Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

P2_9_2012.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

547.62 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

2012-2013 уч. год, № 2, 9 кл. Физика. Кинематика

§6. Примеры движения тела. Методы решения задач

Рассмотрим некоторые характерные примеры движения тела, знание которых будет полезно при дальнейшем изучении физики.

1. Равномерное прямолинейное движение тела. При равномерном прямолинейном движении тело совершает равные перемещения r за одинаковые промежутки времени t. Иными словами, скорость v те-

ла не зависит от времени и остаётся постоянной в процессе движения:

	v = const.	(6)
При этом зависимость r (t) имеет вид:
	r (t) = rr + vt,	(7)
	0
где rr − радиус-вектор тела в начальный момент времени t = 0. В этой
0	замечание о начальных условиях, сделанное на стр. 7 и
связи вспомнимr	замечание о начальных условиях, сделанное на стр. 7 и
стр. 8. Вектор r0	здесь является тем начальным условием, которое по-
зволяет однозначно определить радиус-вектор r		тела в любой момент

времени в процессе движения.

Векторное уравнение (7) равносильно системе двух скалярных уравнений, выражающих зависимость от времени t координат x и y дви-

жущегося тела:

	x(t) = x + v			t,
		0	x		(8)
					(8)
где	y(t) = y0 + vyt,					а
где	x0 и y0 − начальные	координаты тела в момент времени t =0,				а
vx	и vy − проекции вектора скорости vr				на координатные оси Ox	и

y
y(t)	y		r(t)
y0			r(t)
y0	r0
	r0	x
		x
O		x0	x(t) x
		Рис. 9	Рис. 10

Oy соответственно. Траектория равномерного прямолинейного движе-

ния тела графически представляет собой отрезок прямой линии (рис. 9), тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен отношению

проекций скорости на оси координат: tgα = vy / vx . Аналитическое уравнение траектории, т. е. зависимость y(x), легко получить, исклю-

2012-2013 уч. год, № 2, 9 кл. Физика. Кинематика

чив параметр t из системы уравнений (8):


y(x) =	vy	(x − x ) + y .			(9)
y(x) =		(x − x ) + y .			(9)
0			0
	vx
Пример 3. Равномерное прямолинейное движение тела на плоско-
сти xOy описывается уравнениями:			x(t) =6	+3t, y(t) = 4t	(величины

измерены в СИ). Запишите уравнение траектории тела. Изобразите графически зависимость модуля вектора скорости от времени v(t). Оп-

ределите путь, пройденный телом в течение первых пяти секунд движения.

Решение. Сравнивая уравнения движения, представленные в условии задачи, с системой уравнений (8), находим:

x0 =6 м, y0 =0, vx =3 м/c, vy = 4 м/c.

Уравнение траектории получим, подставив эти значения в общее

уравнение (9): y(x) =	4	(x −6)	или		y(x) =		4	x −8.

3						3
Модуль v скорости тела определим, зная vx									и vy :
		v =	vx	2 + vy		2 =5 м/c.
График зависимости v(t) представлен на рис. 10.											S
При равномерном прямолинейном движении пройденный путь
численно равен модулю вектора					r перемещения тела. Вектор r						для
такого движения найдём из уравнения (7):									r = rr(t) −rr = vt.	Его мо-
									0
дуль равен: r = vt. Таким образом, при равномерном движении путь,
пройденный телом в течение времени t,									определяется по	формуле

S = vt, т. е. численно равен площади прямоугольника под графиком зависимости v(t). Этот вывод можно обобщить и на случай неравномерного движения.

В нашем примере путь равен площади прямоугольника, заштрихо-

ванного на рис. 10: S = vt =5 мc 5 c = 25 м.

Пример 4. Координаты тела при равномерном прямолинейном дви-

жении на плоскости	xOy	за время t = 2 c	изменились от начальных
значений x0 =5 м, y0	=7 м	до значений	x = −3 м и y =1 м. Найдите

модуль скорости тела. Запишите уравнение траектории тела. Изобразите графически траекторию тела и направление вектора его скорости. Постройте графики зависимости координат тела от времени.

