Дополнительные задачи

Задача 1. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины задан в таблице:

Y X	-1	0	1	2
1	0,10	0,25	0,30	0,15
2	0,10	0,05	0,00	0,05

Найти: а) законы распределения одномерных случайных величин X и Y; б) условные законы распределения случайной величины X при условии Y = 2 и случайной величины Y при условии X = 1; в) вычислить P(Y < X).

Решение. а) случайная величина X может принимать значения:

X = 1 с вероятностью

X = 2 с вероятностью

т.е. её закон распределения

X	1	2
P	0,8	0,2

Аналогично закон распределения

Y	-1	0	1	2
P	0,2	0,3	0,3	0,2

б) Условный закон распределения X при условии, что Y = 2 имеет вид:

X	1	2
P	0,75	0,25

а условный закон распределения Y при условии, что X = 1:

Y	-1	0	1	2
P	0,125	0,3125	0,375	0,1875

в) Для нахождения вероятностей P(Y < X) складываем вероятности событий из таблицы, для которых

Получим

Задача 2. Двумерная случайная величина распределена равномерно в круге радиуса R = 1 (рис). Определить: а) выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (X, Y); б) плотности вероятности и функции распределения одномерных составляющих X и Y; в) вероятность того, что расстояние от точки (X, Y) до начала координат будет меньше 1/3.

Решение. а) По условию

Постоянную С найдём из соотношения:

Проще это сделать, исходя из геометрического смысла соотношения, означающего, что объём тела, ограниченного поверхностью распределения и плоскостьюOxy, равен 1. В данном случае, это объём цилиндра с площадью основания и высотойС (рис), равный откудаС = = 1/π. Следовательно,

Найдём функцию распределения F(x, y):

Очевидно, что этот интеграл с точностью до множителя 1/π совпадает с площадью области D – области пересечения круга с бесконечным квадрантом левее и ниже точкиM(x,y) рис().

Опустим расчеты интеграла для различных x и y, предоставив их читателю, но отметим очевидное, что при т.к. в этом случае областьD – пустая, а при x > 1, y > 1 F(x, y) = 1, так как при этом область D полностью совпадает с кругом , на котором совместная плотностьотлична от нуля.

б) Найдем функции распределения одномерных составляющих X и Y. По формуле при -1 < x ≤ 1

Итак,

Аналогично

Найдём плотности вероятности одномерных составляющих X и Y.

График плотности f₁(x) показан на рис().

Аналогично

в) Искомую вероятность

т.е. вероятность того, что случайная точка (X, Y) будет находиться в круге радиуса (см. рис.()), можно было найти по формуле:

но проще это сделать, используя понятие «геометрической вероятности», т.е.

Задача 3. По данным задачи 2 определить: а) условные плотности случайных величин X и Y; б) зависимы или независимы случайные величины X и Y; в) условные математические ожидания.

Решение. а) найдём условную плотность, учитывая, что

График приy = 1/2 показан на рис().

Аналогично

б) X и Y – зависимые случайные величины, так как или(см. задачу2 и п.а)).

в) Найдём условное математическое ожидание учитывая, что

Аналогично

Этот результат очевиден в силу того, что круг рис() симметричен относительно координатных осей. Таким образом, линия регрессииY по X совпадает с осью Ox, а линия регрессии X по Y – с осью Oy.

Задача 4. По данным задачи 1 определить ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин X и Y.

Решение. В задаче 1 были получены следующие законы распределения одномерных случайных величин:

X	1	2
P	0,8	0,2

и

Y	-1	0	1	2
P	0,2	0,3	0,3	0,2

Найдём математическое ожидание и средние квадратические отклонения этих случайных величин:

Для нахождения математического ожидания M(XY) произведения случайных величин X и Y можно было составить закон распределения произведения двух дискретных случайных величин, а затем по нему найти M(XY). Но делать это совсем не обязательно. M(XY) можно найти непосредственно по таблице () распределения двумерной случайной величины (X, Y) по формуле:

где двойная сумма означает суммирование по всем nm клеткам таблицы (n – число строк, m – число столбцов):

Вычислим ковариацию K_xy

Вычислим коэффициент корреляции ρ

т.е. между случайными величинами X и Y существует отрицательная линейная зависимость; следовательно, при увеличении (уменьшении) одной из случайных величин другая имеет некоторую тенденцию уменьшаться (увеличиваться).

Задача 5. По данным задачи 2 определить: а) ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин X и Y; б) коррелированны или некоррелированы эти случайные величины.

Решение. Вначале найдём математические ожидания и

Аналогично (то, чтоочевидно из соображения симметрии распределения в круге, из которой следует, что центр его массы лежит в начале координат).

По формуле ковариация

Соответственно коэффициент корреляции:

в) Так как то случайные величиныX и Y некоррелированы. В задаче 2 установлено, что эти случайные величины зависимы; таким образом, наглядно убеждаемся, что из некоррелированности величин ещё не вытекает их независимость.

Домашнее задание.

Задача 1. Найти вероятность попадания случайной точки (X, Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми x = 1, x = 2, y = 3, y = 5, если известна функция распределения

Задача 2. Задана дискретная двумерная случайная величина (X, Y):

Y	X
	3	6
10	0,25	0,10
14	0,15	0,05
18	0,32	0,13

Найти: а) условный закон распределения X при условии, что Y = 10; б) условный закон распределения Y при условии, что

Задача 3. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y)

Найти: а) постоянный множитель C; б) плотности распределения составляющих; в) условные плотности распределения составляющих.

Задача 4. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y): f(x, y) = в квадрате вне квадратаНайти математические ожидания и дисперсии составляющих.

Ответы: 1) P = 3/128;

X	3	6
P	5/7	2/7

2) а)

Y	10	14	18
P	5/14	5/28	13/28

б)

3) а) ;

б)в)

4) а)

СМОЛЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Г. С. ЕВДОКИМОВА

ПРАКТИКУМ

ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

СТАТИСТИКЕ

МОДУЛЬ 7