Lesn4_Rjady_I
.pdfГлава I. Числовые ряды |
|
|
|
|
|
|
|
||
димости ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 2. (Необходимый признак сходимости). |
|
||||||||
Если ряд an |
сходится, то общий член ряда an являет- |
||||||||
ся бесконечно малой при n , то есть |
|
|
|||||||
|
|
|
lim a 0 . |
|
|
|
(8) |
||
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
Доказательство. Пусть ряд |
an сходится, то есть существует |
||||||||
конечный предел lim Sn . Представим |
an в виде: an = Sn Sn 1. |
||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда имеют место равенства: |
|
|
|
|
|||||
lim a |
lim (S |
|
S |
|
) lim S |
|
lim S |
|
S S 0 . ► |
n n |
n |
n |
|
n 1 |
n |
n |
n |
n 1 |
|
Следствие. Если lim an 0 , то ряд an расходится.
n
Таким образом, необходимый признак можно использовать для доказательства расходимости ряда.
Пример 4.
Исследуем на сходимость ряд n(n 1) .
2n2 1
Так как an 12 0 при n , то ряд расходится.
Предостережение. Признак (8) не является достаточным для сходимости ряда.
Пример 5.
Рассмотрим вещественный ряд, называемый гармоническим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
13 ... |
1 |
... |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
n |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для этого ряда lim a |
|
lim |
1 |
0 . А каков же предел |
lim S |
n |
? |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
n n |
|
|
|
|
|
n |
|
||||||
|
|
|
Как |
известно, |
для |
|
|
всякого |
x 0 выполняется неравенство |
|||||||||||||
|
x ln(1 x) . Положив |
x |
1 |
, получаем неравенства |
1 |
ln 1 |
1 |
, |
n N . |
|||||||||||||
n |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|||
Используя |
свойства |
логарифма, |
представим неравенства |
в |
виде |
|||||||||||||||||
|
1 |
|
ln(n 1) ln n . Сложим почленно первые n неравенств: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§1. Комплексные числовые ряды …
1 |
1 |
|
1 ... |
1 |
(ln 2 ln1) (ln3 ln 2) (ln 4 ln3) ... (ln(n 1) ln n) . |
||||
|
|
||||||||
2 |
|
3 |
n |
|
|
|
|
||
Перепишем это неравенство в виде |
Sn ln(n 1) . В полученном нера- |
||||||||
венстве перейдем к пределу: lim Sn |
lim ln(n 1) . Следовательно, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim Sn и ряд |
1 |
расходится. |
|
||||||
n |
|
||||||||
n |
|
|
n 1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что сумма гармонического ряда возрастает очень мед- |
||||||
ленно: |
S1 1; |
|
S1000 7,48; |
S1000000 14,36 . Поэтому ряд занимает по- |
граничное положение между сходящимися и расходящимися рядами.
ад рядами, как и над конечными суммами, можно выполнять различные операции. Рассмотрим сначала две линейные операции.
Определение 4. Суммой рядов an и bn |
называется ряд |
|
|
an bn . |
|
|
|
|
|
Произведением ряда an на число c называется ряд |
|
|
can . |
|
Имеют место следующие свойства линейных операций над |
||
рядами. |
|
|
Теорема 3. Сумма сходящихся рядов an |
и bn является |
сходящимся рядом. При этом выполняется равенство
an bn an bn . |
(9) |
Доказательство. Обозначим через Sn , n , n n-ые частичные суммы рядов соответственно an bn , an , bn . Для этих сумм выполняется равенство Sn n n .
По условию ряды an и |
bn |
сходятся, поэтому суще- |
|
ствуют конечные пределы |
lim n и |
lim n . Но тогда, как из- |
|
|
n |
|
n |
вестно, существует конечный предел
11
Глава I. Числовые ряды
|
|
lim Sn |
lim n |
lim n . |
|
|
|
n |
n |
n |
|
Отсюда вытекают оба утверждения теоремы. |
► |
||||
Теорема 4. |
Для любого числа c 0 |
ряд can сходится тогда |
|||
|
и только тогда, когда сходится ряд an . Если ряды схо- |
||||
|
дятся, то выполняется равенство |
|
|||
|
|
can c an . |
(10) |
||
Доказательство выполнить самостоятельно. |
|
||||
|
зглянем теперь на |
комплексный ряд an «изнутри». |
|||
Представим |
слагаемые |
ряда в |
алгебраической |
форме |
an n i n . Запишем ряд n из вещественных частей слагаемых и ряд n из мнимых частей. Оба ряда являются вещественными.
