Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

dif

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

1.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

x→x0

3.3. Предел функции (задачи 4, а, б)

т.е. символы f и lim для непрерывных функций перестановоч-

ны. Этим свойством мы будем широко пользоваться при отыска-

нии пределов, например, lim

√

= lim (x4 + 3x + 10) =

x4 + 3x + 10

x→3

= √

= 10. Использованы непрерывностьq

функции y = √

81 + 9 + 10

и теорема о пределе суммы.

√

x +

9x2 + 1

3.3.8. Найдите lim

x→−∞

√

Решение.

x +

9x2 + 1

9x2

+ 1

lim

1 +

x→−∞

= x→−∞

2 + 1

! = x lim

! =

= x lim 1 −

1 −

9 +

→−∞

= 1 − sx lim

9 +

= 1 − 3 = −2.

→−∞

√

a2b, если a > 0;

a√b =

Напомним, что

√

По

этой причине

a2b, если a < 0.

√

−

9x2 + 1

= −r

9x + 1

, поскольку x → −∞, а потому x < 0.

x + √

9x2

+ 1

3.3.9. Докажите самостоятельно: lim

= 4.

x→+∞ √

Из задач 3.3.8 и 3.3.9 следует, что

lim

x +

+ 1

не существует.

x→∞

√

3.3.10. Найдите A = lim

x + 8

−

8x + 1

√

x 1

5 − x −

7x − 3

→

Решение. Замечаем, что числитель и знаменатель при x → 1 стремятся к нулю, т.е. имеем неопределённость типа 0/0. Умножим числитель и знаменатель на множители, сопряжённые соответствую-

щим выражениям:

√

A = lim

(

x + 8 −

8x + 1)(

√

x + 8 +

8x + 1)(

5 − x +

7x − 3)

√

7x − 3)(

5 − x +

√

x + 8 +

√

→

( 5 − x −

7x − 3)(

8x + 1)

√

= lim

(x + 8 − 8x − 1)( 5 − x +

7x − 3)

x→1 (5

−

7x + 3)(√x + 8 + √8x + 1)

√

= lim

7(1 − x)

· √

5 − x

√

7x − 3

2 + 2

· 3 + 3

→

8(1

−

x + 8 +

8x + 1

Мы воспользовались непрерывностью функции √x и теоремой о пределе частного и суммы.

923. Методические указания (контрольная работа № 3)

√√

3.3.11.Найдите lim 3 2x − 1 − 3 3x − 2 .

x→1

x − 1

) = (a

Решение.

3Применим

формулу

−

b)(a + ab + b

√

Полагая a =

2x − 1, b =

3x − 2, умножим числитель и знамена-

тель на неполный квадрат суммы чисел a и b. Получим

lim

−

2x − 1 − 3x + 2

−

= lim

−(x − 1)

x→1 (x

1) 3

(2x

1)2 + 3

(2x − 1)(3x − 2) + 3

(3x

2)2

x→1

(x − 1)

(2x − 1)

(2x − 1)(3x − 2) +

(3x −1

2)2

= lim

−

x→1

p(2x − 1)2

+ p(2x − 1)(3x − 2) + p(3x − 2)2

−3

(Применили теоремы о пределе частного, суммы и произведения, а

√

также непрерывность функций u2 и 3 u.)

3.3.12. Найдите lim 31/x, lim 31/x.

x→0+0 x→0−0

Решение. Сделаем замену t = 1/x. Если x → 0 + 0, то t → +∞, если x → 0 − 0, то t → −∞ (см. пример 5, в, г, п. 1.5). По свойству показательной функции y = ax при a > 1 получаем

lim

1/x

lim

3 = +∞,

→

0+0 3 = t +

→ ∞

lim

31/x =

lim 3t = lim

= 0.

x→0−0

t→−∞

t→+∞ 3

Как видим, предел lim 31/x не существует.

x→0

3.3.13. Найдите lim

51/x − 1

x→0

71/x − 1

1/x

− 1

Решение. Найдём правый и левый пределы: lim

71/x

51/x − 1

x→0+0

−

lim

. Сделаем замену t =

. Тогда

71/x − 1

x→0−0

5t − 1

(5/7)t − 1/7t

lim

51/x − 1

lim

= 0.

