- •Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1. Множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурально го числа n. Легко убедиться, что если х и у - многочлены степени не выше n,то они будут обладать свойствами 1 – 8 ;
- •4. Множество всех функций, непрерывных на отрезке [ a , b ], с поточечными для функций операциями сложения и умножения на число.
- •Формула определения координат вектора для плоских задач
- •Метод элементарных преобразований
- •Метод окаймления миноров
- •Элементарными преобразованиями строк называют:
Формула определения координат вектора для плоских задач
В случае плоской задачи вектор AB заданный координатами точек A(Ax ; Ay) и B(Bx ; By) можно найти воспользовавшись следующей формулой
AB = {Bx - Ax ; By - Ay}
Формула определения координат вектора для пространственных задач
В случае пространственной задачи вектор AB заданный координатами точек A(Ax ; Ay ; Az) и B(Bx ; By ; Bz) можно найти воспользовавшись следующей формулой
AB = {Bx - Ax ; By - Ay ; Bz - Az}
Формула определения координат вектора для n -мерного пространства
В случае n-мерного пространства вектор AB заданный координатами точек A(A1 ; A2 ; ... ; An) и B(B1 ; B2 ; ... ; Bn) можно найти воспользовавшись следующей формулой
AB = {B1 - A1 ; B2 - A2 ; ... ; Bn - An}
Определение ранга матрицы через миноры.
Метод элементарных преобразований
Используя свойства матрицы связанные с ее рангом, получен метод расчета ранга наиболее часто использующийся на практике.
Метод 1: Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования над строками и столбцами матрицы.
Метод окаймления миноров
Теорема: Ранг матрицы равен наибольшему порядку не равного нулю минора.
Метод 2: Если в матрице A найден ненулевой минор k-го порядка M. Рассмотрим все миноры (k + 1)-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. Если среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, то вся процедура повторяется.
Определение базисного минора, базисных строк и столбцов матрицы.
В матрице порядка mxn минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n. Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.
Теорема о базисном миноре.
Теорема 1.6 (теорема о базисном миноре). Базисные строки (базисные столбцы) линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрицы А является линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов).
Теорема о необходимых и достаточных условиях равенства нулю определителя.
Для равенства определителя нулю необходимо и достаточно, чтобы его столбцы (строки) были линейно зависимыми.
Пример №20
= 0
Третий столбец данного определителя представляет линейную комбинацию первого и второго столбцов с коэффициентами K1 и K2 . Поэтому столбцы данного определителя линейно зависимы (выполнено необходимое и достаточное условие равенства определителя нулю).
Пример №21. Исследование системы столбцов
=, =, =
На линейную зависимость с помощью определителя
= 1*2*3 + 0*2*2 + 1*0*1 – 1*2*2 – 0*0*3 – 1*2*1 = 0 Определитель равен нулю, следовательно – столбцы линейно зависимы.
Элементарные преобразования матрицы.
Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц, то есть, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.