1. Дайте понятие биполярных координат.

Критерий Тиссерана

Интеграл Якоби был использован при решении вопроса о тождественности вновь открытой периодической кометы с кометой ранее наблюдавшейся. Такой вопрос далеко не всегда может быть решен путем простого сравнения элементов орбит, так как в случае прохождения кометы вблизи одной из больших планет ее орбита может измениться до неузнаваемости. {1}

Конечно, вопрос всегда может быть решен путем вычисления возмущений одной из комет за истекший промежуток времени. Но это весьма трудоемкая операция.

Большие изменения элементов происходили всегда при прохождении кометы очень близко от Юпитера. Именно за короткое время (не превышающее нескольких месяцев) пребывания кометы вблизи Юпитера и происходят те большие изменения элементов орбиты, по сравнению с которыми возмущения, производимые остальными планетами, уже не имеют существенного значения.

С другой стороны, прохождения кометы вблизи других планет столь маловероятны, что до середины ХХ века не наблюдались ни разу. {2}

Все это показывает, что движение комет с интересующей нас точки зрения можно уподобить, если пренебречь эксцентриситетом орбиты Юпитера, движению бесконечно малой массы в ограниченной задаче 3-х тел.

Таким образом, координаты кометы (x,y,z) должны удовлетворять, каковы бы ни были ее возмущения со стороны Юпитера, интегралу Якоби

[10]

или

,

, [29]

здесь есть среднее суточное движение Юпитера, и - расстояния кометы от Солнца и Юпитера.

Отсюда необходимое условие тождественности двух комет – две наблюдавшиеся в разное время кометы могут оказаться тождественными только в том случае, когда вычисленные для них постоянные Якоби достаточно мало отличаются между собой. {3}

При вычислении постоянной Якоби С по формуле [29] надо брать координаты и составляющие скорости относительно вращающейся системы отсчета с центром в т.О. Для упрощения этих вычислений, перейдем к гелиоцентрической системе отсчета (с центром в т.S) S с неизменным направлением осей, в которой ось S параллельна оси Oz.

Если время t считать от того момента, когда ось Ox совпадает с S, то формулы перехода запишутся так:

где x₁ – координата т. S (x₁<0) – расстояние SO – от центра Солнца до центра масс системы. Дифференцируя

Тогда левая часть уравнения [29]:

;

Первое слагаемое справа в уравнении [29]:

;

В неподвижной системе отсчета уравнение [29] принимает вид

или

Если a,p,e,i – оскулирующие элементы орбиты кометы в её движении относительно Солнца, то

из интеграла площадей [37](часть 2) ,

из интеграла энергии [33](часть 2) ,

где , , поскольку рассматриваем движение кометы относительно Солнца. Тогда последнее равенство перепишется

Разделим это уравнение на и перенесем константу влево:

, где

.

Вспомним [1]: , тогда

, [30]

где ,

мало, так как – x₁ мало x₁,, малы m₂ мало

постоянная .

Формула [30] применяется для вычисления постоянной , пропорциональной постоянной Якоби. Комета обычно наблюдается вблизи Солнца, когда  и  – величины малые, тогда как r₂~r₁₂ (см. рис.1). Поскольку для Юпитера

m₂ = 0.000954786 m₁, r₁₂ = 5.203 а.е.

величиной  пренебрегают и ограничиваются вычислением величины

, [31]

носящей название инварианта кометы.

Таким образом, вместо постоянной Якоби, вычисляют пропорциональный ему инвариант кометы. {4}

Достаточная близость инвариантов двух комет является необходимым, но недостаточным условием тождественности этих комет. В этом заключается критерий Тиссерана, {5} указанный им в 1889 году и несколько уточненный Калландро в 1892 году.

Как видим, критерий Тиссерана является приближенным (в том числе и из-за эксцентричности орбиты Юпитера), в отличие от интеграла Якоби. {7}

Заметим, что вычисления по формулам [30] или [31] можно уточнить, если наклон кометной орбиты i взять не относительно эклиптики, а относительно плоскости орбиты Юпитера. {7} Можно также учесть малую величину , что несложно.

ВОПРОСЫ.

1. Для чего применяется критерий Тиссерана?

2. Критерий Тиссерана это следствие интеграла Якоби для ограниченной задачи 3-х тел – Солнце, Юпитер, комета. Почему выбран Юпитер, а не другая планета Солнечной системы?

3. Назвать необходимое условие тождественности двух комет.

4. Что такое инвариант кометы?

5. В чем заключается критерий Тиссерана?

6. Критерий Тиссерана приближенный или точный? А интеграл Якоби?

7. Как можно сравнить орбиты двух комет, пользуясь критерием Тиссерана?