В промежуточных положениях

откуда

.

Колебания называются маятниковыми, если они происходят под действием силы тяжести.

Любое твердое тело, совершающее колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести, называется физическим маятником.

Покажем, что маятник, отклоненный от положения равновесия на малый угол φ, будет совершать колебания, близкие к гармоническим.

Пусть J - момент инерции маятника относительно оси закрепления О , а точка А является центром тяжести тела. Силу тяжести можно разложить на две составляющие, одна из которыхуравновешивается реакцией опоры и не оказывает влияния на колебания. Маятник совершает колебание под действием другой составляющей;, образующей вращательный моментN относительно оси O: N = P₁L_c.

На основании основного закона динамики вращательного движения N  J, имеем

, (6)

где β - угловое ускорение. По определению ,L_с - расстояние от центра тяжести до точки подвеса О.

Знак «-» в формуле (6) стоит потому, что действующий момент силы направлен в сторону, противоположную направлению отклонения маятника.

После элементарных преобразований получим

. (7)

Дифференциальное уравнение (7) не решается в элементарных функциях, однако его можно упростить для случая малых колебаний. Если угол φ, выраженный в радианной мере, не слишком велик, то справедливо приближенное равенство sin φ ≈ φ, что видно из таблицы 1.

Таблица 1

φ, град.	φ, рад.	sin φ	[(φ-sin φ)/φ]100%
1	0,0175	0,0175	0,00
3	0,0524	0,0523	0,00
10	0,1745	0,1736	0,52
20	0,3491	0,3420	2,03

С учетом сделанного приближения, если обозначить ,дифференциальное уравнение колебаний физического маятника примет вид, аналогичный уравнению (1)

. (8)

Решение дифференциального уравнения (8), в соответствии со сказанным ранее, может быть записано в виде

.

Период колебаний физического маятника

. (9)

Частным случаем физического маятника является математический маятник. Под ним понимают материальную точку, подвешенную на невесомой нерастяжимой нити, которая совершает колебания под действием силы тяжести в вертикальной плоскости.

Поскольку момент инерции материальной точки массы m относительно оси, удаленной на расстояние L, равен mL², то формула (9) примет вид

. (10)

При анализе колебаний физического маятника удобно пользоваться понятием приведенной длины физического маятника L_пр, которой называется длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника. Сравнивая формулы (9) и (10), получим

.

Мы рассмотрели только свободные колебания, т.е. колебания, происходящие в системе, предоставленной самой себе, после того, как она была выведена из положения равновесия. Внешне силы, которые всегда влияют на поведение реальной системы, не учитывались.

По типу внешнего воздействия на колебательную систему различают вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Вынужденные - это колебания, в процессе которых колебательная система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы.

Автоколебания, как и вынужденные колебания, происходят под действием внешних сил, однако моменты времени, в которые осуществляются эти воздействия, задаются колебательной системой, которая сама управляет внешними силами.

Параметрические - это колебания, при которых вследствие внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например длины нити или положения центра тяжести.

Поскольку период колебаний физического маятника определяется формулой (9), то можно решить обратную задачу: по измеренному периоду колебаний определить момент инерции маятника относительно оси подвеса

. (11)