теория вероятностей
.pdf
21
..., pn = P( X = xn ), то ее закон распределения можно представить в виде
таблицы распределения (табл. 2.2).
Таблица 2.2 Таблица распределения дискретной случайной величины
|
|
|
|
|
|
|
X = xi |
x1 |
|
x2 |
. . . |
xn |
|
P( X = xi ) |
p1 |
|
p2 |
. . . |
pn |
|
Значения случайной величины |
X обычно записываются в таблице рас- |
|||||
пределения в порядке возрастания. Поскольку в верхней строке таблицы рас-
пределения записаны все значения случайной величины |
X , то нижняя обла- |
дает свойством |
|
n |
|
p1 + p2 +... + pn = ∑pi =1. |
(2.1) |
i=1 |
|
Таблицу распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически. По оси абсцисс откладывают значения случайной величины,
по оси ординат — вероятности значений, точки с координатами (xi ; pi ) со-
единяют отрезками прямой. Полученная фигура называется многоугольником распределения вероятностей (рис. 2.1).
pi
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x4; p4 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
(x2; p2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(x1; p1) |
|
|
|
|
|
|
|
(x3; p3 ) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
||
|
x1 |
|
|
|
|
|
x4 |
|
xi |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.1. Многоугольник распределения вероятностей дискретной случайной величины
Закон распределения случайной величины может быть задан с помощью функции распределения.
22
Функцией распределения случайной величины X называется функция
F(x) , выражающая вероятность того, что X примет значение, |
меньшее за- |
данного числа x : |
|
F(x) = P( X < x) |
(2.2) |
Чтобы найти значение функции распределения в точке x , |
нужно про- |
суммировать вероятности значений xi , которые лежат левее точки x :
F(x) = ∑pi .
xi <x
Графиком функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатая функция, причем высота «ступеньки» с абсциссой в точке
xi равна вероятности pi (рис. 2.2).
F(x) |
|
|
1 |
p4 |
|
|
||
|
|
|
p3{ |
|
|
|
|
|
p2
p1
|
|
x2 |
|
|
|
x3 |
|
|
|
x1 |
|
|
0 |
|
|
x4 |
x |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.2. График функции распределения
|
Свойства функции распределения |
1. |
Функция распределения ограничена: 0 ≤ F(x) ≤1. |
2. |
Предельные значения функции распределения: F(−∞) = 0, |
F(+∞) =1.
3.Функция распределения не убывает.
4.Функция распределения непрерывна слева.
5.Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α
до β (включая α) выражается формулой:
23
P(α ≤ X < β) = F(β) − F(α). |
(2.2) |
Пример 2. Записать функцию распределения для случайной величины X из примера 1 и найти вероятность попадания случайной величины X в промежуток [0, 1.5).
Решение. Пользуясь таблицей распределения случайной величины X (табл. 2.1), найдем значения функции распределения:
0, если x ≤ 0; |
|
|
|
если 0 < x |
≤1; |
0.25, |
||
F(x) = |
если 1 < x ≤ 2; |
|
0.75, |
||
1, если x > 2. |
|
|
|
|
|
Вероятность попадания случайной величины |
X в промежуток [0, 1.5) |
|
найдем по формуле (2.2):
P(0 ≤ X <1.5) = F(1.5) − F(0) = 0.75 −0 = 0.75.
Постройте график этой функции распределения и убедитесь в выполнении свойств 1–4.