Таким образом, имея комплексный ряд ( n i n ) , мо-
жем по нему построить два вещественных ряда. Обратно, имея два вещественных ряда, можем построить комплексный ряд.
|
Как связана сходимость комплексного ряда |
( n i n ) |
||
со сходимостью вещественных рядов n и n ? |
|
|||
Теорема 5. Комплексный ряд ( n i n ) |
сходится тогда и |
|||
|
только |
тогда, когда сходятся оба вещественных ряда |
||
|
||||
|
n и |
n . Если ряды сходятся, |
то выполняется ра- |
|
|
венство |
|
|
|
|
|
( n i n ) n i n . |
(11) |
|
|
|
|||
Доказательство. Обозначим через Sn , n , |
n n-ые частичные |
|||
суммы рядов соответственно ( n i n ) , |
n , |
n . Для |
этих сумм выполняется равенство Sn n i n .
Согласно критерию сходимости комплексной последова-
тельности Sn n i n конечный предел |
lim Sn существует |
|
n |
12 |
|
§1. Комплексные числовые ряды …
тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы
lim n и |
lim n . При этом выполняется равенство |
|
||
n |
n |
|
|
|
|
lim Sn lim n i lim n . |
|
||
|
n |
n |
n |
|
Отсюда вытекают оба утверждения теоремы. |
► |
Таким образом, вопрос о сходимости комплексного ряда сводится к вопросу о сходимости двух вещественных рядов. Исследованием сходимости вещественных рядов мы и займемся далее.
13
Глава I. Числовые ряды
Лекция 2
§2. Вещественные положительные ряды
В данном параграфе рассмотрим более простые по структуре вещественные числовые ряды an . Все слагаемые an
ряда являются положительными вещественными числами. Такие ряды называются кратко положительными рядами.
Рассмотрим сначала признаки сходимости положительного ряда, в основе которых лежит сравнение данного ряда с другим рядом. При этом для второго ряда вопрос о сходимости либо уже решен, либо может быть легко решен.
1. Признаки сравнения положительных рядов
режде всего, отметим, что последовательность частичных сумм {Sn} положительного ряда является возрастающей. Отсюда вытекает следующее свойство положительных рядов.
Замечание. Для всякого положительного ряда an предел
lim Sn существует (конечный или бесконечный).
n
Действительно, если последовательность {Sn} частичных сумм ограничена, то согласно теореме Вейерштрасса она схо-
дится, то есть существует конечный предел lim Sn . Если же она
n
неограниченна, то в силу ее монотонного возрастания существу-
ет предел lim Sn .
n
ервый признак сравнения вытекает непосредственно из приведенного замечания.
Теорема 1. (Первая теорема сравнения).
Пусть для положительных рядов an и bn начиная
14
§2. Вещественные положительные ряды
с некоторого номера n, выполняются неравенства |
|
an bn . |
(1) |
Тогда сходимость "большего" ряда bn |
влечет сходи- |
мость "меньшего" ряда an , расходимость "меньшего" |
|
ряда влечет расходимость "большего" ряда. |
|
Доказательство. Согласно теореме 1 из §1 можем считать, что неравенства (1) выполняются для всех номеров n.
