Тема 4: Предел и непрерывность функции

4.1. Предел числовой последовательности и функции

Предел последовательности – это число, к которому бесконечно близко приближаются члены последовательности.

4.2. Основные теоремы о пределах и их применение

Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

Þ .

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функцииg(x) , то предел функцииf(x) в этой точке не превосходит предела функцииg(x).

Þ .

Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.

.

Доказательство. f(x)=с,    докажем, что    .

Возьмем  произвольное e>0. В качестве d можно взять любое

положительное число. Тогда при 

.

Теорема 4. Функцияне может иметь двух различных пределов в

одной точке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть

и  .

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции:

f(x)-A=- б.м. при,

f(x)-B=- б.м. при.

Вычитая эти равенства, получим:

 B-A=-.

Переходя к пределам в обеих частях равенства при , имеем:

B-A=0, т.е.B=A. Получаем противоречие, доказывающее теорему.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при, причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

.

Доказательство. Пусть ,,.

Тогда, по теореме о связи предела и б.м. функции:

где  - б.м. при.

Сложим алгебраически эти  равенства:

f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С)=,

где б.м. при.

По теореме о связи предела и б.м. функции:

А+В-С=.

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при, причем предел произведения равен произведению пределов.

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

.

Теорема 7. Если функции f(x) иg(x) имеют предел при,

причем , то и их частное имеет предел при, причем предел частного равен частному пределов.

,  .

4.3. Непрерывность функции

Функция называетсянепрерывной в точке , если:

1. функция определена в точкеи ее окрестности;

2. существует конечный предел функции в точке;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е.

Тема 5: Элементы дифференциального исчисления.

5.1. Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Правила дифференцирования и производные элементарных функций.

Производной функции y = f(x) в точке Х называется предел, если он существует, отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.

Производная функции в точке интерпретируется:

1.      механически – как мгновенная скорость изменения функции в этой точке

2.      геометрически – как угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке.

Геометрический смысл производной. На графике функциивыбираетсяабсциссаx₀и вычисляется соответствующаяординатаf(x₀). В окрестности точкиx₀выбирается произвольная точкаx. Через соответствующие точки на графике функции F проводитсясекущая(первая светло-серая линия C₅). РасстояниеΔx = x — x₀устремляется к нулю, в результате секущая переходит вкасательную(постепенно темнеющие линии C₅— C₁).Тангенсугла α наклона этой касательной — и есть производная в точкеx₀.

5.2. Приложение производной к исследованию функций

Схема исследования функции.

1. Найти область определения функции.

2. Проверить, не является ли функция четной или нечетной; проверить также, не является ли она периодической.

3. Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства функции. Иногда для уточнения построения графика следует найти две три дополнительные точки.

4. Найти производную функции и ее критические точки.

5. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.

6. Построить график функции, используя полученные результаты исследования.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b].

1. Найти значения функции в концах отрезка, т.е. f(a) и f(b) ;

2. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a,b) ;

3. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.