5.int2 = int(A2^(-1),'y');
6.int1 = int1+c; % добавляем константу после интегрирования
7.str = int1+int2;
8.str = strcat( char(str),'=0' ); % первый интеграл
9.% вводим параметр t вдоль характеристики, связываем х и t
10.if ( diff(int1,'x') ~= 0 )
11.eqx = strcat( char(int1),'=t' );
12.else
13.eqx = strcat( char(int2),'=t' ); end;
14.x = solve( eqx, 'x' ); % выражаем x через t
15.x = simplify(x);
16.disp('x = '); disp( char(x) ); disp(' ');
17.% связываем y и введенный параметр t
18.if ( diff(int1,'y') ~= 0 )
19.eqy = strcat( char(int1),'=t' );
20.else
21.eqy = strcat( char(int2),'=t' ); end;
22.y = solve( eqy, 'y' ); % выражаем y через t
23.y = simplify(y);
24.disp('y = '); disp( char(y) ); disp(' ');
25.% полагаем левую часть уравнения равной dn/dt, выражаем функцию n
26.dn = f;
27.dn = eval(dn); % подставляем переменные, выраженные через t
28.n = int(dn,'t'); % выражаем n
29.n = simplify(n);
30.disp('n = '); disp( strcat( char(n),'+Q' ) ); disp(' ');
31.% выражаем константу с из первого интеграла
32.c = solve( str, 'c' );
33.c = simplify(c);
34.disp('c = '); disp( char(c) ); disp(' ');
35.% возвращаемся к исходным переменным через полученную константу с
36.t = solve(eqx,'t'); % выражаем t через с
37.n = eval(n); % подставляем t в n
38.n = n+c;
39.n = simplify(n);
40.disp('u = '); disp( char(n) ); disp(' '); % выводим результат
Замечание. Вызов функции LinSolve( . , . , . ) осуществить самостоятельно.
Задачи для решения. Решить следующее уравнение в частных производных первого порядка. Построить частное решение и проверить его:
1. y2 ∂∂uy − x ∂∂ux = u . 2. x ∂∂ux + y ∂∂uy = xy + u . 3. x ∂∂ux + y ∂∂uy = x . 4. x3 ∂∂ux − x2 y ∂∂uy = 32 uy .
§2. Задача Коши для линейного уравнения
Пусть требуется найти решение уравнения (3.1.1) в области D изменения переменных x1,K, xn при дополнительном условии
u |
|
S = F(x1,K, xn ). |
(3.2.1) |
|
|||
|
|
43
В этом случае говорят, что задана задача Коши, которую записывают так:
ìA |
|
¶u |
+K+ A |
¶u |
= B×u+ f , |
|||
|
|
|
||||||
ï 1 ¶x |
|
n ¶x |
|
|||||
í |
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îu |
|
S |
=F(x1,K,xn ). |
|
||||
|
|
|||||||
(3.2.2) |
|
|
|
|
||||
Здесь S – гладкая |
поверхность, лежащая в D , заданная следующим |
|||||||
уравнением S :ϕ(x1,K, xn ) = 0. Коэффициенты A i , i = 1,n, B, f , F – непрерывно
n
дифференцируемые функции; å Ai2 ¹ 0.
i=1
Теорема: пусть поверхность S удовлетворяет следующему условию: любая характеристика, лежащая в D , пересекает S один и только один раз; причем в точке пересечения характеристика не является касательной к S . Тогда решение задачи Коши (3.2.2) существует и единственно.
Доказательство: через точку x = (x1,..., xn ) , в которой мы хотим найти
решение, проходит единственная характеристика Г уравнения (3.1.1). Эта характеристика пересекает поверхность S в некоторой однозначно определенной точке x* = (x1* ,...,xn* ). Поэтому получаем на характеристике Г :
ì |
¶v |
= β ×v + F , |
|
|
|
|
|||
ï |
¶τ |
|
(3.2.3) |
|
í |
|
|||
ïv | |
= Ф ( x* ,..., x* ). |
|||
î |
τ =τ 0 |
1 |
n |
|
Здесь τ0 − значение переменной τ в точке пересечения характеристики Г |
||||
с поверхностью S. |
Находим v(τ ) , |
а следовательно, и функцию u(x1,...,xn ) на |
||
всей кривой Г, в том числе в точке x.
При наложенных на функции Ai , B, f условиях, функция u будет иметь
непрерывные частные производные и удовлетворять уравнению (3.2.2). Что и требовалось доказать.
Опишем схему решения задачи (3.2.2):
1) из уравнения характеристик (3.1.2) находим n−1 первый интеграл ψ1,K,ψ n−1 ;
2)фиксируем произвольную точку x = (x1,K, xn ) , в которой ищется решение;
3)фиксируем значения функций ψ i в точке x : ψi (x1,K, xn ) = ci , i =1,n −1;
4) в точке x* = (x1*,K, xn* ) имеем те же значения первых интегралов:
ψi (x1* ,K, xn* ) = ci , i =1,n −1; x* S . Кроме того, x* принадлежит поверхности S.
5)Отсюда получаем n уравнений для определения n координат точки x* :
ì |
|
|
* |
|
* |
)=ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
,K,x |
|
(x ,K,x |
|
),i=1,n-1, |
|
||||||
ïψ |
i |
|
n |
i |
n |
(3.2.4) |
|||||||
í |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||
ïϕ(x* |
,K,x* )=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
î |
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система (3.2.4) позволяет найти точку x* , тем самым определяя дополнительное условие в задаче (3.2.3). Решая задачу, находим v .
44
Возвращаясь от c1,K,cn ,τ к исходным переменным x1,K, xn , находим искомое решение u(x1,K, xn ) .
Пример. Рассмотрим следующую задачу Коши:
ì |
¶u |
+ k |
|
¶u |
= 0 |
, |
|
ï |
¶t |
0 |
¶x |
(3.2.5) |
|||
í |
|
|
|
||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
îu ( x,0) = ϕ ( x ). |
|
|
|||||
В области − ∞ < x < ∞,t > 0 , k0 = const ; ϕ(x) – заданная функция; u = u(x,t) . Уравнение характеристик для (3.4.1) имеет вид
dt |
= |
d x . |
(3.2.6) |
1 |
k 0 |
|
Интегрируя (3.2.6), находим первый интервал уравнения характеристик: x - k0 ×t = c . Функция ψ (x,t) = x - k0 ×t сохраняет постоянное значение, если
переменные x,t связаны уравнением (3.2.6). Общее решение уравнения (3.2.5)
будет иметь следующий вид: u(x,t) = F(ψ (x,t)) = F(x - k0 ×t) , где F(.) – произвольная функция. По своему физическому смыслу выражение F(x - k0 ×t)
описывает движение со скоростью k0 фиксированного профиля F(x) в сторону
больших значений x (поэтому уравнение (3.2.5) называется уравнением конвективного переноса). При t = 0 имеем: u(x,0) = F(x). С другой стороны, из
начальных условий: u(x,0) = ϕ(x) Þ F(x) = ϕ(x). Ответ: u(x,t) = ϕ(x - k0 ×t) .
45