Решение. Проекции скорости на оси координат можно найти с помощью уравнений движения (8) и численных данных задачи:

2012-2013 уч. год, № 2, 9 кл. Физика. Кинематика

vx =

x − x0

−3 −5

= −4 м/c,

vy =

y − y0

1 −7

= −3 м/c.

Тогда модуль

скорости

v = vx

2 + vy

2 =5м/c.

Уравнение траектории

y(x) с учётом (9) и численных данных задачи имеет вид:

y(x) =	3	(x −5)	+7,	или	y(x) =	3	x +	13	.
	4					4		4

Положение тела в начальный и конечный моменты времени (точки A и B ), его траектория и направление скорости изображены на рис. 11.

Зависимость координат тела от времени легко найти аналитически, подставляя начальные условия и значения vx и vy в общие уравнения

движения (8): x(t) =5 −4t, y(t) =7 −3t. Графически эти зависимости представлены в виде отрезков прямых на рис. 12.

		y,M					A		7			y; x


	7														y(t)

						v
									5



B									1					x(t)





				1


									0							2 t ,C
3	0				5			x,M	0		1
										3




			Рис. 11										Рис. 12

Заметим, что тангенсы углов наклона отрезков прямых на рис. 12 численно равны коэффициентам при t в соответствующих уравнениях

x(t) и y(t), т. е. значениям vx и vy : tgα = −4, tgβ = −3.

2. Неравномерное движение тела. Для неравномерного движения характерно то, что с течением времени изменяется скорость движущегося тела, а в общем случае и его ускорение. В качестве примера может служить движение, при котором тело проходит различные участки своего пути с разной скоростью. Такое движение принято характеризовать, прежде всего, средней путевой скоростью. Причём прилагательное «путевая» в условиях задач часто опускается.

2012-2013 уч. год, № 2, 9 кл. Физика. Кинематика

Пример 5. Любитель бега трусцой пробежал половину пути со скоростью v1 =10 км/ч. Затем половину оставшегося времени бежал со

скоростью v2 =8 км/ч, а потом до конца пути шёл пешком со скоростью v3 = 4 км/ч. Определить среднюю скорость движения бегуна.

Решение. Из смысла условия задачи следует, что здесь речь идёт о

средней	путевой		скорости. Разобьём весь путь						S	на	три участка
S1 , S2	и	S3 .	Время движения на каждом участке обозначим соот-
ветственно		t1 ,	t2 и	t3 .	Средняя скорость бегуна согласно определе-
нию, выраженному формулой(3), будет равна:
				v		= S1 + S2 + S3 .
				ср		t1 + t2 +		t3
						t1 + t2 +		t3
По	условию		задачи			S1 =	S / 2,	S2 + S3 =	S / 2.		Поскольку
S1 = v1	t1 ,	S2 = v2		t2 ,	S3 = v3		t3 и, учитывая, что			t2 =	t3 , найдём

время движения на отдельных участках:

= S3

t = S1

;

= S2 =

;

2v1

2(v2 + v3 )

2(v2

+ v3 )

Подставляя эти значения в выражение для vср, получим:

vср =

2v1 (v2 + v3 )

= 7,5 км/ч.

2v1 + v2 + v3

+ 2(v

+ v

) + 2(v

+ v

)

Заметим, что иногда учащиеся подсчитывают среднюю путевую скорость движения по формуле vср =(v1 + v2 +... + vn ) / n, где vi − скорость движения на i -м участке, n − число участков пути. Аналогично поступают и с вектором средней скорости vср. Следует иметь в виду,

что такой расчёт в общем случае является ошибочным.

Другим характерным примером неравномерного движения служит так называемое равнопеременное движение, которое целесообразно рассмотреть подробно, не выходя, при этом, за рамки школьной программы.

3. Равнопеременное движение. Равнопеременным называется такое неравномерное движение, при котором скорость v за любые равные промежутки времени t изменяется на одинаковую величину v. В

этом случае ускорение a тела не зависит от времени и остаётся постоянным в процессе движения:

(при этом vr	a =const.	(10)
	≠ const и траектория движения не обязательно прямоли-

2012-2013 уч. год, № 2, 9 кл. Физика. Кинематика

нейная).			тела изменяется с те-
При равнопеременном движении скорость v			тела изменяется с те-
чением времени по закону	r	r
	v(t) = v0	+at,	(11)

где vr0 − скорость тела в начальный момент времени t =0.

