12. Дифференециал, его геометрический смыл и применение.

У=f(x) - диф-ма. т. е. сущ-т f’(x)=Lim(Δx→0)ΔY/ΔX

В силу основной теоремы о пределах имеем:

Δy/Δx=f ’(x)+α(Δx) (α(Δx)→0 когда Δx→0)

Δy=f’(x)Δx+ α(Δx)Δx

f’(x)Δx-гл.часть приращения Δy наз-ся диф-ом функции. dy=f ’(x) Δx

Если у=х то dx=Δx dy=f ’(x)dx

Δy=dy+ αΔx

Δy≈dy f’(x)=dy/dx

f(x)-f(x0) ≈ f ’(x0)Δx

f(x) ≈ f(x0)+f’(x0)Δx

геометрич. смысл

tg(α)=f’(x)

TN=tgαΔx=f ’(x)dx=dy, MN = Δy

{на графике ВМЕСТО X+DX надо писать X+ΔX!}

Т.о.диф-л ф-ии y=f(x) в т.Х есть приращение ординаты касательной приведенный к графику ф-ии y=f(x) в точке (x;f(x))

Св-ва диф-ов: d(u+v)=du+dv

d(uv)=udv+vdu

d(u/v)=(vdu-udv)/v²

13. Дифференциалы высших порядков. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

Рассм. дифференциал функции:

dy=f ‘(x)dx. Опр. Диф-лом (n)-го порядка наз. дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка

d(d^(n-1)y)=d⁽ⁿ⁾y

d²y=d(dy)=d(f’(x)dx)=(f’(x)dx)’dx=f’’(x)dx²

Диф-ал n-го порядка равен:

Диф-ы сложных ф-ий

Расм. Сложную ф-ию

{y=f(u),u=g(x)}

Y=f(g(x))=F(x)

dy=F’(x)dx=f’

(u)g’(x)dx=f’(u)du

Св.инвариантности: диф-л 1-го порядка сохр. свою форму независимо от того будет ли аргумент ф-ии независимой переменной или функцией.

Для диф-в высшего порядка это св-во не сохраняется

14. Правило Лопиталя. Теоремы о возрастании и убывании функции.

используется для нахождения пределов отношений вида 0/0 ∞/∞

Limf(x)/g(x)= f(a)/g(a)=0/0-?;

Limf(x)/g(x)= ∞/∞-?

Т1. Пусть заданы дифференцируемые ф-ии f(x) и g(x) на отрезке [а;b] и f(a)=g(a)=0,то при существовании предела Lim(f(x)/g(x))= Lim(f’(x)/g’(x))

Предел отношения ф-ии равен пределу отношения их производных.

Д-во: т.к. ф-ии диф-емы то к ним применим теорему Коши

f(a)=g(a)=0

[f(x)-f(a)]/[g(x)-g(a)]=f’(ξ)/g’(ξ), →сущ-т т.a<ξ<x если x→a то ξ→a. расм.

Монотонность ( возр и убыв ф-ии) теорема:

Пусть y=f(x) диф-ма на[ab] тогда если f’(x)>0 то функция возрастает, иначе - убывает

правилo:

1D(x)? 2.f’(x)?

3.f’(x)=0 (находим корни)?

4. Смотрим где че убывает/возрастает

5. Пишем ответ ответ.

15. Экстремумы функции одной переменной. Необходимое и достаточные условия экстремума.

Точка х0-наз-ся т. max ф-ии y=f(x) если f(x0)>f(x) для любого х в окрестности т.х0

Необх. условие экстремум

Если ф-ия y=f(x) непрерывна и имеет в т. х0 экстремум то f’(x0)=0 или f’(x0) не сущ-т

Условие необходимое, но не достаточное.

{для примера рассм функцию f(x)=x³}

Точки на D(y) где f’(x)=0 или не сущ Наз-ся критическими

1 Дост. Признак экстремума

Пусть т. Х0-критическая (f’(x0)=0, несущ.) если

Правило нахождения экстремума

1. D(x)? 2.f’(x)?

3. крит точки?

4. разбить D(f) точками (+-)

5. Ответ

2 Дост. Признак экстремума

Пустьf’(x0)=0, f’’(x0)≠0 то если f’’(x0)<0 то x0-т.max, f’’(x0)>0 то x0-т.min

16. Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба.

График дифференцируемый на [a;b] наз-ся вып(вогн) если он расположен ниже(выше) любой своей касательной

Теорема (признак вып и вогн-и графика)

Если f’’(x)<0 для любого х на[a b] То граф.ф-и вып

f’’(x)>0для любого х на [ab] то граф ф-и вог.

Точка графика непрерывной ф-ии отделяющая ее выпуклость от вогнутости наз-ся т.перегиба

Необходимый признак т. перегиба

Если т.х0 является т. перегиба графика ф-ии y=f(x) то f’’(x0)=0 или несущ.

Достаточный признак т.перегиба

Если при переходе через т.х0 f”(x0) меняет знак то (x0;f(x0))-т.перегиба графика непрервн. ф-ии y=f(x)