)k 7 4 3 ) rn(x)
	k=0	k!

7 ) 3 )$ < Sn(x)

) ) 3 ) ' f $

4 x

	∞
f (x) =	f (k)(x0)		(x − x0)k
		k!

	k=0

[Sn(x) → f (x) n → ∞] [rn(x) → 0 n → ∞].

3 , . .

' f ) $ $ 3 )

) x rn(x) → 0 n → ∞$

f (n+1) f

x0 x

rn(x) =

(x − t)nf (n+1)(t) dt,

rn(x) =

f (n+1)(x0 + θ(x − x0))

(x − x0)n+1,

0 < θ < 1,

(n + 1)!

rn(x) =

f (n+1)(x0 + θ(x − x0))

(1 − θ)n(x − x0)n+1,

0 < θ < 1.

! " # !$ %$ x >

> x0 & " $ " "

! x

f (x) =

f (k)(x0)

(x − x0)k +

(x − t)nf (n+1)(t) dt. '

k=0

# ( )

# n = 0

' "$

" *!+ ,

-) .

! x

f (x) − f (x0) =

f (t) dt.

# /$ ' " n − 1 "

! x

n−1

f (x) =

f (k)(x0)

(x − x0)k +

(x − t)n−1f (n)(t) dt.

(n −

1)! x0

k=0

# " " 0 1!+ 2

" .

(x − t)n−1f (n)(t) dt =

(n − 1)!

t=x

(n)

(n+1)

= −

(t)(x − t)

(x − t)

(t) dt =

t=x0

x0!

f (n)(x0)(x − x0)n

(x − t)nf (n+1)(t) dt.

# " " / " 0$ 3

! "

! + 4 5$ "$

/ ! (x−t)n ! " /

rn(x) =	f (n+1)(x0 + θ(x − x0))		! x(x − t)ndt =

	n!		x0
	=	f (n+1)(x0 + θ(x − x0))		(x − x0)n+1.
			(n + 1)!

! "

/ ! + $ "

6 7 " ! 2 )

rn(x) = f (n+1)(x0 + θ(x − x0)) [x − (x0 + θ(x − x0))]n(x − x0), n!

8 4 9 /

!: 5 5$ %

1 3 / 3 ! ) f 2

!$ " f (n) "

[x0, x] [x, x0] $ f (n+1) 1 " 2

" (x0, x) (x, x0)

# % " " / " 3 3

) " 4$ x0 = 0 " x0 = 0

E R

∞

f (k)(0)

f (x) =

x .

k=0

f (x) = ex

∞

ex =

= 1 +

+ . . .

x (−∞, +∞). !"

k=0

# $

	eθx

rn(x) =		xn+1,

	(n + 1)!

x (−∞, +∞)

\|rn(x)\|	1	e\|x\|\|x\|n+1 → 0 n → ∞.
	(n + 1)!

# !" % &' () ( ( !"

* * !" +									R = +∞
f (x) = sin x
∞	(−1)k				x3		x5
			2k+1	= x −
sin x =		x				+		− . . .

k=0	(2k + 1)!				3!		5!

x (−∞, +∞).


rn(x) = ±	1	sin θx	xn+1,
rn(x) = ±	(n + 1)!	cos θx	xn+1,
	(n + 1)!	cos θx

x (−∞, +∞)

\|rn(x)\|	\|x\|n+1	→ 0 n → ∞.
	(n + 1)!

!" # $

% % & R = +∞


§
f (x) = cos x			" $
∞
cos x =	(−1)k	x2k = 1 −		x2	+	x4	− . . .
cos x =		x2k = 1 −			+		− . . .
k=0 (2k)!			2!		4!

x (−∞, +∞)

$ ' ( $

)$ % % &

R = +∞

f (x) = ln(1 + x) k N

	(k)	(x) =	(−1)k−1(k − 1)!			,		f (k)(0)		(−1)k−1
f									=		.
f				(1 + x)k					=		.
				(1 + x)k				k!		k
* '				∞
				∞
	ln(1 + x) =				(−1)k−1		xk	x (−1, +1]. +
	ln(1 + x) =						xk	x (−1, +1]. +
					k
				k=1

* " 0 x 1

rn(x) =

(−1)nxn+1

, |rn(x)|

→ 0 n → ∞.

n+1

n + 1

(n + 1)(1 + θx)

" ' rn 0 n → ∞

[0,1]

* " " −1 < x < 0

(1 − θ)n

n+1

rn(x) = (−1)

0 < θ < 1.

n+1

(1 + θx)

. '

1 − θ

0 <

1 − θ|x|

< 1,

1 + θx

|x|n+1

|rn(x)|

1 − θ

|x|n+1

→ 0 (n → ∞).