Проводя математические операции над случайной величиной |
X , мы |
|||||||||||||
вновь получаем случайную величину. Пусть случайная величина X принима- |
||||||||||||||
ет значения xi с вероятностями pi |
= P( X = xi ), i =1, 2,..., n. |
Произведение |
||||||||||||
случайной величины X на постоянную величину |
k — это новая случайная |
|||||||||||||
величинаY = kX , |
принимающая |
значения |
yi |
= kxi |
с |
вероятностями |
||||||||
pi , i =1, 2,..., n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Квадрат |
случайной |
величины |
X |
есть случайная |
величина |
Y = X 2 , |
||||||||
принимающая значения y |
i |
= x2 с вероятностями p , i =1, 2,..., n . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
||||
Случайная величина Y = α +βX ( α, β — постоянные) принимает зна- |
||||||||||||||
чения yi = α+βxi |
с соответствующими вероятностями |
pi , i =1, 2,..., n . |
||||||||||||
Сумма случайных величин X и Y — это новая случайная величина |
||||||||||||||
Z = X +Y , |
принимающая |
все |
значения |
вида |
xi + yi |
|||||||||
(i =1, 2,..., n; |
j =1, 2,..., m) |
с вероятностями |
pij |
= P( X = xi , Y = y j ) — |
||||||||||
одновременного наступления событий |
X = xi |
и Y = y j |
. По формуле умно- |
|||||||||||
жения вероятностей (1.6) эта вероятность равна |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
pij = P( X = xi , Y = y j ) = P( X = xi )P(Y = y j |
|
X = xi ). |
|
(2.3) |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
24 |
|
Если случайные величины X и Y независимы (т.е. при всех i и j |
не- |
зависимы события X = xi и Y = y j ), то формула (2.3) принимает вид |
|
pij = P( X = xi , Y = y j ) = P( X = xi )P(Y = y j ). |
(2.4) |
Аналогично определяются разность и произведение случайных величин
Xи Y .
2.2.Числовые характеристики дискретной случайной величины
Закон распределения случайной величины (таблица распределения, функция распределения) дает полное описание случайной величины. Числовые характеристики описывают случайную величину не полностью, но дают о ней важную информацию.
Пусть случайная величина X принимает значения xi с вероятностями
pi , i =1, 2,..., n . Математическим ожиданием случайной |
величины X |
называется число |
|
M ( X ) = x1 p1 + x2 p2 +... + xn pn , |
(2.5) |
равное сумме произведений значений xi на их вероятности pi . Геометриче-
ский смысл математического ожидания — абсцисса центра тяжести многоугольника распределения. Если провести несколько серий наблюдений случайной величины X , то средние арифметические полученных значений, вычисленные для каждой серии наблюдений, будут колебаться около постоянного числа, которое и есть математическое ожидание случайной величины X . Эта связь между средним арифметическим наблюдений и математическим ожиданием установлена с помощью закона больших чисел, который мы рассмотрим позднее.
Свойства математического ожидания
1.Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной величине: M (c) = c .
2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M (kX ) = kM ( X ) .
3.Для любых случайных величин X и Y математическое ожидание
суммы равно сумме математических ожиданий: M ( X +Y ) = M ( X ) + M (Y ) .
4. Для независимых случайных величин X и Y математическое ожида-
ние произведения равно произведению математических ожиданий:
M ( XY ) = M ( X )M (Y ) .
25
Для оценки степени рассеяния значений случайной величины X около ее среднего значения M (X ) = a вводятся понятия дисперсии D(X ) и сред-
него квадратического отклонения (с.к.о.) σ(X ) .
Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от ее математического ожидания M (X ) = a :
n
D(X ) = M (X −a)2 = ∑(xi −a)2 pi .
i=1
Среднее квадратическое отклонение определяется как корень из дис-
персии:
σ( X ) = D(X ).
Размерность величин M (X ) и σ(X ) совпадает с размерностью самой
случайной величины X , а размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины X .
Свойства дисперсии
1.Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c) = 0 .
2.Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, воз-
ведя его в квадрат: D(kX ) = k 2D(X ) .
3. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(X +Y ) = D(X ) + D(Y ) .
4. Для дисперсии справедлива вычислительная формула:
D(X ) = M (X 2 ) −(M (X ))2 |
(2.6) |
Пример. Подброшены две монеты. Случайная величина |
X — количест- |
во выпавших гербов. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины X .
Решение. Закон распределения случайной величины X имеет вид
(табл. 2.1):
P( X = 0) = 0.25; P(X =1) = 0.5; P( X = 2) = 0.25.
Математическое ожидание найдем по формуле (2.5):
M ( X ) = 0 0.25 +1 0.5 + 2 0.25 =1,
26
то есть при многократном проведении этого опыта среднее значение количества выпавших гербов будет близко к единице.
Дисперсию найдем по формуле (2.6):
D(X ) = M (X 2 ) −(M (X ))2 = (02 0.25 +12 0.5 + 22 0.25) −12 =1.5 −1 = 0.5.
