2.2. Систематические погрешности

Систематические погрешности делятся на:

• инструментальные, обусловленные конструктивными недостатками измерительных приборов и мер, их неправильной градуировкой или их неисправностью;

• погрешности установки, вызываемые неправильной установкой измерительной аппаратуры и приспособлений, а также отступлением от нормальных условий их работы;

• методические, вызываемые несовершенством выбранного метода или недостаточным знанием особенностей изучаемых величин, применением неточных, эмпирических формул;

• субъективные, зависящие от индивидуальных особенностей экспериментатора.

Систематические погрешности могут быть постоянными, т. е. сохраняющими свой знак и значение в течение всего времени измерений, и изменяющимися по определенному закону – прогрессивные, периодические и более сложные.

Для выявления и исключения систематических погрешностей необходимо предварительно изучить источники погрешностей, провести контрольные проверки мер и измерительных приборов. Использовать поправочные формулы, кривые, таблицы, исключить, если это возможно, источник той или иной погрешности (установить указатель прибора перед проведением измерений в нулевое положение, устранить источники температурных и других влияний), применить специальные приемы измерения.

Одним из приемов является способ замещения, сущность которого

заключается в том, что измерение осуществляют в два этапа: вначале измеряют неизвестную величину и получают А_х + S, где s — абсолютная систематическая погрешность, а затем, ничего не изменяя в измерительной установке, вместо А_х подключают регулируемую меру и подбирают такое значение А + S, при котором достигаются те же показания приборов, что и при измерении А_х Тогда

А_х = (А + S) – S = A.

Другим приемом исключения систематических погрешностей является компенсация погрешности по знаку. Для этого измерения выполняют так, чтобы систематическая погрешность входила в результаты измерения дважды: один раз с одним знаком, другой раз с обратным. Например, А₁ = А_х + S, А₂ = А_х - S, тогда

А_х = (А₁ +А₂)/2

В зависимости от измеряемой величины, закона изменения погрешности, требуемой точности, условий проведения измерений и других причин применяются и другие способы исключения систематических погрешностей: способы противопоставлений, симметричных наблюдений и т. д.

2.3. Случайные погрешности

Законы распределения случайных погрешностей

Случайные погрешности обнаруживают при проведении ряда измерений одной и той же величины. Результаты измерений при этом, как правило, не совпадают между собой, так как из-за суммарного воздействия множества различных факторов, не поддающихся учету, каждое новое измерение дает и новое случайное значение измеряемой величины. При правильном проведении измерений, достаточном их числе и исключении систематических погрешностей и промахов можно утверждать, что истинное значение измеряемой величины не выходит за пределы значений, полученных при этих измерениях. Оно остается неизвестным до тех пор, пока не определено теоретически вероятное значение случайной погрешности.

Пусть величину А измеряли п раз и наблюдали при этом значения а₁, а₂, а₃,…, а_i,…, а_n Случайная абсолютная погрешность единичного измерения определяется разностью

∆_i = а_i – A (2.3)

Графически результаты отдельных измерений представлены на рис. 2.1. При достаточно большом числе п одни и те же погрешности, если они имеют ряд дискретных значений, повторяются и поэтому можно установить относительную частоту (частость) их появления, т. е..

Рис. 2.1. Графическое изображение результатов измерений

отношение числа полученных одинаковых данных m_i к общему числу проведенных измерений п. При продолжении измерений величины А эта частота не изменится, поэтому ее можно считать вероятностью появления погрешности при данных измерениях P(∆_i ) = m_i /n.

Статистическая зависимость вероятности появления случайных погрешностей от их значения называется законом распределения погрешностей. Для дискретных величин этот закон выражается в табличной форме или в виде линейной гистограммы (рис. 2.2). Вероятности появления погрешностей здесь пропорциональны длинам вертикальных линий; изображенные в определенном масштабе, эти линии в сумме дают единицу.

При очень большом числе измерений и высокой точности измерительных приборов погрешности ∆_i могут сколь угодно мало отличаться друг от друга. В этом случае следует рассматривать вероятность появления погрешности в каком-то интервале ∆δ их возможных значений, так как частость появления той или иной конкретной погрешности теряет смысл. Теперь закон распределения погрешностей можно представить в виде таблицы или гистограммы (рис. 2.3), на которой вероятность, изображается площадью, прямоугольника с основанием ∆δ. Общая площадь всей гистограммы соответствует вероятности, равной единице.

Рис. 2.2. Закон распределения дискретных

погрешностей Рис. 2.3. Гистограмма

Для каждого прямоугольника можно найти среднюю плотность вероятности погрешности, если взять отношение вероятности появления погрешности в данном интервале к значению самого интервала. При бесконечном возрастании числа измерений п интервал ∆δ беспредельно сужается и плотность вероятности P₁(∆ ) стремится к некоторому пределу

, (2.4)

где δP – вероятность появления погрешности в интервале от ∆_i до ∆_i +∆δ; ∆δ рассматриваемый интервал. Из выражения (2.4) легко определяется интегральная связь между вероятностью появления погрешности в некотором интервале от ∆₁ до ∆₂ и плотностью вероятности:

(2.5)

Здесь вероятность появления погрешности представляется в аналитической форме как непрерывная функция погрешности.