1 + θx

1 − |x|

x = −1

ln(1 + x)

x (−1, +1]

x = −1 ! R = 1

" [0, 1]

" # ! $% [−1+ + δ, 1 −δ] δ > 0 &

$% [a, 1] (−1, 1]

		f (x) = (1 + x)α α R \ N0
f !
' f (n)(x) = α(α − 1) . . .(α − n + 1)(1 + x)α−n
n N '
	∞		α(α−1) . . .(α−n+1)
α			α(α−1) . . .(α−n+1)		n		\|x\| < 1. (
(1+x) = 1+				x
(1+x) = 1+				x
	n=1		n!
)						(	R = 1

! * + % ,

%$" # ! -

( ,

' x = 0 (

' * 0 < |x| < 1 . ," , -"

! * "

rn(x) =

(x − t)nf (n+1)(t) dt =

α(α − 1) . . .(α − n)

! x

(x − t)n(1 + t)α−n−1dt.

|x − t|

" x

|x − t|n(1 + t)α−n−1

|rn+1(x)|

|α − n − 1|

1 + t

|rn(x)|

n + 1

0x |x − t|n(1 + t)α−n−1dt .

)

1 −

||xt||

|x − t|

|x| − |t|

1 − |t|

= |x|

1 − |t|

|x|.

1 + t

/ * x

ε > 0 0 n(ε) N n n(ε)

\|rn+1(x)\|	\|n + 1 − α\|		\|x\| (1 + ε)\|x\| = q < 1.
\|rn(x)\|		n + 1

|rn(x)| $ n → ∞

%,$0 " ! " !

- % (

. , , α = −1 ,

( 1

∞

k k

(−1)

x ,

1 − x

1 + x

k=0

ex − e−x

∞

sh x =

x2k+1

= k=0

(2k + 1)!

ex + e−x

∞

ch x =

x2k

(2k)!

k=0

∞

xk (|x| < 1).

k=0

x (−∞, +∞). 2

, , #

-" ,

0 , 3 , ,

$ -" sh x ch x

, &

' % , 4 , "

, , , * ,

" 5 6 2 7 , /

4 , !

, , ! " !

	1		= 1 − x + x2 − x3 + . . . , \|x\| < 1,
	1 + x		= 1 − x + x2 − x3 + . . . , \|x\| < 1,
	1 + x

|x| < 1

	! x	dt	2		3
ln(1 + x) =			= x −	x	+	x	− . . .
	0 1 + t
			2		3
arcsin x							!

" #

√

−

$ !

(arcsin x)

= (1

− x )

1 − x2

x −x2&

§ ez sin z cos z

' z C

∞

ez k=0

= 1 +

+ . . .

∞

(−1)k

sin z

z2k+1

= z −

− . . .

k=0 (2k + 1)!

∞

(−1)k

= 1 −

− . . .

cos z

k=0

(2k)!

( ez $ sin z$ cos z

! "

) !

* z C$ #

* ! ' * &

!$ ! ! ! $ $ % ! ) ! R = +∞ , " ) !

(−∞, +∞) ! $ $ % z = x + i0$ &

" -&%&.$ -&%& /$ -&%& &

( ez $ sin z$ cos z z = x !

ex$ sin x$ cos x R → R&

0 " !# ") & 1

ez1 ez2 = ez1+z2 z1, z2 C. 2

§ ez sin z cos z

1 * ) ! !"

3&%&%$

* ) ! !

3&%&$ $

∞

zn−k

= n=0 k=0

(n − k)!