Среднее квадратическое отклонение найдем по определению:
σ(X ) = D(X ) = 
0.5 = 0.707.
2.3. Биномиальное распределение
Биномиальный закон распределения наблюдается при проведении испытаний по схеме Бернулли. Рассмотрим последовательность идентичных повторных испытаний, в каждом из которых нас интересует вопрос: наступило или нет одно и то же событие A ? Например, подбрасывая игральный кубик, при каждом испытании наблюдаем, выпало ли шесть очков или нет.
Говорят, что имеет место схема испытаний Бернулли, если
1)проводится n независимых испытаний;
2)каждое испытание имеет два исхода: успех (У) и неудача (Н);
3)вероятность успеха P(У) = p, 0 < p <1 , остается неизменной от ис-
пытания к испытанию; вероятность неудачи q =1 − p .
Биномиальным законом распределения называется закон распределения случайной величины X — числа появлений «успеха» в схеме из n испытаний Бернулли.
Вероятность того, что в схеме из n испытаний Бернулли успех наступит ровно k раз, вычисляется по формуле:
P (X |
= k) = Ck pk qn−k = |
n! |
pk qn−k . |
(2.7) |
|
|
|
||||
n |
n |
(n −k)!k! |
|
|
|
|
|
|
|
||
Для случайной величины X , распределенной по биномиальному закону |
|||||
с параметрами n и p (будем обозначать |
X ~ Bin(n, p) ) числовые характе- |
||||
ристики равны |
|
|
|
|
|
|
M (X ) = np; D(X ) = npq. |
|
(2.8) |
||
Задача. Известно, что в определенном городе 20 % горожан предпочитают добираться на работу личным автотранспортом. Случайно выбраны четыре человека. Обозначим X — число людей в этой выборке, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом. Составьте таблицу распределения случайной величины X ; постройте многоугольник распределения; най-
27
дите числовые характеристики случайной величины X ; запишите функцию распределения и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что среди четырех случайно отобранных человек а) не будет ни одного человека, предпочитающего добираться на работу личным автотранспортом; б) окажется хотя бы один человек, предпочитающий добираться на работу личным автотранспортом; в) будет не больше двух, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом.
Решение. Перечислим все возможные значения случайной величины X : 0, 1, 2, 3, 4.
Все четыре испытания — независимы, то есть вероятность того, что каждый из отобранных людей предпочитает добираться на работу личным автотранспортом, не зависит от того, каким способом предпочитает добираться на работу любой другой человек из числа случайно отобранных.
Вероятность «успеха» (того, что каждый из отобранных людей предпочитает добираться на работу личным автотранспортом) постоянна и равна p = 0.2 . Вероятность «неудачи» q =1 − p = 0.8 .
Очевидно, что случайная величина X подчиняется биномиальному закону распределения с параметрами n = 4 и p = 0.2 .
Составим таблицу распределения случайной величины. Для этого по формуле (2.7) рассчитаем вероятности того, что случайная величина X примет каждое из своих возможных значений:
P(X = 0) = C40 p0q4 = 44!0!! (0.2)0 (0.8)4 = 0.4096;
P(X =1) = C14 p1q3 = 34!1!! (0.2)1(0.8)3 = 0.4096;
P(X = 2) = C42 p2q2 = 24!2!! (0.2)2 (0.8)2 = 0.1536;
P(X = 3) = C43 p3q1 = 34!1!! (0.2)3 (0.8)1 = 0.0256;
P(X = 4) = C44 p4q0 = 04!4!! (0.2)4 (0.8)0 = 0.0016.
Запишем полученные вероятности в таблицу распределения (табл. 2.3) и сделаем проверку. Так как все возможные значения случайной величины X образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей должна быть равна единице:
0.4096 +0.4096 +0.1536 +0.0256 +0.0016 =1.
