2.3. Оценка точности по разностям двойных равноточных измерений

Если произведен ряд однородных парных измерений , то рассматривая разности d_i как истинные ошибки самих разностей

, (2.1)

можно вычислить среднюю квадратическую ошибку разности

.

Средняя квадратическая ошибка одного измерения определится по формуле [ 1 ]:

. (2.2)

Средняя квадратическая ошибка среднего из парных измерений составит:

. (2.3)

Эти формулы применяются при отсутствии систематических ошибок. В качестве критерия влияния систематических ошибок используют следующие условие:

. (2.4)

При наличии систематических ошибок вычисляют их среднее значение

. (2.5)

Исключая величину из разностейd_i, получают значения

, (2.6)

которые, будут свободны от систематического влияния.

При этом следует иметь в виду, что поскольку d₀ является средним арифметическим значением разностей, а, следовательно, d_i – отклонения от арифметической средины. Поэтому для нахождения средней квадратической ошибки разности можно воспользоваться формулой:

. (2.7)

Средняя квадратическая ошибка одного измерения в этом случае составит:

, (2.8)

а ошибка среднего из парных значений результатов измерений

. (2.9)

2.4. Оценка точности по разностям двойных неравноточных измерений

Оценка точности ряда парных неравноточных измерений производится по формуле

, (2.10)

в которой веса разностей определяются согласно

, (2.11)

где - веса результатов измерений.

Если , то, тогда

. (2.12)

При наличии систематических ошибок в разностях двойных неравноточных измерений определяют значение d₀:

. (2.13)

Ошибка единицы веса определится согласно формуле:

(2.14)

или

, (2.15)

где - значения разностей, свободные от систематического влияния.

Критерием применимости формул (2.12) и (2.14) служит условие:

. (2.16)

В противном случае используют формулы (2.14) и (2.15).

Задача 2.2. В табл. 3 приведены результаты двойного нивелирования девяти ходов. Оценить точность выполненных работ по разностям двойных измерений.

Таблица 3

Превышеия h, мм		Число штати-вов ni	Вес	Разности di , мм	pi di , мм	, мм	, мм
Прямой ход	Обратный ход
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1,113	1,117	3	3,3	-4	-13,2	-2	-6,6	13,2
0,869	0,874	5	2,0	-5	-10,0	-3	-6,0	18,0
2,136	2,133	7	1,4	+3	+4,2	+5	+7,0	35,0
4,015	4,011	6	1,7	+4	+6,8	+6	+10,2	61,2
0,477	0,487	10	1,0	-10	-10,0	-8	-8,0	64,0
3,210	3,218	9	1,1	-8	-8,8	-6	-6,6	39,6
0,305	0,302	8	1,2	+3	+3,6	+5	+6,0	30,0
6,843	6,852	12	0,8	-9	-7,2	-7	-5,6	39,2
1,408	1,406	4	2,5	+2	+5,0	+4	+10,0	40,0
С у м м ы			15,0		-33,8		0,4	340,2

Решение. Для расчета весов по формуле принимаетсяС = 10.

Величина [ pd ] = -33,8 показывает на наличие систематических ошибок в результатах измерений. Проверяем с помощью критерия (2.16):

,

что указывает на наличие систематических ошибок. Определим

.

Подсчитаем значения и найдем [ pd ] = 0,4. Вычисляем [ pdd ] = 340,2.

Средняя квадратическая ошибка единицы веса (при С = 10 на 10 штативов или 1 км хода)

мм.

Средняя квадратическая ошибка нивелирования на станции

мм.

Ответ:  = 4,61 мм ; m_h = 1,46 мм.