2. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Частные производные иназываютчастными производными первого порядка.. Их можно рассматривать как функции . Эти функции могут иметь частные производные, которые называютсячастными производными второго порядка. Они обозначаютсяс следующим образом:

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д порядков.

Частная производная второго и более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например,

Пример 2.1. Найти частные производные второго порядка функции

Решение. Так как и, то

Оказалось, что . Этот результат не случаен. Имеет место теорема, которую мы приведем без доказательства.

Теорема (Шварц). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядков дифференцирования, равны между собой.

Введем понятие дифференциала высшего порядка. Полный дифференциал функции (формула (5)) называют также дифференциалом первого порядка.

Пусть функция имеет непрерывные частные производные второго порядка.Дифференциал второго порядка определяется по формуле Найдем его:

=

Отсюда: Символически это записывается так:

Методом математической индукции можно показать, что

Отметим, что полученные формулы справедливы лишь в том случае, когда переменные х и у функции являются независимыми.

3. Производная сложной функции

Пусть – функция двух переменных, каждая из которых является функцией независимой переменнойt: В этом случае функцияявляется сложной функцией одной независимой переменнойt; переменные – промежуточные переменные.

Теорема 3. Если – дифференцируемая в точкефункция и– дифференцируемые функции независимой переменнойt, то производная сложной функции вычисляется по формуле

(8)

Дадим независимой переменной t приращение . Тогда функцииполучат приращениясоответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращениефункцииz. Так как по условию функция дифференцируема в точке, то её полное приращение можно представить в виде

где Разделим выражениенаи перейдем к пределу при. Тогдав силу непрерывности функций(по условию теоремы они дифференцируемы). Получаем:

т. е.

или

Частный случай: , где, т. е.– сложная функция одной независимой переменнойх. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (8) имеем:

или (9)

Формула (9) носит название формулы полной производной.

Общий случай: , гдеТогда– сложная функция независимых переменныхи. Её частные производныеиможно найти, используя формулу (8) следующим образом. Зафиксировав, заменяем в нейсоответствующими частными производными:

(10)

Аналогично получаем: .

Таким образом, производная сложной функции по каждой независимой переменнойравна сумме произведений частных производных этой функциипо её промежуточным переменнымна их производные по соответствующей независимой переменной.

Используя правило дифференцирования сложной функции, можно показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности: полный дифференциал функции сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.

Пусть , гдеx и y – независимые переменные. Тогда полный дифференциал (1-го порядка) функции имеет вид

Рассмотрим сложную функцию , гдет. е. функциюгде– независимые переменные.

Тогда имеем:

Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы dx и dy функций иСледовательно, и в этом случае,