В свою очередь, зависимость r (t) имеет вид:

r	r	r		r
				at2
r (t) = r		+ v	t +		.	(12)

	0	0		2
						Вновь заметим, что
где rr0 − начальный радиус-вектор тела при t =0.
величины vr0 и r0 представляют собой начальные условия, позволяю-

щие в любой момент времени однозначно определить векторы v и r. При координатном способе описания равнопеременного движения векторным уравнениям (11) и (12) равносильны следующие системы уравнений для проекций скорости и радиус-вектора тела на оси выбранной системы отсчёта. Здесь мы ограничиваемся случаем плоского движения, при котором траектория тела лежит в одной плоскости, сов-

падающей с координатной:

(t) = v

x(t) = x + v

0 x

t +

axt2

0 x

(13)

(14)

(t) = v0 y +ayt.

y(t) = y + v

0 y

где

и y0 − начальные абсцисса и ордината тела (при t =0 ), v0 x

v0 y

− проекции начальной скорости v0

тела на координатные оси, ax

ay − проекции вектора ускорения на оси Ox и Oy соответственно. В

принципе формулы (11) и (12) или равносильные им системы уравнений (13) и (14) позволяют решить любую задачу на движение тела с

постоянным ускорением.

В случае прямолинейного движения тела удобнее одну координатную ось, например ось Ox, совместить с траекторией тела. Тогда для

описания движения будет достаточно одной этой оси, в проекциях на которую векторные уравнения (11) и (12) дают:

v		= v		+a	t,	x = x + v		t +	a	t2	.
	x		0 x				0 x		x

				x		0			2
Если на промежутке времени от 0 до t
							направление движения тела

не изменялось на противоположное, то разность x − x0 текущей и на-

чальной координат тела совпадает с пройденным путём S, следовательно

S = v	t +	a	t2	.
		x

0 x		2
		2

2012-2013 уч. год, № 2, 9 кл. Физика. Кинематика

Эту формулу можно записать по-другому, если подставить в неё время t, выраженное из уравнения vx = v0 x + axt. Это время будет

t = vx −v0 x . ax

Тогда для пути S после несложных преобразований получим

S = vx2 −v0 x2 .

2ax

Удобство этой формулы заключается в том, что она не содержит времени t в явном виде. Вместе с тем надо помнить, что формула получена в предположении о неизменности направления движения тела.

Пример 6. За 2 c прямолинейного равноускоренного движения тело прошло 20 м, увеличив свою скорость в 3 раза. Определите конечную скорость тела. (ЕГЭ, 2005г., уровень B ).

Решение. Пусть за время t = 2 c скорость тела изменилась от v0 до v. Направим координатную ось Ox вдоль траектории тела в сторону движения. Тогда в проекциях на эту ось можно записать v = v0 +at, где

a − модуль ускорения тела. По условию v0 = 13 v и, следовательно,

a =		2	v	.

		3 t
За время t тело, движущееся с таким ускорением, пройдёт путь
S =	v2 −v2
	0				.

			2a			2
С учётом выражений для v0 и a		получим S =					vt. Откуда искомая
						3

скорость v = 32 St . Подставляя сюда значения S = 20 м и t = 2 c, найдём

окончательно v =15 м/ с.

Одним из наиболее наглядных примеров равнопеременного движения является движение тела в поле тяжести Земли, которое мы имеем возможность наблюдать повседневно. Для решения задач в этом случае надо заменить в приведённых выше формулах вектор a на ускорение свободного падения g, сообщаемое силой гравитационного притяже-

ния всякому телу, движущемуся в поле тяжести Земли. Рассмотрим три конкретных случая такого движения.

Пример 7. Движение тела, брошенного вертикально.

