II. Основы аналитической механики

§5. Связи, число степеней свободы, виртуальные перемещения

 Литература:[1] (§ 7.1), [3] (§§ 25, 26).

 Разъяснения и дополнения

 Под аналитической механикой понимают описание движения систем частиц с помощью уравнений, отличающихся по форме от уравнений второго закона Ньютона. Новые формы уравнений динамики не только упрощают решение ряда задач, но и позволяют делать обобщения, выходящие за рамки классической механики, они используются в других разделах теоретической физики.

 Систему ньютоновских уравнений можно упростить, если вместо сил реакции рассматривать обусловленные ими простые ограничения, накладываемые на движение – связи.

 Некоторые важные положения

 Связи описываются уравнениями вида:

f_(₁, …, _N, ₁, …, _N, t) = 0, (5.1)

 = 1, 2, …, k.

Систему называют свободной, если k = 0, то есть при отсутствии связей.

 Если уравнения связей не содержат скоростей, то есть имеют вид

f_(₁, ₂, …, _N, t) = 0, (5.2)

то связи называют голономными (геометрическими).

 Наименьшее число переменных, определяющих конфигурацию (положение системы в пространстве), называют числом степеней свободы.

Число степеней свободы s в системе N частиц, на которую наложено k связей, можно вычислить так:

s = 3 N – k .

 Виртуальными называют такие перемещения _i, которые могли бы произойти в данный момент без нарушения связей.

На рисунке 8 показаны виртуальные и действительное d перемещения шарика, который может двигаться по наклонной плоскости.

 Для идеальных связей

A_R = = 0, (5.3)

то есть равна нулю сумма работ всех сил реакций _i на произвольных виртуальных перемещениях.

Примером идеальной связи может служить гладкая наклонная плоскость в ситуации, отраженной на рисунке 8.

? Задания и контрольные вопросы.

1. Что такое связи, для чего они вводятся и как математически описываются?

2. Расскажите о голономных стационарных удерживающих связях.

Накладывают ли эти связи ограничения на скорости? Приведите примеры.

3. Что такое число степеней свободы и как его можно найти?

4. Определите число степеней свободы:

а) для плоского маятника;

б)* для неподвижного блока с подвешенными к нему двумя грузами.

5. Расскажите о действительных и виртуальных перемещениях.

6. Какие связи называют идеальными? Приведите примеры идеальных связей.

§6. Уравнение Даламбера – Лагранжа. Принцип виртуальных перемещений

 Литература:[1] (§ 20.1), [3] (§ 28).

 Разъяснения и дополнения

 Уравнение Даламбера – Лагранжа (общее уравнение динамики) –

= 0 – (6.1)

получается из (4.2) с учетом (5.3).

 Уравнение (6.1) вначале было известно для случая _i = 0 как уравнение, отражающее принцип виртуальных перемещений Бернулли, который использовался при решении задач статики. Принцип этот заключается в следующем: система находится в равновесии, если сумма работ всех активных сил на произвольных виртуальных перемещениях равна нулю.

Если нужно найти какую-либо из сил реакции, то применяют метод освобождаемости от связи: вместо учета связи, обусловленной искомой силой реакции, рассматривают саму эту силу как активную.

 Принцип Даламбера сводит задачу динамики к решению уравнений статики. Величины –m_ii = _i называют силами инерции. Совокупность сил инерции и активных сил считают аналогичной системе всех внешних сил в случае равновесия.

Записывая условия «равновесия» в форме принципа виртуальных перемещений Бернулли, получают уравнение (6.1). В этом случае говорят о применении принципа виртуальных перемещений Даламбера – Лагранжа, или динамического принципа виртуальных перемещений. Итак, динамический принцип виртуальных перемещений отражается уравнением (6.1) и заключается в следующем: сумма работ всех активных сил и сил инерции на произвольных виртуальных перемещениях равна нулю. Из этого равенства и находят ускорения частиц системы.

? Задания и контрольные вопросы

1*. Выведите уравнение Даламбера – Лагранжа.

2. Что общего имеют уравнения (6.1) и (4.2) и чем они отличаются?

3*. Выведите условие равновесия абсолютно твердого тела из принципа виртуальных перемещений Бернулли (пример 19.5 [1]).

4. Что такое силы инерции? Сравните их с ньютоновскими силами.

Что у этих понятий общего и чем они отличаются?

5. Проиллюстрируйте применение принципа виртуальных перемещений примером 20.1 [1].

6*. Решите рассматриваемую в примере 20.1 [1] задачу, используя условие равновесия блока.