71/x − 1

x→0+0

t→+∞ 7t − 1

t→+∞

1 − 1/7t

Мы воспользовались свойством показательной функции y = ax: при

a < 1 справедливо x +	a	x	= 0, при a > 1		x	+	x
							a = +∞, а также
lim						lim
→ ∞						→ ∞
теоремой о пределе частного.
Аналогично получаем			lim	51/x − 1	=	lim	5t − 1	= 1.
				71/x − 1			7t − 1
			x→0−0		t→−∞

3.3. Предел функции (задачи 4, а, б)	93
По свойству показательной функции при	a > 1 следует, что

lim at = 0. Мы показали, что существуют конечные правый и ле-

x→−∞

вый пределы, но они неравны. Следовательно, предел не существует. Итак, мы познакомились с понятием предела функции f (x). Ес-

ли функция в точке x0 непрерывна, то отыскание предела lim f (x)

x→x0

не представляет труда. Он равен f (x0). Если же свойство непрерывности нарушено, то могут возникнуть неопределённости вида 0/0, ∞/∞, 0 · ∞, ∞ − ∞, ∞0, 00, 1∞. C первыми двумя типами неопределённостей мы уже встретились. Другие рассмотрим позднее.

Задачи для самостоятельного решения

3.3.14. Исходя из определения предела, докажите, что:

lim

;

б)

lim

−∞

;

в)

lim

= + ;

а) x

1 x + 2

2 0 x

−

x 2+0 x

−

∞

→

→ −

г)

lim

= 0;

x→−∞ x + 1

x→+∞ x + 1

x→∞ x + 1

д)

lim

arcsin x =

lim

= 2;

ж) lim x3 = 8.

−

2 ; е) x 1 x + 1

→

3.3.15. Найдите: а) lim (x3 +4x

−

5); б) lim

4x4 − 8x2 + 28

, обос-

→

x3 + 1

→

новывая ссылками на соответствующие теоремы каждую операцию.

Ответы:

а) 11;

б) 10.

3.3.16. Найдите следующие пределы:

а) lim

x2 − 6x + 5

; б)

lim

x3 − 27

;

в) lim

x3 − 3x2 + 4

x→1 x2 − 3x + 2

x→3

x − 3

x→2 x3 − 2x2 − 4x + 8

Ответы:

а) 4;

б) 27;

в) 3/4.

3.3.17. Найдите следующие пределы:

1 −

√4

; б) lim

1 −

√3

а) lim

x→1

1 −

√6 x

x→1

1 −

√5 x

замену

x = t

, в примере

Указание.

примере а) сделать

б) x = t15. Использовать

формулу

−

bm = (a

−

b)(am−1

+am−2b + . . . + abm−2 + bm−1).

Ответы: а) 3/2;

б) 5/3.

3.3.18. Найдите следующие пределы:

3x4 − 7x2 + 4x + 1

2x2

3x + 1

а)

lim

; б) lim

;

x−2 + 2

x→∞

6x4 + 5x3 − 2

x→∞

в)

lim

x2 + 4x + 1

; г) lim

2x3 + 4x2 + 1

x→∞ x3 + x2 + 5

x→∞

2x2 + 1

Ответы: а) 1/2;

б) 8; в) 0;

г) ∞.

= 1 раскрывается неопределенность 0/0, причем аргумент

94			3.	Методические указания (контрольная работа № 3)
3.3.19. Найдите пределы:									√
		x3 +		√				x3 +
а)	lim				16x6 + 5	; б)	lim			16x6 + 5	.
				x3					x3
	x→−∞						x→+∞
Ответы:			а) −3; б) 5.

3.3.20. Найдите пределы:

√

− 3

;

а)

lim

2 + x

− 2

;

б) lim

9 + 5x + 4x2

x→2

x − 2

x→+0 3

в)

lim

√10 − x − 2

;

г) lim

√2x − 1 −

√3x − 2

x − 2

→

4x − 3 − 1

√

г) −1/6.

