теория вероятностей

12

События A1, A2 , ..., An называются независимыми в совокупности,

если вероятность каждого из них не зависит от того, произошли или нет любые события из числа остальных. Вероятность совместного наступления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Вероятность совместного наступления n зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили:

Пример. Студент пришел на экзамен, изучив только 20 вопросов из 25 предложенных. Экзаменатор задает студенту три вопроса. Найти вероятность того, что студент ответит а) на все три вопроса; б) хотя бы на один вопрос.

Решение. Обозначим события: A — «студент знает все три вопроса»; A1 — «студент знает первый вопрос»; A2 — «студент знает второй вопрос»;

A3 — «студент знает третий вопрос»; B — «студент ответит хотя бы на один

— вероятность того, что студент ответит на все три вопроса, равна 0.496.

Рассмотрим событие B. Оно состоит в том, что студент ответит ровно на один вопрос, ровно на два вопроса или на все три вопроса, то есть

B = ( A1A2 A3 + A1A2 A3 + A1A2 A3 ) +( A1A2 A3 + A1A2 A3 + A1A2 A3 ) + A1A2 A3.

Для решения этой задачи также можно использовать правило умножения, но удобнее перейти к противоположному событию B — «студент не ответит ни на один вопрос из трех» и использовать формулу (1.3): P(B) =1 − P(B).

Событие B = A1A2 A3 и его вероятность по формуле (1.9) равна

13

P(B) = P( A1) P( A2 A1) P( A3 A1A2 ).

Найдем эти вероятности:

P( A1) =1 − P( A1) =1 − 2025 = 255 ;

P( A2 A1) =1 − P( A2 A1) =1 − 2024 = 244 ;

P( A3 A1A2 ) =1 − P( A3 A1A2 ) =1 − 2023 = 233 ; P(B) = 255 244 233 = 2301 ;

и вероятность события B равна

P(B) =1 − P(B) =1 − 2301 = 229230 = 0.996.

Вероятность того, что студент ответит хотя бы на один вопрос, равна 0.996.

Рассмотрим теперь независимые события.

Пример. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0.06. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0.04. Предполагается, что оба события — независимы. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит а) обе рекламы; б) хотя бы одну рекламу?

мы, применим формулу (1.8):

P( AB) = P( A) P(B) = 0.06 0.04 = 0.0024 —

— вероятность того, что потребитель увидит обе рекламы, равна 0.0024. Рассмотрим событие C = A + B. Так как события A и B совместны,

вероятность C можно найти по формуле (1.4):

P(C) = P( A) + P(B) − P( AB) = 0.06 +0.04 −0.0024 = 0.0976.

14

Второй способ — перейти к противоположному событию C = A B

(«потребитель не увидит ни одной рекламы»). Так как события A и B независимы,

P(C ) = P( A) P(B) = (1 − P( A))(1 − P(B))= 0.94 0.96 = 0.9024; P(C) =1 − P(C ) = 0.0976 —

— вероятность того, что потребитель увидит хотя бы одну рекламу, равна 0.0976. Вычисления вероятностей такого типа позволяет оценить эффективность рекламы.

1.4. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Попробуем сделать прогноз с помощью формул теории вероятностей. Пример. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций

некоторой компании в следующем году будет равна 0.75, если экономика страны будет на подъеме; и эта же вероятность будет равна 0.3, если экономика страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъема в новом году равна 0.6. Используя предположения экономиста, оценить вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году.

Решение. Обозначим события: A — «акции компании поднимутся в цене в следующем году»; H1 — «экономика страны будет на подъеме»; H2 —

16

События A и H1, A и H2 ,..., A и Hn — зависимы. Если известны вероятности гипотез P(H1), P(H2 ), ..., P(Hn ) и условные вероятности наступления события A с каждой из гипотез P( A H1), P( A H2 ), ..., P( A Hn ), то вероятность события A можно найти следующим образом:

P(A) = P(AH1) + P(AH2 ) +...+ P(AHn ) =

= P(H1) P(A H1) + P(H2 ) P(A H2 ) +...+ P(Hn ) P(A Hn ).

Итак, если событие A может наступить только вместе с одним из событий H1, H2 ,..., Hn , образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события A равна сумме произведений вероятностей каждого из

Пример. Предприятие, производящее компьютеры, получает одинаковые комплектующие детали от трех поставщиков. Первый поставляет 50 % всех комплектующих деталей, второй — 20 %, третий — 30 % деталей.

Известно, что качество поставляемых деталей разное, и в продукции первого поставщика процент брака составляет 4 %, второго — 5 %, третьего —

— 2 %. Определить вероятность того, что деталь, выбранная наудачу из всех полученных, будет бракованной.

Решение. Обозначим события: A — «выбранная деталь бракована», Hi — «выбранная деталь получена от i-го поставщика», i =1, 2, 3. Гипотезы

H1, H2 , H3 образуют полную группу несовместных событий. По условию

P(H1) = 0.5; P(H2 ) = 0.2; P(H3 ) = 0.3;

P(A H1) = 0.04; P(A H2 ) = 0.05; P(A H3 ) = 0.02.