Тело бросили с поверхности земли, сообщив ему начальную скорость vr0 , направленную вертикально вверх. Пренебрегая сопротив-

2012-2013 уч. год, № 2, 9 кл. Физика. Кинематика
y	лением воздуха, определите время τ								полёта тела до
H	момента падения на землю; скорость тела в момент па-
g	дения; максимальную высоту H подъёма тела над зем-
g	лёй; время τ1			подъёма тела на максимальную высоту;
v0	путь		S, пройденный телом за время полёта и переме-
O	путь		S, пройденный телом за время полёта и переме-
O	щение тела. Начертите графики зависимости от време-
	щение тела. Начертите графики зависимости от време-
Рис. 13	ни t		вертикальной координаты тела и проекции на вер-
тикальную ось его скорости в процессе полёта.
Решение. Поскольку движение полностью происходит в вертикаль-
ном направлении, то для определения пространственного положения
тела достаточно одной координатной оси Oy. Направим её вертикально
вверх, начало отсчёта O поместим					в точку бросания				(рис. 13). На-
чальные условия		движения тела: y0			=0,		v0 y = v0 .	Проекция ускорения
тела на ось Oy		в отсутствии сопротивления воздуха равна								ay = −g,
т. к. вектор gr	направлен вертикально вниз противоположно									направле-
нию координатной оси. Вторые уравнения систем (13) и (14) с учётом
начальных условий имеют вид:
				vy = v0 − gt,						(15)
				y = v0t −		gt	2			(16)
				y = v0t −		2	.			(16)
						2
Пусть при	t =τ тело упало на землю. В этот								момент y = 0 и
уравнение (16) даёт:			0 = v τ − gτ2 . Откуда для τ					получаем: τ =0 или
			0	2
				2
τ = 2v0 . Значение τ =0 соответствует начальному моменту бросания
g
тела с поверхности земли и для нас интереса не представляет. Следова-
тельно, время полёта тела τ =				2v0 .
				g
Согласно (15), при t =τ имеем: vy						= v0 − gt. Тогда с учётом найден-
ного значения τ		получим		vy = v0 −2v0 = −v0 .				Таким образом, ско-
рость тела в момент падения равна по величине начальной скорости
v0 , но направлена вертикально вниз, её проекция на ось Oy отрица-
тельна.
© 2012, ЗФТШ МФТИ. Чугунов Алексей Юрьевич										17
										17

2012-2013 уч. год, № 2, 9 кл. Физика. Кинематика

Пусть при t =τ1 тело находится в наивысшей точке подъёма. Это значит, что y = H и vy = 0. С учётом этих значений уравнения (15) и

(16) дают: 0 = v0 − gτ1 , H = v0τ1 − gτ212 . Из первого уравнения опреде-

ляем время подъёма тела τ1 = vg0 и, подставляя τ1 во второе уравнение,

найдём H = v02 . 2g

Заметим, что время τ1 подъёма тела на максимальную высоту вдвое меньше времени τ полёта тела: τ = 2τ1.

Путь S, пройденный телом за время полёта, складывается из двух

участков: подъёма до высшей точки траектории и падения с высшей точки траектории на поверхность земли. Очевидно, что длины траекторий движения тела на этих участках одинаковы и, значит, S = 2H. Перемещение тела равно нулю, поскольку начальная и конечная точки траектории тела совпадают.

y			vy
H		v0	tg α= g
		0	1	α	t
					t
O		v0
O	1	t
	Рис. 14		Рис. 15

Зависимость y(t) в соответствии с (16) представляет собой квад-

ратичную функцию, графиком которой, как известно, является парабола (рис. 14). Ветви параболы направлены вниз, т. к. в формуле (16) ко-

эффициент при t2 отрицателен.

Зависимость vy (t) является линейной, и её график представляет со-

бой отрезок прямой линии (рис. 15), тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен коэффициенту при t в формуле (15): tgα = −g.

Пример 8. Движение тела, брошенного горизонтально. Тело бро-

сили с высотыr H над поверхностью земли, сообщив ему начальную скорость v0 , направленную горизонтально (рис. 16). Пренебрегая со-

2012-2013 уч. год, № 2, 9 кл. Физика. Кинематика

противлением воздуха, определите время τ полёта тела до его падения на землю, даль- ность l полёта тела, скорость v тела в мо- мент падения. Выбрав прямоугольную сис- тему координат так, как показано на рис. 16, запишите уравнение траектории движения

тела, начертите графики зависимости от вре-

мени t

координат тела и проекций скорости

тела на координатные оси.

