Теоретические вопросы к экзамену по линейной алгебре
1. Определители квадратных матриц произвольного порядка.
2. Теорема Лапласа и вытекающие из нее свойства определителей.
3. Определение обратной матрицы. Доказательство единственности.
4. Понятие ранга матрицы, основанное на ненулевых минорах.
5. Элементарные преобразования, сохраняющие ранг матрицы.
6. Теорема о ранге матрицы по строкам и по столбцам
7. Теорема Кронекера–Капели о совместности системы линейных алгебраических уравнений.
8. Размерность пространства решений системы линейных однородных алгебраических уравнений.
9. Фундаментальная система решений системы линейных однородных алгебраических уравнений. Общее решение системы неоднородных линейных алгебраических уравнений.
10. Общее уравнение прямой на плоскости и уравнение прямой с угловым коэффициентом.
11. Комплексные числа как элементы плоскости. Алгебраическая форма представления комплексных чисел.
12. Понятия модуля и аргумента комплексного числа, тригонометрическая и экспоненциальная формы представления комплексных чисел.
13. Понятие вектора как направленного отрезка. Понятие вектора как элемента линейного пространства.
14. Скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение векторов в трехмерном пространстве.
15. Понятия ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов.
16. Аффинное пространство точек и связанное с ним векторное пространство.
17. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей в трехмерном пространстве.
18. Способы задания прямой в трехмерном пространстве.
19.
Арифметическое пространство
.
Операции над его элементами.
20. Общее понятие линейного пространства. Размерность и базис конечномерного линейного пространства. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
21. Евклидово пространство. Скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника. Длина вектора и угол между векторами.
22. Ортогональность векторов. Линейная независимость попарно ортогональных векторов. Ортогональная проекция вектора на подпространство. Построение ортонормированного базиса ортогонализацией произвольного базиса.
23. Линейные операторы. Матричное представление линейных операторов. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
24. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора, их связь с собственными значениями и собственными векторами матриц. Матрица оператора в базисе его собственных векторов в случае их линейной независимости.
25. Определение квадратичной формы от n переменных, ее матричное представление. Преобразование матрицы квадратичной формы при невырожденном линейном преобразовании переменных.
26. Понятие канонического вида квадратичной формы, теорема о приведении к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм. Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.