TAU-Lektsia_2_3
.pdf
Другой способ вычисления переходной функции основан на формуле разложения, которая определяется следующим образом: если все полюсы
zi (i = 1, 2, ... , n) функции H*(z) (т. е. корни уравнения A*(z) = 0) простые и не равны нулю, то
n |
* |
|
|
|
|
|
B (zi ) |
|
|
|
|
||
h[kT0 ] |
zik 1 |
, |
k 1,2, |
(9.1) |
||
|
||||||
i 1 |
A* (zi ) |
|
|
|
||
где |
A* (z |
) |
dA* (z) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||
|
i |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
z zi |
|
|
|
|
|
|
Начальные значения: h[0] = 0 при m < n и h[0] b0 при m = n. a0
31
Пример 9.2.
имеет вид
Решение.
Определить переходную функцию h[kT0], если z-изображение
H * (z)
В*(z) = 3z + 1
z1 =
(9.1)
3z 1
z2 5z 6
A*(z) = z2 + 5z + 6
A*'(z) = 2z + 5
–2, z2 = –3
n |
* |
|
|
|
|
|
B (zi |
) |
|
|
|
||
h[kT0 ] |
zik 1 |
, |
k 1,2, |
|||
|
|
|||||
i 1 A* (zi ) |
|
|
||||
h[kT ] 5( 2)k 1 |
8( 3)k 1 , |
k 1,2, |
0 |
|
|
Начальное значение h[0] = 0, так как степень числителя меньше степени знаменателя.
32
Если H*(z) имеет кратные полюсы, то полюсу zj кратности kj в формуле разложения соответствует слагаемое, определяемое предельным соотношением
1 |
|
|
|
|
d k j 1 |
|
(z z |
|
k |
|
B* |
(z) |
zk 1 |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
) |
j |
|
|
|
(9.2) |
||||
(k j 1)! |
dz |
k j 1 |
j |
|
* |
|
||||||||||
z |
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
A (z) |
|
|
|
||||
Если среди полюсов H*(z) имеется нулевой полюс (zj = 0), то при вычислении соответствующего этому полюсу слагаемого следует пользоваться формулой (9.2) и в том случае, когда этот полюс является простым.
33
Пример 9.3. Определить переходную функцию h[kT0], если ее z-изображение
имеет вид |
z2 2,5z 1 |
|
|
H * (z) |
|||
z(z 1)2 (z 1) |
|||
|
|||
Решение. |
|
|
|
B*(z) = z2 + 2,5z + 1 |
A*(z) = z(z – l)2(z + 1) |
||
A*'(z) = 4z3 – 3z2 – 2z + l
z1 = 0 – простой корень
z2 = 1 – кратность 2
z3 = – 1 – простой корень
z1 = 0
|
|
|
|
|
|
(9.2) |
|
|
|
|
|
|
||
lim |
|
z |
z2 |
2,5z 1 |
zk 1 |
|
|
1 |
при |
k 1, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1. |
|||||
z(z 1) |
2 |
(z 1) |
при |
|||||||||||
z 0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||
34
z2 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
(9.2) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d |
|
(z 1) |
2 z2 2,5z 1 |
k 1 |
|
lim |
d zk 2,5zk 1 |
zk 2 |
2,25k 3,375 |
||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
z(z 1) |
2 |
(z 1) |
|
z 1 |
|
|||||||||
z 1 |
|
|
|
|
z 1 |
|
|
|
||||||||
|
dz |
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
||||||
z3 = – 1
(9.1)
B* ( 1) ( 1)k 1 0,125( 1)k 1
A* ( 1)
h[T0 ] 1 2,25 3,375 0,125 0
h[kT ] 2,25k 3,375 0,125( 1)k 1 |
, |
k 2,3, |
0 |
|
|
Начальное значение: h[0] = 0. |
|
|
35
9.1.2. Косвенные показатели качества
•корневые
•частотные
•суммарные (аналог интегральных).
Корневым показателем качества является степень устойчивости η*, которая определяется следующим образом:
* min{ ln z }
корни характеристического уравнения
Степень устойчивости является косвенной мерой быстродействия системы.
36
Суммарной квадратической ошибкой называется ряд
J20* eП2 [kT0 ] k 0
eП [kT0 ] e[kT0 ] e [kT0 ]
еп[kТ0] – переходная составляющая ошибки е[kТ0] – ошибка
е∞[kТ0] – установившаяся ошибка (вынужденная составляющая ошибки)
Частотные показатели – запас устойчивости по амплитуде и запас устойчивости по фазе – определяются точно так же, как и в случае непрерывных систем.
37
9.2. Показатели качества в установившемся режиме
Наиболее полной характеристикой качества в установившемся режиме является установившаяся ошибка е∞[kТ0]. Ее можно найти по z-изображению Е*(z) на основе теоремы о граничных значениях:
e [kT0 ] lim(z 1)E* (z)
z 1
Другим показателем качества в установившемся режиме являются коэффициенты ошибки.
38
9.2.1. Коэффициенты ошибки
Переходя к оригиналам, из равенства
E* (z) Weg* (z)G* (z)
по теореме о свертке получим
k
e[kT0 ] eg [(k l)T0 ]g[lT0 ]
l 0
Процесс считается установившимся в текущий момент времени, если входное воздействие начало действовать при t0 . Поэтому, положив в предыдущей формуле начальное l , получим
k |
|
|
|
e [kT0 ] eg |
[(k l)T0 |
]g[lT0 |
] |
l |
|
|
|
или, положив k – l = i, получим |
|
|
|
e [kT0 ] eg [iT0 ]g[(k i)T0 ] (9.11)
i 0
Разложим функцию g(t – τ) в ряд Тейлора в окрестности точки t:
|
|
|
( l ) |
|
|
d |
g(t) |
|
|
l g(t) l |
|
||||
|
|
|
|
|
(l ) |
l |
|
39 |
g(t ) ( 1) |
|
|
|
g(t) |
|
|
|
l! |
dtl |
|||||
l 0 |
|
|
|
||||
Произведем дискретизацию по времени, для чего в полученном разложении |
||||||||||||
положим t = kT0 и τ = iT0 : |
|
|
|
( l ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
g[(k i)T0 ] ( 1)l g[kT0 ] (iT0 )l |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l 0 |
|
|
l! |
|
|
|
|
|
|
|
Подставим это выражение в (9.11) и поменяем порядок суммирования. Тогда |
||||||||||||
получим |
l |
|
|
|
|
|
|
|
l |
( l ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g[kT0 ] |
|
|||
e [kT0 ] ( 1) |
|
eg [iT0 ](iT0 ) |
|
|
|
|
||||||
|
|
l! |
|
|||||||||
l 0 |
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
|
|
|
( l ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e [kT0 ] Cl |
g[kT0 ] |
|
|
(9.12) |
||||||||
|
|
|
l 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
eg |
[kT0 ](iT0 ) |
, |
|
|
l 0,1,2, |
(9.13) |
|||||
Cl ( 1)l |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 0 |
|
|
l! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты Cl характеризуют качество системы в установившемся режиме и называются коэффициентами ошибки.
При этом С0 называют коэффициентом позиционной ошибки,
С1 – коэффициентом скоростной ошибки и
С2 – коэффициентом ошибки по ускорению.
40