- •Перелік питань до іспиту з «Алгебри та геометрії» для студентів 1 курсу спец. «комп’ютерна інженерія» 2014-2015 н.Р.
- •Свойства определителей
- •Треугольные матрицы
- •Диагональные матрицы
- •2.10. Приведение матрицы к диагональному виду
- •Ступенчатая матрица
- •Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду
- •Свойства Инвариантность ранга при элементарных преобразованиях
- •Эквивалентность слау при элементарных преобразованиях
- •Нахождение обратных матриц
- •Ступенчатый вид по строкам
- •Определитель произведения матриц Теорема 2.2 об определителе произведения матриц
- •Обратная матрица
- •Замечание
- •Свойства обратной матрицы:
- •Матричные уравнения
- •Понятие комплексного числа
- •Действительная и мнимая часть комплексного числа
- •Мнимая единица
- •Равные комплексные числа
- •1.2.Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •Формулы для многочленов и операции над многочленами
- •2. Деление с остатком. Теорема Безу
- •Нахождение нод по алгоритму Евклида и с помощью разложения на простые множители.
- •Алгоритм Евклида для нахождения нод
- •Нахождение нод с помощью разложения чисел на простые множители
- •Нахождение нод трех и большего количества чисел
- •Нахождение нод отрицательных чисел
- •Кратные корни многочленов
- •Метод Штурма отделения корней многочлена
- •Способы разложения на множители многочлена степени выше второй.
- •Вынесение за скобки общего множителя.
- •Разложение на множители многочлена с рациональными корнями.
- •Гипотеза h
- •Формулировка
- •Частные случаи
- •*4. Основная теорема алгебры
- •Линейные пространства: определение и примеры Аксиомы линейного пространства
- •Следствия аксиом линейного пространства
- •Примеры линейных пространств
- •Изоморфизм линейных пространств
- •Пересечение и сумма подпространств линейного пространства
- •Прямая сумма подпространств
- •Признаки прямых сумм подпространств
- •Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
- •Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач
- •Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач
- •Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов
- •Векторное произведение векторов и его свойства
- •Алгебраические свойства векторного произведения
- •Геометрические свойства векторного произведения
- •Выражение векторного произведения через координаты векторов
- •Формула вычисления векторного произведения
- •Определение смешанного произведения.
- •Смешанное произведение в координатной форме.
- •Свойства смешанного произведения.
- •Вычисление смешанного произведения, примеры и решения.
- •Геометрический смысл смешанного произведения.
- •Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.
- •Уравнение поверхности
- •Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту
- •Уравнение прямой по точке и направляющему вектору
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Нормальное уравнение прямой
- •Угол между прямыми на плоскости
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
- •Расстояние от точки до прямой
Пересечение и сумма подпространств линейного пространства
Пусть и — подпространства линейного пространства .
Пересечением подпространств и называется множество векторов, каждый из которых принадлежит и одновременно, т.е. пересечение подпространств определяется как обычное пересечение двух множеств.
Алгебраической суммой подпространств и называется множество векторов вида , где . Алгебраическая сумма (короче просто сумма) подпространств обозначается
Представление вектора в виде , где , называетсяразложением вектора no подпространствам и .
Замечания 8.8
1. Пересечение подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к пересечениям.
2. Сумма подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к суммам.
Действительно, нужно показать замкнутость линейных операций в множестве . Пусть два вектора и принадлежат сумме , т.е. каждый из них раскладывается по подпространствам:
Найдем сумму: . Так как , а , то . Следовательно, множество замкнуто по отношению к операции сложения. Найдем произведение: . Так как , a , то . Следовательно, множество замкнуто по отношению к операции умножения на число. Таким образом, — линейное подпространство.
3. Операция пересечения определена на множестве всех подпространств линейного пространства . Она является коммутативной и ассоциативной. Пересечение любого семейства подпространств V является линейным подпространством, причем скобки в выражении — можно расставлять произвольно или вообще не ставить.
4. Минимальным линейным подпространством, содержащим подмножество конечномерного линейного пространства , называется пересечение всех подпространств , содержащих , т.е. . Если , то указанное пересечение совпадает с нулевым подпространством , поскольку оно содержится в любом из подпространств . Если — линейное подпространство , то указанное пересечение совпадает с , поскольку содержится в каждом из пересекаемых подпространств (и является одним из них: ).
Минимальное свойство линейной оболочки: линейная оболочка любого подмножества конечномерного линейного пространства является минимальным линейным подпространством, содержащим , т.е. .