Рис. 16

Решение.

Начало отсчёта

O поместим на поверхности земли под

точкой бросания (рис.

16). Начальные условия движения тела:

x0 =0,

y0 = H , v0x = v0 , v0 y

= 0.

Проекции ускорения тела на оси координат

при отсутствии сопротивления воздуха равны:

ax =0,

ay = −g.

Запишем системы уравнений (13) и (14) с учётом этих значений:

= v

x = v0t,

(17)

(18)

= −gt,

= H −

y = 0, а x = l,

Пусть при t =τ тело упало на землю. Это означает, что

и уравнения

системы

(18)

принимают

вид:

l = v τ,

0 = H −

gτ

Решая их, находим: τ =

l = v0

В свою очередь,

система уравнений (17) даёт: vx = v0 , vy = −gτ.

учётом значения τ

получим vy = − 2gH ,

и модуль скорости v

будет

равен:

v =

2 + vy

2 =

2 +2gH . Направление вектора v определим

с помощью угла α (рис. 16): tgα = vy / vx

= (− 2gH ) / v0 .

Уравнение

y(x)

траектории движения тела получим, исключив па-

раметр

из

системы

(18):

y(x) = −

x2 + H.

Так как y(x)

пред-

2v0

ставляет собой квадратичную функцию, то траекторией движения тела является участок параболы с вершиной в точке бросания. Ветви параболы направлены вниз. Графики, требуемые в условии данного примера, представлены соответственно на рис. 17 и рис. 18.

2012-2013 уч. год, № 2, 9 кл. Физика. Кинематика

y(t)

x(t)

tg =

Рис. 17

2gh

Рис. 18

Пример 9. Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Тело бросили с поверхности земли с на-

чальной скоростью v0 , направленной под

углом α к горизонту (рис. 19). Пренебрегая

vy0

сопротивлением воздуха, определите время

l vx

полёта

тела

до его

падения

на землю,

дальность

полёта тела, скорость тела в мо-

O vx 0

мент падения на землю, максимальную высо-

ту

подъёма

тела

над землей, время τ1

Рис. 19

подъёма тела на максимальную высоту. Запи-

шите уравнение траектории тела.

Решение. Направим оси прямоугольной системы координат, как по-

казано на рис. 19.

Начало отсчёта O поместим в точку бросания. Тогда

начальные условия движения тела таковы:

x0 = 0,

y0 = 0, v0 x = v0cosα,

v0 y

= v0 sinα. При отсутствии сопротивления воздуха ax =0, ay = −g.

С учётом этих значений системы уравнений (13)

и (14) имеют вид:

= v

cosα,

x =

(v0 cosα)t,

(19)

(20)

= v0 sinα − gt

y =

sin

t − gt

(

)

Пусть при t =τ

y =0,

Уравнения

тело упало на землю, тогда:

x =l.

системы (20)

дают: l =(v0 cosα)τ,

0 =(v0 sinα)τ − gτ2

. Откуда нахо-

дим

2v sinα

, l =

2 sin 2α

(Здесь

использовано

равенство

2sinαcosα =sin 2α. )

Из полученного выражения для l

легко определить угол α, при ко-

тором дальность полёта тела будет максимальной. Действительно, ве-

личина

как функция от α принимает максимальное значение в том

случае,

когда

sin 2α =1. Это возможно,

если

2α =90o , т. е. α = 45o.

Модуль скорости тела в момент падения на землю определим с по-

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.201516.35 Mб686ovchinkin.pdf
#
03.06.2015713.17 Кб102P1_10_13.pdf
#
03.06.2015772.96 Кб99P1_11_2012.pdf
#
03.06.2015622.88 Кб88P2_10_13.pdf
#
27.03.2016474.7 Кб100P2_11_2012.pdf
#
03.06.2015547.62 Кб86P2_9_2012.pdf
#
03.06.2015813.07 Кб89P3_10_13.pdf
#
27.03.20161.51 Mб119P3_11_2012.pdf
#
03.06.2015522.9 Кб141P3_8_2010.pdf
#
03.06.2015550.01 Кб72P3_9_2012.pdf
#
27.03.2016506.98 Кб26p41.pdf