Обозначим через Sn и n соответственно частичные |
||
суммы рядов |
an и |
bn . Согласно (1) для них выполняется |
неравенство |
Sn n . |
Перейдем в этом неравенстве к пределу: |
lim Sn lim n . В силу замечания оба предела существуют. |
|||||||||||||||||||||||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Если теперь ряд |
bn сходится, то есть предел |
lim n |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
конечен, то |
конечен и |
меньший |
предел |
lim Sn , то есть ряд |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||
an |
тоже сходится. Если же ряд an |
|
|
расходится, то есть пре- |
|||||||||||||||||||
дел |
lim Sn |
бесконечен, |
то бесконечен |
и |
больший |
предел |
|||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim n , то есть ряд bn |
тоже расходится. |
|
|
|
|
► |
|||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Исследуем на сходимость ряд |
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||
|
При n 2 выполняется неравенство |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
. Геометрическая |
|||||||||||||
|
n n |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n |
|
||||||
прогрессия |
|
|
1 |
сходится так как |
q |
1 |
1. Согласно теореме 1 |
||||||||||||||||
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда сходится и исследуемый ряд |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 2. |
(Вторая теорема сравнения). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Пусть для положительных рядов an и bn существует |
||||||||||||||||||||||
|
конечный ненулевой предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
an |
c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда оба ряда сходятся или оба расходятся.
15
Глава I. Числовые ряды
Доказательство. Пусть существует конечный ненулевой предел
(2). Так как |
an |
0 , то по теореме о предельном переходе в не- |
|
b |
|||
|
|
||
|
n |
|
равенстве выполняется неравенство c 0 . Возьмем произволь-
ное число , удовлетворяющее условию |
0 c . |
|
|||||||||
Согласно определению предела (2), начиная с некоторого |
|||||||||||
номера, выполняется неравенство |
|
an |
c |
|
. Преобразуем его: |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
an |
c ; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
c |
an |
c ; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
(c )bn an (c )bn . |
(*) |
||||||||||
Если ряд bn |
сходится, то по теореме 4 из §1 сходится |
||||||||||
положительный ряд |
(с )bn . |
Из неравенств |
an (c )bn |
(см. (*)) согласно теореме 1 следует сходимость ряда an .
Если же ряд bn расходится, то расходится и положи-
тельный ряд (с )bn . Из неравенств (c )bn an |
согласно |
теореме 1 следует расходимость ряда an . |
► |
Заметим, что если общий член положительного ряда an
не является бесконечно малым при n , то согласно необходимому признаку ряд расходится. Следовательно, остается рассмотреть вопрос о сходимости только тех положительных рядов, общие члены которых являются бесконечно малыми при n . Для таких рядов согласно теореме 2 справедливо
Следствие. Если в положительном ряду бесконечно малый общий член заменить на эквивалентный, то сходимость ряда не изменится.
Действительно, если в положительном ряду an общий член an является бесконечно малым, эквивалентным bn , то вы-
полняется равенство lim an 1 . Согласно теореме 2 ряд bn
n bn
16
§2. Вещественные положительные ряды
ведет себя по сходимости так же, как и ряд an .
Пример 2.
Исследуем на сходимость ряд sin n2 .
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||
Так как |
sin |
|
|
|
, |
то ряды sin |
|
и |
|
оба сходятся или оба |
|||||
|
|
|
|||||||||||||
n |
n |
n |
n |
||||||||||||
расходятся. Но ряд |
|
2 |
расходится, так как расходится гармониче- |
||||||||||||
n |
|||||||||||||||
ский ряд |
1 |
. Следовательно, расходится и ряд sin |
2 |
. |
|||||||||||
|
|||||||||||||||
n |
|||||||||||||||
n |
2.Признаки сходимости положительных рядов
Воснове признаков сходимости положительных рядов лежит сравнение исследуемого ряда с эталонным рядом aqn 1 .
Рассмотрим сначала вспомогательное утверждение.
Лемма 1. Пусть для положительного ряда an существует такое число q R, что, начиная с некоторого номера, вы-
полняются неравенства |
an 1 |
|
an |
||
|
q 1. Тогда ряд |
an |
сходится. Если же, начиная с некоторого номера, выпол-
няются неравенства an 1
an
1 , то ряд расходится (по необ-
ходимому признаку).
Доказательство. В силу теоремы 1 предыдущего параграфа можно считать, что неравенства в условиях леммы выполняются для всех номеров.
