1. Модель системы обслуживания.

Схема системы обработки данных как СМО приведена на рис. 1. Предполагается, что источник заявок генерирует многомерный поток заявок, состоящий из заявок типа 1, 2,..., М. Поток заявок каждого типа простейший, с интенсивностью .

Рис.1

Управление обработкой заявок производится следующим образом. При поступлении очередной заявки на вход системы программа—диспетчер инициирует прерывание в процессоре, в результате которого запускается программа приема и постановки заявки в соответствующую очередь O_i на исполне­ние заявки. Физически каждая очередь О_i состоит из совокупности ячеек оперативной памяти процессора, в которых размещаются данные (коды) поступающих заявок. Отбор заявок на обслуживание из очередей O_i производится программой-диспетчером в порядке поступления заявок.

Пусть на вход системы поступают М пуассоновских потоков заявок с интенсивностями На входе системы из этих потоков формируется один суммарный поток с интенсивностью:

Свойства канала обслуживания (т. е. процессора и соответствующей обрабатывающей программы) описываются двумя наборами характеристик:

1) величиной среднего времени обслуживания заявки типа i

2) величиной второго начального момента времени обслуживания заявки i-го типа:

Таким образом, модель рассматриваемой системы обслуживания полностью описывается набором параметров дляi = 1…M. Эти характеристики указаны в левой части; диаграммы рис. 2.

Рис. 2.

2. Характеристики процессов обслуживания.

К характеристикам процесса обслуживания относятся суммарная загрузка системы, средние значения: времени ожидания в очереди, времени пребывания в системе, числа заявок в: очереди и в системе.

При среднем времени обслуживания заявки i-ro типа, равном , и интенсивности потока заявок этого типаХ_г загрузка процессора i-м типом заявок равна . Тогда общая загрузка процессора потоками заявок всех типов будет равна

Условие существования стационарного режима в рассматриваемой СМО состоит в выполнении неравенства R<1,0.

Получим выражение для среднего времени ожидания заявок в очереди. Допустим, что в произвольный момент времени в очереди уже находятся l₁,..., l_М заявок типа 1, 2,.... М и поступила заявка z_i типа i. Тогда время ожидания заявки z_i складывается из следующих компонент:

где — время, необходимое для завершения обслуживания заявки, уже находящейся на обслуживании,T_k — суммарное время обслуживания заявок k-го типа, также уже находящихся в очереди.

Выполняя над левой и правой частями операцию математического ожидания, получаем

Найдем выражение для М [₀]. В системе М\G\1 среднее время дообслуживания заявки равно:

а среднее время ожидания вновь пришедшей заявкой завершения обслуживания равно:

Отсюда следует, что среднее время ожидания заявкой z_i дообслуживания любой заявки должно быть равно взвешенной сумме средних времен дообслуживания:

Среднее время обслуживания заявок k-ro типа, находящихся в очереди, равно:

где —средняя длина очереди заявокk-ro типа. Здесь, используя соотношение

получаем

Таким образом, в рассматриваемой системе с бесприоритетной дисциплиной обслуживания среднее время ожидания для заявок всех типов одинаково.

Рассмотрим еще одну характеристику, а именно, среднее-суммарное время обслуживания всех заявок, находящихся в некоторый момент в очереди на обслуживание. В случае многомерного потока имеем:

В теории массового обслуживания показывается, что величина не зависит от дисциплины обслуживания и является функцией лишь характеристик СМО. Величина находится весьма просто, если рассмотреть СМО с бесприоритетной дисциплиной обслуживания:

Таким образом, получаем, что для любой дисциплины обслуживания

Данное соотношение в теории CMO носит название зако­на сохранения суммарного времени ожидания (заявок в очереди).