5.2 Таблицы смертности

Таблицы смертности — это числовые модели смертности, служащие для характеристики ее общего уровня и возрастных особенностей в различных населениях. Они представляют собой систему упорядоченных по возрасту и взаимосвязанных между собой рядов чисел, которые в своей совокупности описывают процесс вымирания некоторого теоретического поколения с фиксированной начальной численностью.

В демографии различают таблицы смертности для реального и условного поколения. В зависимости от шага временной шкалы различают полные и краткие таблицы. В полных таблицах интервалы равны одному году, в кратких — пяти годам (значительно реже десяти годам).

Показатели таблиц смертности делятся на интервальные и кумулятивные. Первые характеризуют смертность на данном интервале возраста, вторые — за весь период жизни до или после данного точного возраста.

Показатели таблиц смертности связаны между собой определенными соотношениями. Все они могут быть вычислены почти из любого из них, но обычно за исходный принимают тот, который наиболее простым и ясным образом характеризует процесс смертности и легче всего получается из статистических данных о смертности. Таким показателем является интервальная вероятность умереть в возрасте () лет, наиболее естественным образом связанная с повозрастными коэффициентами смертности. Обычно построение таблиц смертности начинается именно с этого показателя. Кроме того, всю историю развития методов такого построения можно рассматривать как совершенствование методов перехода от повозрастных коэффициентов смертности к табличным интервальным вероятностям смерти в возрасте () лет.

В таблицах смертности используются следующие обозначения:

—числа доживающих до возраста лет;

—числа умирающих в возрасте лет (в возрастном интервале отдо);

—вероятность умереть в возрасте лет (в возрастном интервале отдо);

—вероятность для доживающих до возраста лет дожить до возраста;

—числа живущих в возрасте лет (в возрастном интервале отдо);

—длина возрастного интервала;

—числа живущих в возрасте лет и старше (числа человеко-лет предстоящей жизни для данного поколения);

—средняя ожидаемая продолжительность жизни для достигших возраста лет.

В таблицах смертности принимают первоначальную численность поколения неизменной во времени и равной единице, и прослеживают, как с переходом от возраста к возрасту первоначальная совокупность поколения родившихся убывает в результате смерти от 1 до 0. Отсюда следует, что в таблицах смертности все числа, кроме числа родившихся, равного 1, меньше этой величины. Чтобы избежать большого числа дробных чисел, число родившихся в практических расчетах принимают равным 100000 или 10000 (в зависимости от желаемой точности расчетов). Это число называется корнем таблицы [2, 3].

Рассмотрим основные соотношения таблиц смертности. При переходе от возраста к возрастучисло доживающихбудет последовательно уменьшаться на величину числа умирающих в возрасте, т.е.:

.

(5.6)

Вероятность смерти в возрасте () определяется как соотношение числа умирающих в возрасте—, к числу доживающих до этого возраста, т.е.:

.

(5.7)

Вероятность дожития до возраста () для тех кто дожил до возрасталет будет определяться как отношение числа доживающих до возрастак числу доживающих до возраста:

.

(5.8)

Записав в формуле 5.8 вместо соотношение полученное при помощи формулы 5.6 получим

(5.9)

или

.

(5.10)

В таблицах смертности числа доживающих показывают долю оставшихся в живых к началу каждого последующего периода. Однако на самом деле при переходе от одного возраста к следующему численность поколения убывает непрерывно, поэтому число живущих в возрасте лет есть некоторая средняя величина между значениями чисел доживающихи.

Числа живущих на интервале () лет определяется как сумма тех, кто проживает полный возрастной интервал () лет —и тех кто умрет на этом интервале, внося вопределенную часть —. Отсюда

.

(5.11)

Числа живущих можно трактовать также как число человеко-лет, прожитых всем поколением родившихся в интервале возраста .

Величина показывает, какое количество человеко-лет предстоит прожить данной совокупности родившихся, если в будущем сохранится тот же уровень смертности, который существовал на момент разработки таблиц:

.