Пусть выполнено первое условие леммы: |
an 1 |
q 1. То- |
|||||||||
an |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
гда для всех натуральных чисел |
k имеем: |
ak 1 ak |
q . Отсюда |
||||||||
следует: a |
a |
q a |
q2 |
|
a qn 1 , |
то есть |
a |
a qn 1 . |
|||
n |
n 1 |
n 2 |
|
|
1 |
|
|
|
n |
1 |
|
Эти неравенства |
говорят |
о |
том, что |
ряд |
an меньше ряда |
||||||
a1 qn 1 . |
Ряд |
a1 qn 1 |
является |
бесконечной |
убывающей |
17
Глава I. Числовые ряды
прогрессией, поэтому сходится. По первому признаку сравнения тогда сходится и меньший ряд an .
Пусть теперь выполнено второе условие леммы: an 1 1 .
an
Тогда для всех натуральных чисел n имеем: an 1 an . Это означает, что последовательность {an } является возрастающей. Ее
предел lim an существует и, так как an a1 , удовлетворяет усло- |
|||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
вию lim an |
lim a1 a1 0 . Следовательно, |
lim an 0 . Согласно |
|||||
n |
n |
|
|
|
n |
|
|
необходимому признаку ряд |
an расходится. Лемма 1 доказа- |
||||||
на. |
|
|
|
|
|
► |
|
Теорема 3. (Признак Даламбера ). |
|
|
|||||
|
Пусть для положительного ряда an |
существует предел |
|||||
|
|||||||
|
|
|
lim |
an 1 |
d . |
|
(3) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n |
an |
|
|
|
|
Тогда при |
d 1 ряд сходится, а при d 1 |
расходится |
||||
|
(по необходимому признаку). |
|
an суще- |
||||
|
|
||||||
Доказательство. |
Пусть для положительного ряда |
ствует предел (3). По определению предела имеем: для любого числа 0 , начиная с некоторого номера, выполняется неравен-
ство |
|
|
an 1 |
d |
. Оно равносильно двойному неравенству |
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
an 1 |
d . |
(*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
Если теперь d 1 , то возьмем такое , чтобы выполнялось |
|||||
неравенство d 1. Тогда согласно (*) |
имеем неравенство |
|||||||||
|
an 1 |
|
d 1 . Положив в нем q d , получим первое усло- |
|||||||
|
an |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вие леммы 1. Следовательно, ряд an сходится.
Если же d 1 , то возьмем такое , чтобы выполнялось не-
Даламбер, Жан Лерон (1717 – 1783), французский математик и физик.
18
§2. Вещественные положительные ряды
равенство |
d 1 . Тогда |
|
согласно |
(*) |
имеем |
неравенство |
|||||||||||||
|
an 1 |
d 1. Поэтому |
|
an 1 |
|
1 . По второму условию леммы 1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
an |
|
|
|
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд an |
расходится по необходимому признаку. |
► |
|||||||||||||||||
Пример 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Исследуем на сходимость ряд |
xn |
|
, где |
x R и x 0 . |
|||||||||||||
|
|
n! |
|||||||||||||||||
|
|
Применим признак Даламбера: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
xn 1 n! |
|
|
|
x |
|
|
|||||
|
|
|
d lim |
n 1 |
|
lim |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
0 |
1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n an |
n (n 1)! xn |
|
|
n n 1 |
|
|
Следовательно, ряд xnn! сходится.
Рассмотрим еще одно вспомогательное утверждение.
Лемма 2. Пусть для положительного ряда an существует такое число q R, что, начиная с некоторого номера, вы-
|
|
|
an |
полняются неравенства n an q 1. Тогда ряд |
сходится. Если же, начиная с некоторого номера, выполняются неравенства nan 1 , то ряд расходится (по необ-
ходимому признаку).
Доказательство проводится аналогично доказательству леммы 1. В силу теоремы 1 предыдущего параграфа можно считать, что неравенства в условиях леммы выполняются для всех номеров.
Пусть выполнено первое условие леммы: nan q 1 . Тогда для всех натуральных чисел n имеем: an qn . Запишем не-
равенства так: |
an q qn 1 . Они говорят |
о том, что ряд an |
|
меньше ряда |
q qn 1 . Ряд |
q qn 1 |
является бесконечной |
убывающей прогрессией, поэтому сходится. По первому признаку сравнения тогда сходится и меньший ряд an .
Пусть теперь выполнено второе условие леммы: nan 1 . Тогда для всех натуральных чисел n имеем: an 1n 1. Если
19