Действительно, обозначим . Надо доказать равенство двух множеств: . Так как (см. пункт 6 замечаний 8.7), то . Докажем включение . Произвольный элемент имеет вид , где . Пусть — любое подпространство, содержащее . Оно содержит все векторы и любую их линейную комбинацию (см. пункт 7 замечаний 8.7), в частности, вектор . Поэтому вектор принадлежит любому подпространству , содержащему . Значит, принадлежит пересечению таких подпространств. Таким образом, . Из двух включений и следует равенство .
5. Операция сложения подпространств определена на множестве всех подпространств линейного пространства . Она является коммутативной и ассоциативной. Поэтому в суммах конечного числа подпространств скобки можно расставлять произвольно или вообще не ставить.
6. Можно определить объединение подпространств и как множество векторов, каждый из которых принадлежит пространству или пространству (или обоим подпространствам). Однако, объединение подпространств в общем случае не является подпространством (оно будет подпространством только при дополнительном условии или ).
7. Сумма подпространств совпадает с линейной оболочкой их объединения . Действительно, включение следует из определения. Любой элемент множества имеет вид , т.е. представляет собой линейную комбинацию двух векторов из множества . Докажем противоположное включение . Любой элемент имеет вид , где . Разобьем эту сумму на две, относя к первой сумме все слагаемые , у которых . Остальные слагаемые составят вторую сумму:
Первая сумма — это некоторый вектор , вторая сумма — это некоторый вектор . Следовательно, . Значит, . Полученные два включения говорят о равенстве рассматриваемых множеств.
Теорема 8.4 о размерности суммы подпространств. Если и подпространства конечномерного линейного пространства , то размерность суммы подпространств равна сумме их размерностей без размерности их пересечения (формула Грассмана):
(8.13) |
В самом деле, пусть — базис пересечения . Дополним его упорядоченным набором векторов до базиса подпространства и упорядоченным набором векторов до базиса подпространства . Такое дополнение возможно по теореме 8.2. Из указанных трех наборов векторов составим упорядоченный набор векторов. Покажем, что эти векторы являются образующими пространства . Действительно, любой вектор этого пространства представляется в виде линейной комбинации векторов из упорядоченного набора
Следовательно, . Докажем, что образующие линейно независимы и поэтому они являются базисом пространства . Действительно, составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому вектору:
(8.14) |
Первые две суммы обозначим — это некоторый вектор из , последнюю сумму обозначим — это некоторый вектор из . Равенство (8.14): означает, что вектор принадлежит также и пространству . Значит, . Раскладывая этот вектор по базису , находим . Учитывая разложение этого вектора в (8.14), получаем
Последнее равенство можно рассматривать, как разложение нулевого вектора по базису подпространства . Все коэффициенты такого разложения нулевые: и . Подставляя в (8.14), получаем . Это возможно только в тривиальном случае и , так как система векторов линейно независима (это базис подпространства ). Таким образом, равенство (8.14) выполняется только в тривиальном случае, когда все коэффициенты равны нулю одновременно. Следовательно, совокупность векторов линейно независима, т.е. является базисом пространства . Подсчитаем размерность суммы подпространств:
что и требовалось доказать.
Пример 8.6. В пространстве радиус-векторов с общим началом в точке заданы подпространства: и — три множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся в точке прямым и соответственно; и — два множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся плоскостям и соответственно; прямая , при надлежит плоскости , прямая принадлежит плоскости , плоскости и пересекаются по прямой (рис. 8.2). Найти суммы и пересечения каждых двух из указанных пяти подпространств.
Решение. Найдем сумму . Складывая два вектора, принадлежащих и соответственно, получаем вектор, принадлежащий плоскости . На оборот, любой вектор (см. рис.8.2), принадлежащий , можно представить в виде , построив проекции и вектора на прямые и соответственно. Значит, любой радиус-вектор плоскости раскладывается по подпространствам и , т.е. . Аналогично получаем, что , а — множество радиус-векторов, принадлежащих плоскости, проходящей через прямые и .
Найдем сумму . Любой вектор пространства можно разложить по подпространствам и . В самом деле, через конец радиус-вектора проводим прямую, параллельную прямой (см. рис. 8.2), т.е. строим проекцию вектора на плоскость . Затем на откладываем вектор так, чтобы . Следовательно, . Так как , то . Аналогично получаем, что . Остальные суммы находятся просто: . Заметим, что .
Используя теорему 8.4, проверим, например, равенство по размерности. Подставляя и в формулу Грассмана, получаем , что и следовало ожидать, так как .
Пересечения подпространств находим по рис. 8.2, как пересечение геометрических фигур:
где — нулевой радиус-вектор .
Пряма сума підпросторів. Критерії прямої суми.