Lesn4_Rjady_I
.pdf
Глава II. Функциональные ряды
Теорема 5. (О почленном дифференцировании ряда).
Пусть ряд un (z) равномерно сходится в области D и все функции un (z) аналитичны в этой области. Тогда и
сумма ряда S(z) аналитична в области D, при этом в области D ряд можно дифференцировать почленно:
|
n |
|
|
n |
|
||
(z) |
|
(3) |
|||||
S (z) |
u |
|
u (z) . |
||||
В случае ряда из вещественных функций последняя теорема принимает другой вид.
Теорема 5 . Пусть на отрезке [a; b]:
1) ряд un (x) равномерно сходится;
2) все функции un (x) имеют непрерывные производные;
3) ряд u (x) равномерно сходится. n
Тогда сумма ряда un (x) дифференцируема на отрезке [a; b], при этом ряд можно дифференцировать почленно:
|
n |
|
|
|
n |
|
||
(x) |
|
(4) |
||||||
|
u |
|
|
u (x) . |
||||
На этом мы закончим исследование функциональных рядов общего вида. Перейдем к рассмотрению функциональных рядов наиболее простой структуры – степенных рядов.
40
§5. Приложения операционного исчисления.
41