Некоторые встречающиеся на практике законы распределения погрешностей можно изобразить в виде графиков, приведенных на рис. 2.4. Особый интерес представляет наиболее часто встречающийся нормальный закон (закон Гаусса), основанный на следующих справедливых при большом числе измерений общих статистических закономерностях (аксиомах):

Рис. 2.4. Законы распределения погрешностей:а)

равновероятный, б) линейный, в) параболический,г) нормальный

• погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

• вероятность (частость) появления случайных погрешностей, равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку, одинакова;

• вероятность (частость) появления малых случайных погреш­ностей. больше вероятности появления значительных (малые по­грешности встречаются чаще, чем большие).

Аналитическое выражение плотности вероятности или кривой нормального распределения случайных погрешностей называют формулой Гаусса или формулой ошибок. Эту формулу можно записать в виде :

(2.6)

где е — основание натуральных логарифмов;σ — средняя квадратическая погрешность ряда измерений, определяемая по формуле

(2.7)

При числе измерений— дисперсия.

Из выражения (2.6) следует, что средняя квадратическая погрешность а полностью определяет характер распределения случайных погрешностей; она показывает степень случайного разброса результатов отдельных измерений относительно истинного значения А малому значению σ соответствует - преобладание малых случайных погрешностей, а следовательно, и большая точность измерения данной величины и, наоборот, большому значению σ соответствует меньшая точность измерения.

Графически выражение (2.6) для различных значений σ можно представить колоколообразной кривой с максимальной плотностью вероятности

в точке ∆ = 0 (рис. 2.5). Вероятность того,

Рис. 2.5. Кривые нормального распределения случайных погрешностей при различных σ

что погрешность∆ результата измерений находится между выбранными пределами ∆₁ и ∆₂ определяется с помощью выражения (2.5):

(2.8)

где α— доверительная вероятность, определяемая по таблицам(приложение 2) или из выражения:

(2.9)

где x = ∆/σ

Результаты расчетов для некоторых пределов приведены в табл. 2.1, где m_M и m_б – число измерений, имеющих абсолютную

Таблица 2.1

∆	mM/n,%	mб/n,%	nб∆	∆	mM/n	mб/n	nб∆
0,5000 σ 0,6745 σ 1,0000 σ	38 50 68	62 50 32	– 2 3	2,0000 σ 3,0000 σ 4,0000 σ	95 99,7 99,999	5 0,3 0,01	22 370 15625

погрешность, меньшую и большую заданного значения ∆ соответственно; п — число единичных измерений; m_M/n и m_б/n — вероятности появления меньших и больших погрешностей, чем заданное значение ∆, % ; n_б∆- число измерений, при которых одна случайная погрешность больше ∆

Из таблицы следует, что из 370 измерений только одно измерение имеет погрешность больше 3σ, а из 15 625 измерений — одно измерение с погрешностью, превышающей 4σ Это позволяет считать, что при практических измерениях появление погрешности, большей, чем 3σ, почти исключено; если же такая погрешность имеется, то соответствующее ей значение следует считать промахом. Погрешность, равную 3σ, принято называть наибольшей возможной погрешностью ряда измерений, предельной, погрешностью или максимальной ошибкой.

Оценка погрешностей результатов измерений

Средняя арифметическая погрешность Истинное значение А измеряемой величины почти всегда неизвестно, и поэтому определить погрешность каждого отдельного измерения по разности (2.1) не представляется возможным. Если число измерений п достаточно велико, то вместо значения А берут наиболее достоверное значение — среднее арифметическое (действительное):

(2.10)

Эта формула математически выражает постулат среднего арифметического: наиболее достоверное значение измеряемой величины, которое можно получить на основании большого ряда заслуживающих одинакового доверия намерений, есть арифметическое среднее из полученных значений.

Зная среднее арифметическое значение, можно по аналогии с разностью (2.3) определить разность:

(2.11)

Где υ_i— отклонение результата единичного измерения от среднего значения. Это отклонение может быть вычислено для каждого измерения.

Следует помнить, что сумма отклонений результата измерений от среднего значения равна

нулю, а сумма их квадратов — минимальна, т. е. и

Эти свойства используются при обработке результатов измерений для контроля правильности вычислений.

Из сравнения выражений (2.11) и (2.3) следует, что погрешности υ_i отличаются от случайных погрешностей Δ_i так, как отличается среднее арифметическое значение ряда измерений от истинного А — значения их близки друг другу, но, как правило, не равны. Степень приближения υ_i к Δ_i будет тем больше, чем больше n и при можно считать, что это υ_i = Δ_i позволяет все теоретические, выводы, относящиеся к случайным погрешностям Δ_i распространить и на υ_i — отклонение результата единичного намерения от среднего (действительного) значения. Абсолютную погрешность λ которая появляется при замене истинного значения А действительным можно оценить по их разности:

(2.12)

Если вычесть почленно из уравнения. (2.3) Уравнение (2.11) и.учесть выражение (2.12), то получается, что λ = Δ_i – υ_i Эту погрешность называют случайной погрешностью результата измерений (среднего арифметического), в отличие от Δ_i называемой случайной по грешностью единичного измерения.