Ответы:

а) 1/4;

б) 5/6; в) −1/12;

3.3.21. Найдите пределы:

lim (√

а) x

x(√

x);

б)

lim

x2 + 1

−

x2 + x + 1

−

→

∞

√3

→±∞

в) x→+∞

+ 3x

−

− 2x

lim

(

√

Указание. Прибавить и вычесть x.

Ответы:

а) 1/2;

б) ±1; в) 2.

3.3.22. Найдите пределы:

√

x2 − x + 1);

а)

; б)

;

в) lim

x−2

+ 1

lim 2

x−3

lim 2

x−3

x→3+0

x→3−0

x→2+0

x−2

+ 2

Ответы: а) +∞;

б) 0; в) 0.

3.4. Первый замечательный предел (задача 4, в)

Предлагается изучить п. 1.7.1.

Обратите внимание на то, что в первом замечательном пределе

lim sin x

x→0 x

синуса стремится к нулю, и в знаменателе находится точно этот аргумент. Непосредственным следствием первого замечательного пре-

дела являются следующие пределы: lim

tg x

= 1, lim

arcsin x

= 1,

arctg x

= 1. Действительно,

x→0

lim

x→0

lim

tg x

lim cos x

sin x

= lim cos x

lim

sin x

= 1

x 0

= x 0

→

(мы использовали теорему о пределе произведения и непрерывность

функции cos x, из которой следует, что lim cos x = cos lim x = 1).

x→0 x→0

Для отыскания второго предела сделаем замену arcsin x = y, x = sin y. Если x → 0, то y → 0, что следует из непрерывности функции arcsin x.

3.4. Первый замечательный предел (задача 4, в)

Находим lim

arcsin x

= lim

= 1. Аналогично

x→0

y→0 sin y

y→0 (sin y)/y

доказывается, что lim

arctg x

= 1 (замена arctg x = y).

x→0

3.4.1. Найдите следующие пределы:

а)

lim

sin 5x

; б)

lim

sin 3x

;

в)

lim

arcsin 3x

;

x→0

tg 5x

x→0

arctg 4x

г)

lim

1 − cos 2x

;

д)

lim

sin x

x→0

x→2

Решение. а)

lim

sin 5x

= lim

5 sin 5x

= lim

5 sin u

= 5, (u = 5x);

x→0

u→0

sin 3x

· 3

sin 3x

;

б) lim

= lim

tg 5x

x→0

x→0 tg 5x

· 5

arcsin 3x

· 3

arcsin 3x

в) lim

= lim

;

arctg 4x

x→0

arctg 4x

x→0

· 4

г)

lim

1 − cos 2x

= lim

2 sin2 x

= 2 lim

sin x

= 2;

x 0

→

sin x

sin 2

д) lim

x→2

3.4.2. Найдите следующие пределы, сделав подходящую замену:

а) lim	sin 3x	; б)	lim	cos x − sin x	; в)	lim	sin (x − π/6)	.

x→π sin 2x			x→π/4	cos 2x		x→π/6	√3/2 − cos x

Решение: а) поскольку непосредственное применение первого замечательного предела невозможно, так как аргумент синуса не стремится к нулю, то сделаем замену x = y + π. Когда x → π, то y → 0. Теперь

lim

sin 3x

= lim

sin(3y + 3π)

= lim

− sin 3y

−

;

x π sin 2x

y 0 sin(2y + 2π)

→

sin 2y

→

б) используем формулу тригонометрии cos x − sin x =

√

2 sin

−

, затем делаем замену y =

− x, x =

− y.

cos x − sin x

√2 sin

− x

Имеем

lim

x→π/4

cos 2x

x→π/4

cos 2x

√

= lim

2 sin y

= lim

2 sin y

;

y→0 cos

− 2y y→0

sin 2y

3. Методические указания (контрольная работа № 3)

sin

x −

sin

x −

в)

lim

x→π/6

√3

−

cos x

x→π/6 cos

− cos x

sin x −

lim

x→π/6 2 sin

x + π/6

sin

x − π/6

= lim

sin y

= lim

= 2

→

2 sin

y + π/3

sin

→ 2 sin

sin

(замена: y = x

−

cos α

−

cos β = 2 sin

α + β

sin

β − α

Задачи для самостоятельного решения

3.4.3 3.4.6. Найдите следующие пределы.

