Тема 3. М-метод (метод великих штрафів)

Ідея методу, область визначення. Алгоритм методу. Ознаки оптимальності. Практичне застосування.

Приклад

Підприємство виробляє однорідну продукцію, при цьому використовує три технологічні засоби. Витрати ресурсів за одиницю часу при відповідній технології та продуктивності кожної технології в гривнях за одиницю часу наведено в таблиці:

РЕСУРСИ		ТЕХНОЛОГІЧНІ ЗАСОБИ			ОБСЯГ РЕСУРСІВ
№		Т1	Т2	Т3
1	Робоча сила, людино-год.	15	20	100	1500
2	Попит, т	1	2	3	200
3	Електроенергія, квт/год	10	20	10	2000
4	Продуктивність технологічних засобів, грн.	500	400	300

Необхідно визначити інтенсивність використання технологічних засобів.

Рішення:

Економіко математична модель задачі матиме такий вигляд:

Цільова функція:

Z = 500 x₁ + 400 x₂ + 300 x₃  max,

Обмеження:

(х_j  0 ; j = 1,3 )

Зведемо систему обмежень до канонічного вигляду:

15х₁ + 20х₂ + 100х₃ + х₄ = 1500

х₁ + 2х₂ + 3х₃ + х₅ = 200

10х₁ + 20х₂ + 10х₃ + х₆ = 200

Z = 500х₁ + 400х₂ +300х₃ + 0х₄ + 0х₅ + 0х₆  max

Опорний план:

х₄ = 1500

х₅ = 200

х₆ = 200

Z = 0

Ресурси є, але виробництво не ведеться. Тому прибуток дорівнює нулю.

Виходячи з опорною плану побудуємо першу симплексну таблицю:

№	Базисні змінні	Сі	Вільні члкни	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Симплексні відношення
1	х4	0	1 500	15	20	100	1	0	0	100
2	х5	0	200	1	2	3	0	1	0	200
3	х6	0	2000	10	20	10	0	0	1	200
	Z		0	-500	-400	-300	0	0	0

Друга симплексна таблиця:

№ п/п	Базисні змінні	Сі	Вільні члени	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6
1	Х1	500	100	1	1,33	6,67	0,067	0	0
2	Х5	0	100	0	0,67	-3,67	-0,067	1	0
3	Х6	0	1000	0	6,67	-56,67	-0,67	0	1
	Z		50000	0	266,67	3033,33	33,33	0	0

Так як в Z – рядку усі елементи невід’ємні, то в другій таблиці отримано оптимальний розв’язок.

Технологічні засоби Т₂ і Т₃ використовувати недоцільно. Найбільший прибуток 50000 грн. дасть використання 100 одиниць технологічних засобів Т₁

Попит залишиться недовикористаним у кількості 100 т.

Електроенергія залишиться недовикористаною у кількості 1000 квт / год.

Аналіз останньої симплексної таблиці.

Якщо до оптимального п лану ввести одну одиницю технологічного засобу Т₂ , то доцільно зменшити використання технологічного засобу Т₁ на 1,33 одиниці. Попит зменшиться на 0,67 т, а використання електроенергії зменшиться на 6,67 квт / год. Прибуток збільшиться на 266,67 грн.

Якщо до оптимального плану ввести одиницю технологічного засобу Т₃, то доцільно зменшити використання технологічного засобу Т₁ на 6,67 одиниць.

При цьому попит збільшиться на 3,67 т, а використання електроенергії збільшиться на 56,67 квт / год. Прибуток при цьому зросте на 3033,33 грн.

Якщо ресурси робочої сили збільшити на 1 людино-год., то доцільно збільшити використання технологічного засобу Т₁ на 0,067 одиниць. При цьому попит збільшиться на 0,067 т, а використання електроенергії збільшиться на 0,67 квт / год. Прибуток зросте на 33,33 грн.