28
Таблица распределения случайной величины X |
Таблица 2.3 |
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X = xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
P(X = xi ) = pi |
0.4096 |
0.4096 |
0.1536 |
0.0256 |
|
0.0016 |
|
Таблицу распределения (табл. 2.3) представим графически в виде многоугольника распределения (рис. 2.3).
pi
0.4
0.3
0.2
0.1
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
xi |
||||||
|
|
|
|
|
Рис. 2.3. Многогранник распределения случайной величины X
Найдем числовые характеристики данной случайной величины. Математическое ожидание любой дискретной случайной величины может быть рассчитано по определению (формула (2.5)):
n
M ( X ) = ∑xi pi = 0 0.4096 +1 0.4096 + 2 0.1536 +
i=1
+3 0.0256 + 4 0.0016 = 0.8.
Но так как X — биномиально распределенная случайная величина с параметрами n = 4 и p = 0.2 , то ее математическое ожидание может быть най-
дено по формуле (2.8):
M (X ) = np = 4 0.2 = 0.8.
Дисперсию этой случайной величины также можно рассчитать двумя способами. По вычислительной формуле для дисперсии произвольной случайной величины (2.6) имеем:
29
D(X ) = M (X 2 ) −(M (X ))2 =
+(02 0.4096 +12 0.4096 + 22 0.1536 +
+3 0.0256 + 4 0.0016) −(0.8)2 =1.28 −0.64 = 0.64,
а по формуле (2.8) для биномиального закона распределения
D( X ) = npq = 4 0.2 0.8 = 0.64.
Среднее квадратическое отклонение равно
σ( X ) = D( X ) = 
0.64 = 0.8.
Построим теперь функцию распределения данной случайной величины X . По условию нашей задачи и определению функции распределения
F(x) = P( X < x) = ∑P( X = xi ),
xi <x
где для каждого значения x суммируются вероятности тех значений xi , кото-
рые лежат левее точки x . Рассчитаем эти суммарные вероятности для разных значений x .
Если x ≤ 0 , то F(x) = P(X < x) = P(X = 0) = 0. При 0 < x ≤1 F(x) = P(X < x) = P(X = 0) = 0.4096.
При |
1 < x ≤ 2 |
F(x) = P(X < x) = P(X = 0) + P(X =1) = 0.4096 |
+ |
|
+0.4096 = 0.8192. |
|
F(x) = P(X < x) = P(X = 0) + P(X =1) + |
||
Если |
2 < x ≤ 3 , |
то |
||
+P( X = 2) = 0.4096 +0.4096 +0.1536 = 0.9728. |
|
|||
Если |
3 < x ≤ 4 , |
то |
F(x) = P(X < x) = P(X = 0) + P(X =1) + |
|
+P(X = 2) + P(X = 3) = 0.4096 +0.4096 +0.1536 +0.0256 = 0.9984. |
|
|||
Если |
x > 4 , то F(x) = P( X < x) = P( X = 0) + P( X =1) + P( X = 2) |
+ |
||
+P(X = 3) + P(X = 4) =1. |
|
|
||
Итак, функция распределения случайной величины X имеет вид:
0 при x ≤ 0;0.4096 при 0 < x ≤1;
0.8192 при 1 < x ≤ 2;
F(x) =
0.9728 при 2 < x ≤ 3;0.9984 при 3 < x ≤ 4;
1 при x > 4;
30
ее график является ступенчатой линией (рис. 2.4).
F(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
x |
|
|
|
|
|
Рис. 2.4. Функция распределения случайной величины.
Определим теперь вероятности, связанные с нашей случайной величиной. Вероятность того, что среди отобранных четырех человек не будет ни одного, предпочитающего добираться на работу личным автотранспортом, есть вероятность случайной величине X принять значение 0:
P(X = 0) = 0.4096.
Вероятность того, что среди четырех человек окажется хотя бы один такой человек — это вероятность принятия случайной величиной значений 1, или 2, или 3, или 4. Используя формулу сложения вероятностей несовместных событий, получим
P(X ≥1) = P(X =1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = = 0.4096 +0.1536 +0.0256 +0.0016 = 0.5904.
Этот же результат можно получить, перейдя к противоположному собы-
тию:
P(X ≥1) =1 − P(X <1) =1 − P(X = 0) =1 −0.4096 = 0.5904.
Вероятность того, что среди отобранных будет не больше двух, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом, рассчитаем по формуле сложения вероятностей несовместных событий:
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X =1) + P(X = 2) = = 0.4096 +0.4096 +0.1536 = 0.9728.