3.4.3. а) lim

sin 4x

;

б) lim

sin 5x

;

в) lim

arctg 2x

;

x→0

tg 3x

x→0

г)

lim

arcsin 5x

;

д)

lim

arcsin 4x

;

е) lim

sin 5x − sin 3x

x→0

arctg 3x

x→0

sin x

Ответы:

а) 4;

б) 5/3;

в) 2;

г) 5;

д) 4/3;

е) 2.

3.4.4. а)

lim

1 − cos3 x

;

б)

lim

1 + 2 sin x − cos x

;

x→0

x sin 2x

x→0

1 + 3 sin x − cos x

в)

lim

tg x − sin x

;

г)

lim

cos 4x − cos 3x

;

x→0 √

x→0

д)

lim

1 − cos x

;

е)

lim

√cos x − √cos x

x→0

1 − cos x

x→0

sin2 x

Ответы:

а) 3/4; б) 2/3;

в) 1/2;

г) −7/2; д) √

;

е) −1/12.

3.4.5. а)

lim

sin x − sin a

;

б)

lim

sin(x − π/3)

;

x→a

−

π/3

−

2 cos x

→

в)

lim

x − 3 tg x

;

г)

lim

(π/2

−

x)tg x.

π/3

cos(x + π/6)

π/2

→

б) 1/√

→

Ответы:

а) cos a;

;

в) −24;

г) 1.

√

3.4.6. а)

lim

2 − 1 + cos x

;

б)

lim

1 + sin x −

1 − sin x

;

sin2

x→0

√

x→0

tg x

в) lim

1 − (cos x) ·

cos 2x

; г)

lim

sin(a + 2x) − 2 sin(a + x) + sin a

x→0

Ответы:

а)

√

/8;

б) 1;

в) 3/2;

г) − sin a.

3.5. Второй замечательный предел (задача 4, г)

Предлагается изучить п. 1.7.2.

	из			n→∞x	1 + n	n
	из			n→∞x	1 + n
Каждый		пределов lim			1	= e	(n	– натурально),
Каждый		пределов lim				= e	(n	– натурально),
x→0	= e,	x→∞	1 + x
1			1		= e называют вторым замечатель-
lim (1 + x) x		lim			= e называют вторым замечатель-

ным пределом. Здесь e – число Эйлера, e = 2,718281828 . . .

3.5.1. Докажите справедливость следующих утверждений: а) если lim α(x) = 0, то

x→x0

= e;

(1)

lim [1 + α(x)]

α(x)

x→x0

б) если

lim

α(x) = 0 и lim

α(x)ϕ(x) существует, то

x→x0

lim

α(x)ϕ(x)

lim [1 + α(x)]ϕ(x) = ex→x0

;

(2)

x→x0

в) если

lim

f (x) = 1 и lim [f (x)

−

1]ϕ(x) существует, то

→

1]ϕ(x)

lim [f (x)

−

lim f (x)ϕ(x) = ex→x0

(3)

x→x0

Действительно, положив в (1) α(x) = t, получим:

		1		1	= e.
	lim [1 + α(x)] α(x)		= lim(1 + t) t		= e.
	x→x0		t→0
Соотношение (2) следует из (1), так как
x→x0	x→x0 h(1 + α(x))			1	i	α(x)ϕ(x)	= e	lim α(x)ϕ(x)	.
lim	[1 + α(x)]ϕ(x) = lim			α(x)				x→x0

Последняя операция является следствием непрерывности экспоненты, строгое обоснование мы опускаем.

Если lim f (x) = 1, то	lim α(x) =	lim [f (x)			−	1] = 0 и утвержде-
x x0	x x0	x	→	x0	−
→	→		→

ние (3) следует из (2) при α(x) = f (x) − 1.

Заметим, что во втором замечательном пределе раскрывается неопределенность типа 1∞. Обратим внимание на то, что

lim 1ϕ(x) = 1. Этот предел не содержит никакой неопределенности

x→x0

и в случае, если lim ϕ(x) = ∞, что следует из определения предела

x→x0

на языке последовательностей.

