5.Диффиренциальные и интегральные исчисления.

Могут быть использованы следующие функции:

Функции	Назначение
limit(expr,x=a,par)	вычислить предел
diff(f,x)	нахождение производной
simplify factor,expand	упрощение выражения
iscont(f,x=x1..x2).	проверить непрерывность функции
extrema(f,{cond},x,’s’)	нахождение экстремумов
maximize(f,x,x=x1..x2)	нахождение максимума функции
minimize(f, x, x=x1..x2).	нахождение минимума функции
int(f, x)	вычисление интеграла
intparts(Int(f, x), u)	интегрирование по частям
evalf(int(f, x=x1..x2),e)	численное интегрирование

Приведем некоторые примеры, с использованием изложенных выше функций:

1.найти пределы

> limit(arctan(x*3-5),x=-Pi/2);

> limit(x*(2*Pi-sin(x)),x=-Pi);

> limit(((1/(x+4*x))-5),x=+infinity);

> limit(exp(1/cos(x))/4*x,x=2,left);

> limit(exp(1/cos(x))/4*x,x=2,right);

2.общее исследование функции

> f:=(x^3-2)/(1+x^2);

непрерывность функции

> readlib(iscont):

> readlib(discont):

> readlib(singular):

> iscont(f,x=-infinity..infinity);

функция является неприрывной

кооэфициенты наклонной асимптоты

> k1:=limit(f/x,x=+infinity);

> b1:=limit(f-k1*x,x=+infinity);

> k2:=limit(f/x,x=-infinity);

> b2:=limit(f-k2*x,x=-infinity);

уравнение наклонной асимптоты

> y:=k1*x+b1;

нахождение экстремумов

> readlib(extrema):

> readlibe(maximize):

> readlibe(minimize):

> extrema(f,{},x,'s');s;

построить график

> with(plots):

> F:=plot(f,x=-10..10,y=-10..10):

> G:=plot(y,x=-10..10,y=-10..10,style=point,color=green):

> display(F,G);

3.нахождение длины дуги кривой, объема тела и площади поверхности вращения

найти длину дуги кривой l x^2/4-ln(x)/4, 1<=x<=2

> y:=x^2/4-ln(x)/2;

> with(plots):

> plot(x^2/4-ln(x)/2,x=1..2);

> t:=Diff(x^2/4-ln(x)/2,x)=diff(x^2/4-ln(x)/2,x);

> l:=Int(sqrt(1+(diff(x^2/4-ln(x)/2,x))^2),x=1..2)=int(sqrt(1+(diff(x^2/4-ln(x)/2,x))^2),x=1..2);

>

найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигур,огранниченных линиями y=sinx, y=cosx, y=0,x=0,x=Pi/2

> f:=plot(sin(x),x=0..Pi/2):

> g:=plot(cos(x),x=0..Pi/2):

> display(f,g);

>V:=Int(Pi*(sin(x))^2,x=0..Pi/2)+Int(Pi*(cos(x))^2,x=0..Pi/2)=int(Pi*(sin(x))^2,x=0..Pi/2)+int(Pi*(cos(x))^2,x=0..Pi/2);

вычислить площадь поверхности тора, полученного вращением оуружности x^2+(y-3)^2=1 вокруг оси ОХ..

> restart;

> with(plots):

> implicitplot(x^2+(y-3)^2=1, x=-1..1, y=-2..4);

> y:=3+sqrt(1-x^2);

площадь поверхности вращения верхней дуги окружности

> r1:=Int(2*Pi*(3+sqrt(1-x^2))*sqrt(1+diff(y,x)),x=-1..1)=evalf(int(2*Pi*(3+sqrt(1-x^2))*sqrt(1+diff(y,x)),x=-1..1));

> d:=3-sqrt(1-x^2);

площадь поверхности вращения нижней дуги окружности

> r2:=Int(2*Pi*(3-sqrt(1-x^2))*sqrt(1+diff(d,x)),x=-1..1)=evalf(int(2*Pi*(3-sqrt(1-x^2))*sqrt(1+diff(d,x)),x=-1..1));

> tg:=r1-r2;

найти площадь фигуры, ограниченную линиями, через двойной интеграл

> f:=implicitplot(y-2=0,x=-3..3,y=-6..2.5):

> g:=implicitplot(y-x^2+1,x=-3..3,y=-6..2.5):

> display(f,g);

> Int(Int(1,x=0..sqrt(y+1)),y=-1..2)*2=int(int(1,x=0..sqrt(y+1)),y=-1..2)*2;