- •Российская академия народного хозяйства
- •1. Организационно–методический раздел
- •2. Место дисциплины в структуре ооп впо
- •Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
- •3. Требования к результатам освоения дисциплины
- •4. Структура и содержание дисциплины
- •Трудоемкость дисциплины и виды учебной работы
- •Учебно-тематический план дисциплины
- •Содержание разделов дисциплины
- •Тема 1. Системы линейных уравнений. Теория определителей. Алгебра матриц.
- •Тема 2. Арифметические пространства
- •Тема 3. Комплексные числа. Алгебраические многочлены
- •Тема 4. Введение в математический анализ. Предел и непрерывность функции
- •Контрольные вопросы по теме 4:
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных.
- •Контрольные вопросы по теме 5:
- •Тема 6. Интегральное исчисление
- •Основные термины: первообразная, неопределённый интеграл, определённый интеграл, формула Ньютона–Лейбница, несобственный интеграл. Контрольные вопросы по теме 6:
- •Тема 7. Элементы комбинаторики и теории вероятностей
- •5. Планы практических занятий
- •Контрольные вопросы и задачи
- •3. Вычислите матрицу , где
- •Литература
- •Практическое занятие 2 по теме «Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных. План:
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Литература
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Литература Основная:
- •Дополнительная:
- •6. Самостоятельная работа Темы, формы контроля и объём часов на самостоятельную работу
- •7. Вопросы для подготовки к экзамену
- •8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины Рекомендуемая литература
- •Интернет-ресурсы
- •10. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
- •Методические рекомендации по организации самостоятельной работы студентов
- •Контрольная работа №1
- •3. Вычислите матрицу , где
Тема 2. Арифметические пространства
Определение арифметического линейного пространства. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Связь между линейной зависимостью и независимостью системы векторов и её подсистемы. Понятие подпространства арифметического пространства. Линейная оболочка и подпространство. Теорема о линейной (не)зависимости линейной комбинации. Понятие базиса и ранга. Корректность понятия ранга. Единственность разложения по базису. Теорема: любую линейно независимую систему векторов можно дополнить до базиса. Эквивалентные системы векторов. Ранг эквивалентных систем. Элементарные преобразования системы векторов. Определение ранга матрицы и минора k-го порядка. Теорема о ранге матрицы. Следствия из теоремы о ранге. Критерий равенства определителя нулю. Теорема о размерности подпространства решений системы однородных линейных уравнений. Теорема Кронекера–Капелли. Запись общего решения системы линейных уравнений. Определение фундаментальной системы решений системы линейных однородных уравнений. Теорема о количестве векторов в ФСР.
Основные термины: арифметическое линейное пространство, линейная зависимость векторов, линейная независимость векторов, базис линейного пространства, ранг системы векторов, ранг матрицы, фундаментальная система решений.
Контрольные вопросы по теме 2:
1. Выяснить, являются ли векторы линейно зависимыми:
а) ;
б) .
2. Векторы е1=(1, 1, 1), е2=(1, 1, 2), е3=(1, 2, 3) и х=(6, 9, 14) заданы своими координатами в некотором базисе показать, что векторы е1, е2, е3 сами образуют базис и найти координаты вектора х в этом базисе.
3. Какую матрицу называют расширенной матрицей системы?
4. Найти общее решение и фундаментальную систему решений для системы уравнений
Тема 3. Комплексные числа. Алгебраические многочлены
Построение поля комплексных чисел (в виде множества пар чисел с комплексным сложением и умножением). Алгебраическая форма комплексного числа. Роль поля комплексных чисел в математике (понимание поля комплексных чисел как расширения поля действительных чисел). Другие формы представления комплексных чисел, связь этих представлений. Формула Муавра. Модуль комплексного числа. Свойство модуля. Корни n-ой степени из комплексного числа. Определение корня многочлена. Теорема Безу и следствие из неё. Схема Горнера. Теорема о делении с остатком в кольце многочленов над полем. Определение делимости многочлена на многочлен. Определение наибольшего общего делителя. Алгоритм Евклида. Свойства взаимнопростых многочленов. Приводимые и неприводимые многочлены над данным полем. Существование и единственность разложения многочлена в произведение неприводимых. Основная теорема алгебры (без доказательства). Разложение многочлена в произведение неприводимых над полем комплексных чисел и над полем действительных чисел. Формальная производная. Показатель кратности неприводимого множителя. Отделение кратных множителей. Процедура отыскания рациональных корней многочлена.
Основные термины: комплексные числа, модуль комплексного числа, корень n-ой степени из комплексного числа, корень многочлена, наибольший общий делитель, взаимнопростые многочлены, приводимые и неприводимые многочлены, формальная производная.
Контрольные вопросы по теме 3:
Даны комплексные числа . Найдите,,,.
Комплексные числа представьте в показательной форме и найдитеи.
Вычислите .
Выполните арифметические действия над комплексными числами:
а) ; б);
в) ; г);
д) ; е).
5. Решить в комплексных числах квадратные уравнения:
а) ; б);
в) ; г).