В следующей задаче рассмотрены случаи, когда lim f (x)ϕ(x)

неопределенности не содержит.	x→x0

3.5.2. Докажите справедливость следующих утверждений:

а) если функции f (x) и ϕ(x) непрерывны в точке x0 и f (x) > 0,

то	lim f (x)ϕ(x) = f (x0)ϕ(x0);	(4)
	x→x0

98			3. Методические указания (контрольная работа № 3)
			lim f (x) = q < 1,		lim ϕ(x) = +				∞	, либо lim f (x) =
б) если либо x x0					x	→	x0		∞	x	x0
= q > 1, но			→	, то		→					→
	lim ϕ(x) =			, то
	x	→	x0	−∞							(5)
		→		lim f (x)ϕ(x) = 0;							(5)
				x→x0	lim ϕ(x) =					, либо lim f (x) =
			lim f (x) = q < 1,		lim ϕ(x) =			−∞		, либо lim f (x) =
в) если либо x x0					x	→	x0	−∞		x	x0
			→			→					→
= q > 1, но	lim ϕ(x) = + , то
= q > 1, но	x	→	x0	∞							(6)
		→		lim f (x)ϕ(x) = ∞.							(6)

x→x0

Справедливость соотношения (4) следует из непрерывности степенно-показательной функции. Доказательство формул (5) и (6) опустим. (Интуитивно они очевидны.) Формулы (1) (3) и (4)

(6) справедливы и при x → ∞, −∞, +∞. Предел lim f (x)ϕ(x) может

x→x0

привести также к неопределенностям 00, ∞0, которые мы рассмотрим позднее.

3.5.3. Найдите следующие пределы:

x2 + 3x

x→∞

а) x→0 1 +

x + 1

2x + 1

lim

;

б)

lim

1 +

;

в) x→∞ 1 + x2 + 1

x+1

x→−∞

x + 1

x +1

lim

;

г)

lim

1 +

x→0

x2 + 3x

x + 1 = 0, то можем положить в

Решение: а) так как lim

соответствии с (2) α(x) =

x2 + 3x

, ϕ(x) =

. Получаем

x + 1

x→0 1 +

x2+3x 2

2(x+3)

x + 1

= e

= e ;

lim

x + 3x

lim

x+1

·x

lim

x+1

x→0

б) полагаем

в (2)

α(x) =

что возможно,

так

как

2x + 1

x→∞

2x + 1

lim

x→∞

= e

;

lim α(x) = 0. Получаем

2x+1

x→∞

lim

1 +

x+1

в) x→∞ 1 + x2 + 1 x2+1

lim

= ex→∞ x2+1

= e0 = 1;

г) x→−∞ 1 + x + 1

= e

= 0, так как

lim

lim x+1

x→−∞

x lim

x2 + 1

x + 1/x

= −∞.

= x lim

x + 1

1 + 1/x

→−∞

Все четыре рассмотренных предела содержат неопределённость 1∞. Раскрывая эту неопределённость, можно получить самые разнообразные ответы, включая 0, 1 и ∞.

3.5. Второй замечательный предел (задача 4, г)

3.5.4. Найдите следующие пределы:

x+4

x→∞

x + 3

x→5

4x − 18

;

а) lim

x + 2

б) lim

x − 3

5−x

Решение: а) так как

lim

x + 2

= 1, то имеем право применить

x→∞ x + 3

формулу (3), положив в ней f (x) =

x + 2

, ϕ(x) = x + 4. Получаем

x+4

x + 3

x→∞ x + 3

lim x+2

1 (x+4)

lim

−(x+4)

x+3

= (1∞) = e

= e

lim

x + 2

x→∞( x+3 − )·

x→∞

= e−1 = 1/e;

x − 3

б) поскольку lim

= 1, то также применима формула (3).

→

−

x−3

−

(15

3x) 2

−

5 x

lim

)·5−x

Находим

lim

x − 3

= (1∞) = ex→5( 4x−18

−

x→5

lim

− ·

(5−x)(4x−18)

= e3.

