- •Липецкий государственный технический университет
- •1 Определение критериев подобия способом интегральных аналогов…..4
- •2 Определение критериев подобия на базе π-теоремы……………………...7
- •1 Определение критериев подобия способом интегральных аналогов.
- •1.1 В первой форме записи
- •1.2 Во второй форме записи
- •1.3 В третьей форме записи
- •2 Определение критериев подобия на базе π-теоремы
- •2.1 Составление матрицы размерностей параметров процесса
- •2.2 Определение независимых параметров процесса и числа возможных форм записи критериев подобия
- •2.3 Определение критериев подобия в трех формах записи
- •2.3.1 В первой форме записи
- •2.3.2 Во второй форме записи
- •2.3.3 В третьей форме записи
1.2 Во второй форме записи
По аналогии проделаем те же вычисления, которые были приведены в пункте 1.1 для второй и последующих форм записи. Разделим все члены уравнения (1.1) на:
(:) + ():() + ( ):()(sin ωt):() = 0
(1.3)
После математических преобразований выражения (1.3) и исключения из него всех знаков интегрирования и дифференцирования и неоднородных функций, получим:
+ 1 + = 0
Запишем найденные критерии подобия во второй форме:
= , = , = , = ,
1.3 В третьей форме записи
Проделаем аналогичные преобразования для нахождения третьей формы записи. Разделим все члены уравнения (1.1) на:
(:) + ():() + ():()(sin ωt):(= 0
(1.4)
Преобразуя выражение (1.4) путем исключения из него всех знаков интегрирования и дифференцирования и неоднородных функций, получаем:
+ + 1 = 0
Запишем найденные критерии подобия в третьей форме:
, , = , = ,
1.4 В пятой форме записи
Проделаем аналогичные преобразования для нахождения пятой формы записи критериев подобия. Для этого разделим все члены уравнения (1.1) на :
(:) + ():() + ():() (sin ωt):() = 0
(1.6)
После математических преобразований и исключения из выражения (1.6) знаков дифференцирования и интегрирования и неоднородных функций, получим следующее выражение:
+ + 1 = 0
Запишем найденные критерии подобия в пятой форме записи:
= , = , = , = ,
2 Определение критериев подобия на базе π-теоремы
2.1 Составление матрицы размерностей параметров процесса
Определим параметры, участвующие в данном процессе и их число, и представим процесс в виде следующего уравнения:
f (, , t, , C, L, M, )
(2.1)
Из уравнения (2.1) видно, что m = 8. Выразим все члены уравнения (2.1) в относительных единицах:
f (, , , , , , , ) = 0 (2.2)
Запишем выражения единиц измерения для всех величин, участвующих в выражении (2.2):
[] = [] = []
[] = [] = []
[] = [] = []
[]=[]=[] (2.3)
[C] = [] = []
[] = [] = []
[] = [] = []
[] = [] = []
Построим матрицу размерностей, составленную из показателей степени, входящих в формулы размерности системы (2.3):
|
L |
M |
T |
I |
2 |
1 |
-3 |
-1 |
|
ω |
0 |
0 |
-1 |
0 |
t |
0 |
0 |
1 |
(2.4) |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
C |
-2 |
-1 |
4 |
2 |
L |
2 |
1 |
-2 |
-2 |
2 |
1 |
-2 |
-2 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
2.2 Определение независимых параметров процесса и числа возможных форм записи критериев подобия
Определим число независимых параметров из , , , , , и и установим их. Число независимых параметров (К) будет равно порядку первого не равного нулю определителя, составленного из указанных показателей степени(матрица (2.4)). Причем анализ определителей нужно начинать с определителей порядка основных единиц измерения, то есть в нашем случае с четвертого порядка.
Определим число возможных комбинаций определителей четвертого порядка:
= = 70
Из следующих свойств определителей: 1) если в определителе имеются одинаковые строки, то такой определитель равен нулю; 2) если в определителе имеются пропорциональные строки, то такой определитель равен нулю; 3) если в определителе имеются нулевые строки, то такой определитель равен нулю; легко показать, что все определители четвертого порядка равны нулю. Следовательно, и число независимых параметров меньше четырех.
Анализируем определители третьего порядка. Определим число возможных комбинаций определителей третьего порядка:
С = * = = 224
Рассчитаем любой произвольный определитель третьего порядка:
M T I
C -1 4 2
D = 1 -2 -2 = -2
0 1 1
Так как определитель третьего порядка оказался отличен от нуля, то число независимых параметров (К) равно трем, при этом в первой форме записи в качестве независимых параметров являются , , . Остальные параметры будут зависимы и будут выражаться через независимые. На основании расчетов приложения видно, что число форм записи критериев подобия на базе π-теоремы составляет двадцать шесть.