По формуле полной вероятности (1.11) вероятность события A равна

P(A) = P(H1) P(A H1) + P(H2 ) P(A H2 ) + P(H3 ) P(A H3 ) = = 0.5 0.04 +0.2 0.05 +0.3 0.02 = 0.036.

Вероятность того, что выбранная наудачу деталь окажется бракованной,

равна 0.036.

17

Пусть в условиях предыдущего примера событие A уже произошло: выбранная деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она была получена от первого поставщика? Ответ на этот вопрос дает формула Байеса.

Мы начинали анализ вероятностей, имея лишь предварительные, априорные значения вероятностей событий. Затем был произведен опыт (выбрана деталь), и мы получили дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей тех же событий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями гипотез (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Схема переоценки гипотез

Пусть событие A может осуществиться лишь вместе с одной из гипотез H1, H2 ,..., Hn (полная группа несовместных событий). Априорные вероятно-

сти гипотез мы обозначали P(Hi ), условные вероятности события A — P( A Hi ), i =1, 2,..., n. Если опыт уже произведен и в результате него наступило событие A , то апостериорными вероятностями гипотез будут условные вероятности P(Hi A), i =1, 2,..., n. В обозначениях предыдущего примера

P(H1 A) — вероятность того, что выбранная деталь, оказавшаяся бракованной, была получена от первого поставщика.

Нас интересует вероятность события Hk A. Рассмотрим совместное на-

ступление событий Hk и A, то есть событие AHk . Его вероятность можно найти двумя способами, используя формулы умножения (1.5) и (1.6):

P( AHk ) = P(Hk )P( A Hk );

P( AHk ) = P( A)P(Hk A).

Приравняем правые части этих формул

P(Hk ) P( A Hk ) = P( A) P(Hk A),

отсюда апостериорная вероятность гипотезы Hk равна

P(Hk A) = P(Hk ) P( A Hk ) .

P( A)

18

В знаменателе стоит полная вероятность события A . Подставив вместо P(A) ее значение по формуле полной вероятности (1.11), получим:

∑P(Hi ) P(A Hi )

i=1

Формула (1.12) называется формулой Байеса и применяется для переоценки вероятностей гипотез.

В условиях предыдущего примера найдем вероятность того, что бракованная деталь была получена от первого поставщика. Сведем в одну таблицу

известные нам по условию априорные вероятности гипотез P(Hi ), условные

Рассмотрим последнюю строку этой таблицы. Во второй колонке стоит сумма вероятностей несовместных событий H1, H2 , H3, образующих полную группу:

19

P(Ω) = P(H1 + H2 + H3 ) = P(H1) + P(H2 ) + P(H3 ) =

=0.5 +0.2 +0.3 =1.

Вчетвертой колонке значение в каждой строке (совместные вероятности) получено по правилу умножения вероятностей перемножением соответствующих значений во второй и третьей колонках, а в последней строке 0.036 —

есть полная вероятность события A (по формуле полной вероятности).

В колонке 5 вычислены апостериорные вероятности гипотез по формуле Байеса (1.12):

P(H2 A) и P(H3 A), причем числитель дроби — совместные вероятности,

записанные в соответствующих строках колонки 4, а знаменатель — полная вероятность события A , записанная в последней строке колонки 4.

Сумма вероятностей гипотез после опыта равна 1 и записана в последней строке пятой колонки.

Итак, вероятность того, что бракованная деталь была получена от первого поставщика, равна 0.555. Послеопытная вероятность больше априорной (за счет большого объема поставки). Послеопытная вероятность того, что бракованная деталь была получена от второго поставщика, равна 0.278 и также больше доопытной (за счет большого количества брака). Послеопытная вероятность того, что бракованная деталь была получена от третьего поставщика,

равна 0.167.

20

2.СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

2.1.Закон распределения дискретной случайной величины

До сих пор мы рассматривали случайные события. Например, подбрасывая одновременно две монеты, получаем пространство элементарных событий

Ω ={ГГ, ГР, РГ, РР}. Сопоставим теперь каждому элементарному событию

некоторое число. Получим числовую функцию, заданную на множестве случайных событий, принимающую каждое свое значение с определенной вероятностью. Эта числовая функция называется дискретной случайной вели-

чиной.

Чтобы задать дискретную случайную величину, необходимо указать, какие числовые значения и с какими вероятностями она может принимать.

Соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины.

Пример 1. Подброшены две монеты. Случайная величина X — количество выпавших гербов. Записать закон распределения случайной величины X .

определим вероятность для каждого из этих значений случайной величины X :

P( X = 0) = 14 ; P( X =1) = 24 = 12 ; P( X = 2) = 14 .

Результаты представим в виде таблицы (табл. 2.1).

Таблица 2.1

Таблица распределения случайной величины X

В общем случае, если дискретная случайная величина X принимает значения x1, x2 , ..., xn с вероятностями p1 = P(X = x1), p2 = P( X = x2 ),