(5.12)

Величины служат основной для дальнейших расчетов последнего ряда таблиц смертности — средней ожидаемой продолжительности предстоящей жизни (). Средняя ожидаемая продолжительность предстоящей жизни — это число лет, которое проживет один человек в среднем из данного поколения родившихся при условии, что на всем протяжении жизни этого поколения вероятность смерти в каждой возрастной группе будет оставаться неизменной на уровне расчетного периода:

.

(5.13)

Как правило убывает с возрастом. Единственное исключение представляет собой возраст 0 лет в полной таблице смертности, когда<из-за высокой младенческой смертности. Это называется парадоксом младенческой смертности. В высокоразвитых странах с очень низкими значениями младенческой смертности этот парадокс не действует.

Построение таблиц смертности является в принципе несложной, но достаточно трудоемкой вычислительной процедурой. Она включает в себя несколько этапов:

• расчет значений исходного показателя для всех возрастов на основе данных статистики смертности (распределения умерших по возрастам);

• обработку ряда значений для устранения искажений, вызванных возрастной аккумуляцией, если это необходимо;

• интерполяцию ряда значений для устранения возможных пропусков или экстраполяцию для расчета значений для самых старших значений;

• вычисление остальных функций таблиц смертности.

Общий вид таблиц смертности представлен в таблицах 5.1 и 5.2.

Основная методологическая проблема построения таблиц смертности, как уже говорилось, связана с переходом от реальных показателей повозрастной смертности к табличным вероятностям умереть в данном возрасте. Для перехода от повозрастных коэффициентов смертности к вероятностям смертностииспользуется одна из формул:

(5.14)

или

.

(5.15)

Формула 5.14 выведена из предположения, что внутри интервала вероятность смерти или постоянна, или меняется линейно. Второй же вариант (5.15) основан на гипотезе экспоненциального изменения вероятности смерти на возрастном интервале.

ТАБЛ. 5.1 И 5.2

Рассмотрим конкретный пример расчета краткой таблицы смертности. Основное отличие кратких таблиц смертности, как уже отмечалось, от полных заключается в том, что длина возрастного интервала () превышает 1 год. Чаще всего она равна 5 годам. Однако даже здесь в самом младшем возрастном интервале (от 0 до 4 лет) обычно выделяется возраст до одного года, поскольку он имеет свою специфику, обусловленную процессами младенческой смертности.

Важным моментом при расчетах кратких таблиц смертности является определение значения для самого младшего возрастного интервала. Обычно, принимается, что(возрастной интервал до 1 года) равно 0,1 для стран с низкой смертностью и 0,3 — для стран с высокой смертность. Значениедля возраста 1—4 принимается равным 0,4, все прочие значения этого параметра — 0,5.

В качестве исследуемого населения возьмем мужское население России 1997 г. Исходными данными являются повозрастные коэффициенты смертности. Процесс смертности изменяется по линейному закону. Пошагово вся процедура будет выглядеть следующим образом:

1. Первоначально необходимо перейти от повозрастных коэффициентов смертности к вероятностям смертности , используя формулу 5.14.

2. Используя формулу 5.6 и 5.7 итеративно рассчитываются значения и. При этомпринимается равным 100000.

3. С помощью формулы 5.11 получаются значения , которые используются при расчетепо формуле 5.12.

4. Последним шагом рассчитываются значения средней ожидаемой продолжительности жизни для каждого возрастного интервала (). При расчетах используется формула 5.13.

Итог расчета приведен в таблице 5.3.

Для расчета полной таблицы смертности используется тот же алгоритм, если исходными данными являются повозрастные коэффициенты смертности. В случаях, когда условием для расчета выступают значения , используются соответствующее соотношение 5.10 для приведения задачи к виду, рассмотренному ранее. Для полных таблиц смертности длина возрастного интервала составляет 1 год. В этой связи значениевычисляется по более простой формуле:

.

(5.16)

ТАБЛ. 5.3