Пользуясь значением А как конечным результатом ряда измерений, можно допустить погрешность λ которая меньше, чем значения Δ_i единичных измерений.

С р е д н я я к в а д р а т и ч е с к а я п о г р е ш н о с т ь Случайную погрешность чаще оценивают с помощью средней квадратической погрешности σ . Практически она определяется по результатам измерений согласно теории вероятностей по приближенной формуле, вытекающей из (2.7) и приводимой здесь без доказательства:

(2.13)

Где υ_i отклонение результата единичного измерения от среднего значения; п — число измерений.

Так как среднее арифметическое обладает некоторой случайной погрешностью и имеет определенную вероятность в отношении большего или меньшего ее значения, теория случайных погрешностей вводит также понятие о среднем квадратическом отклонении среднего арифметического (средняя квадратическая погрешность результата измерений)

Возведя в квадрат правую и левую части равенства (2.12) и выполнив необходимые преобразования, получим

(2.14)

где приближенное значение средней квадратической погрешности ряда изп измерений.

Степень приближенияσ к S и к определяется числом измерений п; в пределе они равны друг другу:

Из формулы (2.14) следует, что с увеличением числа измерений точность результатов возрастает, но это происходит мед­леннее, чем увеличение числа измерений.

При обработке результатов измерений иногда определяют сред­нее относительное квадратическое отклонение по формуле

(2.15)

Максимальная погрешность. При оценке результатов измерений иногда пользуются понятием максимальной или предельной допустимой погрешности, значение которой определяют в долях σ или S. В настоящее время существуют разные критерии установления .максимальной погрешности, т. е. границы поля допуска ± ∆ в которые случайные погрешности должны уложиться. Общепринятым пока является определение максимальной погрешности, равной Δ = 3σ (или 3S). В последнее время на основании ин-формационной теории измерений проф. П. В. Новицкий рекомендует пользоваться значением Δ = 2σ

Д о в е р и т е л ь н ы е вероятность и интервал. При оценке погрешностей результатов измерения требуется определять точность и надежность полученных результатов для среднего значения и среднего квадрэтического отклонения. Пусть α означает вероятность того, что результат измерений (действительное значение) отличается от истинного не более чем на Δ Это можно записать в виде (2.16)

Вероятность α называется коэффициентом надежности или доверительной вероятностью, а интервал значений от до доверительным интервалом.

Из выражения (2.16) следует, что результат измерений не выходит за пределы доверительного интервала с вероятностью, равной α т. е. чем больше доверительный интервал, тем вероятнее, что результаты измерения не выйдут за его пределы и надежность будет выше. Очевидно, что при этом будет больше допустимая погрешность (точность измерения уменьшается). Следовательно, для характеристики случайной погрешности необходимо задавать два значения: погрешность (доверительный интервал) и доверительную вероятность, так как указание только погрешности делает задачу неопределенной. Знание доверительной вероятности позволяет оце­нить степень надежности полученного результата.

На практике степени надежности проводимых измерений зави­сит от их характера. При большинстве обычных измерений можно ограничиться доверительной вероятностью 0,9 или 0,95, если не требуется более высокая степень надежности. Вероятность определяется законом, распределения погрешностей. Для нормального закона распределения значение доверительной вероятности можно определять по формуле (2.9) или по таблицам (приложение 2). Так, средней квадратической ошибке о - соответствует значение доверительной вероятности 0,683; ошибке 2σ— 0,954; ошибке 3σ —0,997.

Погрешность конечного ряда измерений

До сих пор искомая величина А определялась с помощью большого числа измерений (n ≥ 17), и при этом считалось, что она лежит в некотором интервале При технических измерениях значение неизвестной величины обычно определяется при малом числе измерений (n ≥ 2), поэтому в формулу (2.12) следует вводить коэффициент илиЗакон изменения коэффициента t_a определяется распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика Госсета). Распределением Стьюдента при любом n ≥ 2 называется распределение с плотностью вероятности S (t, n)

где п — число измерений; Г — гамма-функция;

нормированное значение случайной величины. Для любого заданного значения t_a доверительную вероятность (надежность α) неравенства – t_α < t < t_α определяют с помощью интеграла

или по таблицам (приложение 3). Значения λ определяют из выражения

Точность, надежность и число измерений связаны между собой. Зависимость относительной погрешности от числа измерений при заданной надежности показана в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Относи	Число измерений n при надежности α
тельная
погреш-ность, λ/σ	0,5	0,7	0,8	0,9	0,95	0,99	0,999
1,0	2	3	4	5	7	11	17
0,5	3	6	9	13	18	31	50
0,3	6	13	20	32	46	78	127
0,2	13	29	43	70	99	171	277
0,1	47	108	166	273	387	668	10 8 9

Как показывают расчеты, при малом числе измерений п и заданной погрешности метод Стьюдента дает меньшую надежность, чем при нормальном законе распределения: при распределение Стьюдента приближается к нормальному.