∞

+ z2)n

(z1

(n − k)!k!

z1n−kz2k =

= ez1+z2 .

k=0

n=0

!" !$

eiz = cos z + i sin z, z C,

eiz + e−iz

eiz − e−iz

cos z =

sin z =

, z C. 5

( " 3$ 5 " &

4 5 z = 0+iy !$

sin z$ cos z "

4 5 2 ! * *

") )

sin(z1	+ z2) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2,	z1, z2	C,
cos(z1	+ z2) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2,	z1, z2	C.

4 2$ 3 !$ z = x + iy

	ez = exeiy = ex(cos y + i sin y).				-
6 $ x = 0					z
6 $ x = 0
iy	= cos y + i sin y.	7	iy
iy		7	iy
e				r
8 !$ $ !				ϕ
$ ez 9
$ ez 9			0		x
! ! 2πi&			0		x
! ! 2πi&				& -&2
				& -&2
6 z = x + iy !
!	z = r(cos ϕ + i sin ϕ),
	z = r(cos ϕ + i sin ϕ),				.


		= \|z\|
r =	x2 + y2	= \|z\|

z ϕ z = 0

z ϕ [0, 2π)

ϕ arg z 2π !

cos ϕ sin ϕ "#$ ϕ ϕ = = Arg z

Arg z = arg z + 2kπ

k Z Arg z

z arg z

% "#$ z = 0

% "#$ &

z	' ( & ")$ *
z+
z = reiϕ,	r = \|z\|, ϕ = Arg z.	",-$

. .

zj = rj eiϕj = rj (cos ϕj + i sin ϕj ) j = 1, 2 /"0$ ")$

z1z2 = r1r2ei(ϕ1+ϕ2) = r1r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)),

z1		=	r1		ei(ϕ1−ϕ2) =	r1		(cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)),	z2 = 0.
	z		r	2		r	2
2
		z = reiϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ) n N "0$

					zn = rneinϕ = rn(cos nϕ + i sin nϕ).				",,$
!

√

n 2 z n z &

§ ez sin z cos z

w wn = z 1

z = reiϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ), w = ρeiψ = ρ(cos ψ + i sin ψ),

r = ρn ϕ = nψ ",,$

√

n z = n rei

n r

cos

+ i sin

2 ϕ = Arg z = arg z + 2kπ = ϕ0

+ 2kπ

cos

= cos

ϕ0

2kπ

sin

= sin

ϕ0

2kπ

& . k = 0 ,

n − 1

z = 0 ( & n .

√

n z C

& ! - n |z|

§ Rn n N

n x = = (x1, . . . , xn) x1


n

\|x − y\|		(xi − yi)2

i=1

x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) Rn

! " Rn #$# %

n = 1 # n = 2 &" n = 3

' $ $ ( %

' Rn

) * + %

,- - ,-.

/ P $# %

n	n
1	1
(ai, bi) P	[ai, bi] Rn,
i=1	i=1

1 ai, bi R ai bi i = 1, . . . , n

! n = 1 P %

n = 2 ai < bi i = 1, 2 P 2 1 %

# 1

/ $ μ = = 0

/ 1 %

	n
	1
	μP (bi − ai).	-

i=1

3 P

2 1 μP 4 *

$#		04
◦	5 μP	04
		%
-◦		m
-◦	P =	Pk P, Pi 2

k=1

Pi ∩ Pk = i = k

μP = μPk.

k=1

/ A Rn "

& 1

6 1 $

7 8 %

) *

9 1

: A B 2 &

A B = (A \ B) B,

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2916 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.08.201977.21 Кб9Лето 10 класс.docx
#
03.06.201562.17 Кб12Линал экзамен.pdf
#
09.11.20191.25 Mб39Логарифм. нерав.9.doc
#
17.07.20192.02 Mб6ман.docx
#
03.06.2015241.78 Кб40Массивы.pdf
#
03.06.201516.85 Mб31матан Бесов - весь 2012.pdf
#
03.06.201584.55 Кб14МатСтатистика. Программа.pdf
#
27.03.20165.39 Mб57Мессиа том 1.pdf
#
08.11.2018434.18 Кб17Метод.реком.по самост.работе -МПОСР-2011.doc
#
27.03.2016656.27 Кб115Методические указания. РТ цепи и сигналы. Озерский.pdf
#
27.11.2019594.94 Кб13Методичка по Деталям машин и ОК исправленная.doc