= ex→5

3.5.5. Найдите следующие пределы:

а) x→1

2x + 3

x−2

x→−∞ x + 1

;

lim (x2 + 2)x +1; б)

lim

x +1

в) x→−∞

4x + 1

4x2

+ 1

8x + 5

;

г)

x→+∞ 5x2

+ 2

lim

Решение: а) так как lim (x2 + 2) = 3, lim (x3 + 1) = 2 и функции

x→1

f (x) = x2 + 2 и ϕ(x) = x3 + 1 непрерывны в точке x = 1, то

lim (x2 + 2)x3+1 = 32 = 9 (см. (4));

x→1

x→−∞

x + 1

= 2,

x→−∞

−

−∞

б) находим

lim

2x + 3

lim

(x 2) =

, следова-

x−2

2x + 3

тельно,

x→−∞ x + 1

= 0;

lim

в) x lim

4x + 1

, x lim

x3 = −∞, поэтому

8x + 5

→−∞

∞

→−∞

x→−∞

8x + 5

lim

4x + 1

= +

(см. (6));

lim

4x2 + 1

, lim

x2 + 1

= +

∞

, поэтому

г) x +

5x2 + 2 5

x +

→ ∞

x2+1

→ ∞

x→+∞

4x2

+ 1

= 0 (см. (5)).

5x2

+ 2

lim

100

3. Методические указания (контрольная работа № 3)

Задачи для самостоятельного решения

3.5.6 3.5.8. Найдите следующие пределы.

2x2+3

− 4

sin(x−2)

;

3.5.6. а) lim

1 +

;

б)

lim

1 +

+ 1

→∞

→

x + 3

в)

x−1

;

lim

1 + sin2 4x x ; г) lim (1 + tg x) x3

x→0

x1→0

sin2(x−3)

д)

lim

1 +

x − 3

x→3+0

x2 + 1

Ответы:

а) e2;

б) e4/5;

в) 1;

г) 0;

д) +∞.

5x2 + 3

4x+3

; б)

x−π

lim

5x2 − 2x + 1

3.5.7. а) x→∞

x→π

указание: использовать формулу

tg α

tg β =

sin(α − β)

;

−

24cos α · cos β

3x + 1

8x − 14

;

в)

lim

x−1 ;

г)

lim

x3−8

x + 3

x→1

x→2

3x − 4 4

+ 4

+ 6

lim

;

е)

lim

;

+ 1

+ 4

д) x→∞ x2

x→∞

lim

x2 + 1

x2 − 6

ж) x→−∞

Ответы:

а) e8/5;

б) e;

в) e2;

г) e5;

д) 1;

е) ∞; ж) 0.

x + 5

4x + 1

3.5.8. а)

lim

;

б)

lim

;

3x + 2

→−∞

→ ∞ 5x +

в)

lim

4x + 3

;

г)

lim

8x2 + 3x + 1

2x + 1

16x2 + 7

x→+∞

x→−∞

Ответы:

а) 0;

б) 0;

в) +∞;

г) +∞.

Используя число e, вводят ряд новых функций: ex, называемую

экспонентой, ch x =

ex + e−x

гиперболический косинус, sh x =

ex − e−x

гиперболический синус, th x =

sh x

ex − e−x

ги-

ch x

ex + e−x

перболический тангенс, cth x =

ch x

ex + e−x

гиперболический

sh x

ex − e−x

котангенс. Функции sh x, ch x, th x, cth x называют гиперболическими. Находят применение и функции, обратные гиперболическим:

arsh x, arch x, arth x, arcth x.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.05.20156.09 Mб5Comp_Plan_2012_Russian.pdf
#
10.05.2015155.14 Кб28conDM.doc
#
10.05.20151.82 Mб64Demografia.doc
#
11.05.2015182.98 Кб5Detalizirovannyi_spisok_voprosov_k_ehkzamenu_2.pdf
#
11.05.2015172.05 Кб4diagram.pdf
#
11.05.20151.41 Mб22dif.pdf
#
11.05.20153.77 Mб7DifYr.pdf
#
11.05.2015962.08 Кб17Diskretnaya_mat-ka_CH.1_UP.pdf
#
10.05.20152.07 Mб102Dismat1.doc
#
11.05.2015344.93 Кб9DM3.pdf
#
11.05.201565.65 Кб4Dzh_Kholton_Chto_Takoe_Antinauka.docx